3.2 用频率估计概率-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

第三章　概率的进一步认识 １０７　 0  0 M  > M ２　用频率估计概率 知识点一　频率与概率的概念及关系 １．频率的求法和特点 求法 特点 在一次统计过程中,每 个对象出现的次数与总 次数的比值 频率具有不确定性,试验次数不 同,得到的频率可能就不同,即便 是次数相同的不同试验,得到的 频率也可能不同 ２．概率 表示一件事情发生的可能性的大小． ３．频率与概率的关系 联系 (１)事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小 的两个统计特征数; (２)当试验次数无限增大时,事件发生的频率会逐渐 稳定于概率附近,概率的值可能是频率的某个具体 值,也可能不是频率的某个具体值; (３)频率具有稳定性,概率具有确定性 区别 (１)频率反映了随机事件发生的频繁程度;概率反映 了随机事件发生的可能性的大小． (２)频率具有随机性,是近似值,能近似地反映事件发 生的可能性的大小;概率是理论值,是由事件的本质 所决定的,它能精确地反映事件发生的可能性的大小 【例１】林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成 活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据． 移植的 棵数n １０００１５００２５００４０００８０００１５０００２００００３００００ 成活的 棵数m ８６５ １３５６２２２０３５００７０５６１３１７０１７５８０２６４３０ 成活的 频率 m n ０．８６５０．９０４０．８８８０．８７５０．８８２０．８７８０．８７９ ０．８８１ 当试验次数较少时, 频率的波动较大,但是随 着试验次数的逐渐增加, 频率的波动逐渐减小,稳 定在某个常数附近． U %,U 8*M(@(U  AU6%,+( 　　大量反复试验下,频率的 稳定 值 即 概 率,在 进 行 计 算 时,直接把频率作为概率,然 后根据“概率＝所求结果数与 总结果数之比”计算即可． 数学　九年级　上册 １０８　 0  0 (１)试验频率是在做大量 重复试验时得到的数值, 它只是试验的统计值,具 有随机性,可以取多个数 值．因此,只能近似地反映 事件发生的可能性大小． (２)当事件的概率不容易求 出时,可以通过大量试验 得到的频率来估计概率． 模拟试验法 用试验法求某事件发生的 概率时,因受试验条件的限制, 试验很难做或所做的误差较 大,所以我们可以采用模拟试 验的方法估计事件发生的概率． 模拟试验一般有两种方法: (１)用替代物模拟试验; (２)用计算器产生随机数来模 拟试验． 当很难找到替代 物 或 者 利用替代物很麻烦时,可以采 用计算器进行模拟． 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率． 解 当试验的总次数很大时,事件发生的频率稳定在 相应事件发生的概率附近,则可以运用频率来估计概 率．由题中表格可以推断该种幼树在此条件下移植成 活的概率约为０．８８０． 知识点二　用试验方法估计事件发生的概率 用试验的方法估计事件发生的概率的原因、条件及做法 原因 条件 做法 一些无规律的 随机事件无法 用表格或树状 图求概率 试验的次数应该使试验频率达 到一种相对稳定的状态,既要 保证试验的次数足够多,也要 保证试验的随机性和合理性 通 常 是 观 察 频 率 的 变 化 趋 势 并 结 合 理论来分析 【例２】某工厂要知道该厂生产的产品出现次品的概率, 该厂质检科决定用试验的方法来估计出现次品的概 率,检验结果如下: 试验组 检查产品的件数 查得次品的件数 第一组 ５ １ 第二组 １０ ３ 第三组 ６０ ７ 第四组 １５０ １９ 第五组 ６００ ５２ 第六组 ９００ １００ 第七组 １２００ １０９ 第八组 １８００ １６９ 第九组 ２４００ ２４８ 第十组 ３０００ ２９７ (１)计算每组出现次品的频率; (２)请估计一下,如果购买该厂的产品,那么买到次品 的概率有多大? 第三章　概率的进一步认识 １０９　 0  0 解 (１)各组出现次品的频率依次(约)为０．２,０．３, ０．１１７,０．１２７,０．０８７,０．１１１,０．０９１,０．０９４,０．１０３,０．０９９． (２)从(１)可以看出,次品的频率稳定在０．１附近,所 以购买该厂的产品,买到次品的概率大约是０．１． 知识点三　抽取法估计总体数目   > M 一般是以一个样本为基础,随机从样本中 抽取某些元素,以样本的频率估计总体的 概率的一种方法． 【例３】一个不透明的口袋中装有６个红色的小正方体 和若干个黄色的小正方体,小正方体除颜色外其他都 相同,从口袋中随机摸出一个小正方体,记下颜色后 放回口袋中并搅匀,不断重复上述过程,共摸了３００ 次,其中有１００次摸到红色小正方体,则口袋中大约 有 个黄色小正方体． 解析 设口袋中有x 个小正方体．由 １００ ３００＝ ６ x ,得