精品解析：2024-2025学年北师大版九年级上学期数学期中培优训练卷

2024—2025学年北师大版数学九年级上册 期中培优训练 一、单选题 1. 若一元二次方程一个根为2，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 3. 矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，动点P从点A出发沿边以秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿边以秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值（ ） A. 2或3 B. 2或4 C. 1或3 D. 1或4 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个角是直角平行四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 8. 近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为(　　) A. B. C. D. 9. 在一个不透明的口袋中，放置2个黄球，1个白球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则的值最可能是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE＝CD，双曲线y＝(k≠0，x⟩0)的图象过点E，则k为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若关于的一元二次方程的一根为，则的值是______． 12. 已知，，c是a、b的比例中项，则______． 13. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________． 14. 在一个不透明的袋子中有3个红球和个黑球，它们除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，若摸出黑球的概率是，则的值是________． 15. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论是________． 三、解答题 16. 解方程：解方程： （1） ； （2） 17. 某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 请根据所给信息，解答以下问题： （1）表中________， ________； （2）请计算扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数； （3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 18. 如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 19. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 20. 有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m． 21. 如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______． 三．解答题 22. 已知y1＝2x2+3x，y2＝﹣5x+10．x为何值时，y1与y2的值相等？ 23. 如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DFAC，EFAB． （1）求证：△BDF∽△FEC． （2）设． ①若BC＝15，求线段BF的长； ②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积． 25. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△，点的坐标是 　 　； （2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△，使＝，点坐标是 　 　． 26. 某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据统计整理，绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次一共调查了________名学生； （2）补全条形统计图； （3） “足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数为________； （4）若已知该校有1000名学生，请你根据调查结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？ 27. 在学习完北师大教材九年级上册第四章第6节“利用相似三角形测高”后，数学兴趣小组的3名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作： ①测得一根长为l米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图l）. ②测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为4.4米，一级台阶高为0.3米，落在第一级台阶的影子长为0.2米. （1）在横线上直接填写甲树的高度为_____________米. （2）图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度. 28. 已知：为钝角，是两条高． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，延长相交于点，连接，当时，求的长； （3）如图，若，延长相交于点，连接，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年北师大版数学九年级上册 期中培优训练 一、单选题 1. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入已知方程，列出关于p一元一次方程，通过解该方程来求p的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2， ， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】设红球的个数为x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求解即可解答． 【详解】解：设红球的个数为x个， 根据题意，得：， 解得：x=12， 即袋子中红球的个数最有可能是12， 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率、简单的概率计算，熟知经过多次实验所得的频率可以近似认为是事件发生的概率是解题关键． 3. 矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 4. 如图，中，，，，动点P从点A出发沿边以秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿边以秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值（ ） A. 2或3 B. 2或4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：当运动时间为秒时，，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故选：B． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意； B、对角线相等且平分的四边形是矩形，选项错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，选项错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法．熟练掌握相关图形的判定方法，是解题的关键． 6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 7. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.5m，AB=3m，BC=7m， ∴AC=AB+BC=10m， ∴， 解得，DC=5， 即建筑物CD的高是5m； 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，列出方程即可． 【详解】解：设这两年的销售额的年平均增长率为x， ∵第一年销售额为20万元， ∴第二年的销售额为万元，则第三年的销售额为万元． ∵该企业两年内的销售额从20万元增加到80万元， ∴可列方程为． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 9. 在一个不透明的口袋中，放置2个黄球，1个白球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则的值最可能是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，蓝球出现的频率稳定于0.6， ∴， 解得：（经检验是原方程的解）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 10. 如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE＝CD，双曲线y＝(k≠0，x⟩0)的图象过点E，则k为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可求出点D、点C的坐标，再根据平行线分线段成比例可求出点E坐标即可． 【详解】解：如图，过点C作CF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，过C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，与x轴，y轴分别相交于点A，点B， ∴点A(1，0)，点B(0，2)， 即OA＝1，OB＝2， ∴AB＝＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝， ∴∠OAB+∠GAD＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠OBA＝∠GAD， ∵∠AOB＝∠DGA＝90°， ∴△AOB≌△DGA(AAS)， ∴OA＝DG＝1，OB＝GA＝2， 同理OA＝BF＝1，OB＝FC＝2， ∴点C(2，3)，D(3，1)， ∵CE＝CD，CMENDG， ∴MN＝MG＝(3﹣2)＝， ∴ON＝OM+MN＝2+＝， ∴EN＝(3﹣1)+1＝， ∴点E(，)， 又∵点E在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝×＝， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线分线段成比例定理，是正确解答的前提． 二、填空题 11. 若关于的一元二次方程的一根为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入方程，可得关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值．解题的关键理解一元二次方程的解的定义．也考查了解一元一次方程． 12. 已知，，c是a、b的比例中项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握“当比例式中的两个内项相同时叫比例中项”是解题关键．根据题意得，再进行计算即可． 【详解】解：c是a、b的比例中项， ，即， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一线三等角证明，列出比例式代入数值计算即可． 【详解】△ABC为等边三角形， ， ∠ADE＝60°， , BD：DC＝1：2，AD＝2， 设 则 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14. 在一个不透明的袋子中有3个红球和个黑球，它们除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，若摸出黑球的概率是，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】用黑球的数量除以球的总数量得出关于m的方程，解之即可． 【详解】解：根据题意知， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 15. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论是________． 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论． 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE， ∴DE=2，EC=4， ∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置， ∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE， 在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴GB=GF，∠BAG=∠FAG， ∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确； 设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x， 在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x， ∵CG2+CE2=GE2， ∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3， ∴BG=3，CG=6﹣3=3 ∴BG=CG，所以②正确； ∵EF=ED，GB=GF， ∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确； ∵GF=GC， ∴∠GFC=∠GCF， 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴∠AGB=∠AGF， 而∠BGF=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB=∠GCF， ∴CF∥AG，所以④正确； 过F作FH⊥DC ∵BC⊥DH， ∴FH∥GC， ∴△EFH∽△EGC， ∴=， EF=DE=2，GF=3， ∴EG=5， ∴△EFH∽△EGC， ∴相似比为： =， ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6， 连接AC， ∵CF∥AG， ∴S△FCA=S△FGC=3.6， 所以⑤正确． 故正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理和正方形的性质． 三、解答题 16. 解方程：解方程： （1） ； （2） 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：, , 或， 解得：，． 17. 某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 请根据所给信息，解答以下问题： （1）表中________， ________； （2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； （3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 【答案】（1） （2） （3）树状图见解析， 【解析】 【分析】本题考查统计图表，利用树状图法求概率： （1）根据频数等于总数乘以频率进行求解即可． （2）利用360度乘以B组对应的百分比进行计算即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：； 【小问2详解】 【小问3详解】 将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得： ∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种， ∴甲、乙两名同学都被选中的概率为． 18. 如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明等式是成立的． 【详解】证明：如图，连结BD ， ∵， ∴． ∴在△EAC和△DBC中，， ∴． ∴ ． 又∵， ∴ ． ∴ 在中，， ∴． ∵ 在中，， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键． 19. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，由题意，得： ， 解得：或， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：每件童装应降价元． 20. 有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m． 【答案】 【解析】 【分析】设这块草坪的周长为m，由实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，再利用相似三角形的性质列方程即可. 【详解】解：设这块草坪的周长为m， 由题意可得：实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形， 解得：， 所以这块草坪的周长为m. 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键. 21. 如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______． 【答案】 【解析】 【分析】过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连接MH，HB由等腰的顶角，可得DG平分∠ADC，AG=CG=，可求∠GDC=60°，∠DCG=30°，在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，可求DG=，CD=2由M，H为中点，可得MH=，根据两点之间线段最短，可得MBMH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BH⊥CF，可求∠HCB=60°，CH=，由勾股定理BH=，BH最小=． 【详解】解：过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连接MH，HB， ∵等腰的顶角， ∴DG平分∠ADC，AG=CG=， ∴∠GDC=60°，∠DCG=90°-∠GDC=90°-60°=30°， ∴CD=2DG， 在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9， ∴DG=，CD=2， ∵M，H为中点， ∴MH=， 根据两点之间线段最短，则有MBMH+HB，MH为定值， ∴HB最小时，MB最短， ∴BH⊥CF， ∠HCB=180°-∠DCA-∠DCF=180°-30°-90°=60°， CH=， BH=， BH最小=， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系是解题关键． 三．解答题 22. 已知y1＝2x2+3x，y2＝﹣5x+10．x为何值时，y1与y2的值相等？ 【答案】1或﹣5 【解析】 【分析】根据题意列出方程，利用因式分解法求解可得． 【详解】解：由题意，得2x2+3x＝﹣5x+10， 即2x2+8x﹣10＝0， x2+4x﹣5＝0， (x+5)(x-1)=0 ∴x1＝1，x2＝﹣5， ∴当x为1或﹣5时，y1与y2的值相等． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 23. 如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，即可求证； （2）根据，可得，再由AB∥CD，可得，即可求证 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明∶∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴AB∥CD， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DFAC，EFAB． （1）求证：△BDF∽△FEC． （2）设． ①若BC＝15，求线段BF的长； ②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2）①BF＝5；②S△ABC＝16×＝36 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论； （2）①由平行线的性质得出，即可得出结果； ②先求出易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵DFAC， ∴∠BFD＝∠C， ∵EFAB， ∴∠B＝∠EFC， ∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC， ∴△BDF∽△FEC； 【小问2详解】 解：①∵EFAB， ∴， ∴ ∵BC＝15， ∴， ∴BF＝5； ②∵， ∴ ∴， ∵EFAB， ∴∠CEF＝∠B， ∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B ∴△EFC∽△ABC， ∴， ∵S△EFC＝16， ∴S△ABC＝×16＝36． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△，点的坐标是 　 　； （2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△，使＝，点坐标是 　 　． 【答案】（1）见解析；（1，-3）；（2）见解析，（-8，-4）． 【解析】 【分析】（1）先确定三点关于x轴的对称点坐标，依次连接三点即可得到所求三角形； （2）根据位似比，得到横坐标，纵坐标都扩大原来的2倍，再根据点所在象限确定即可． 【详解】（1）∵A（1，3），B（4，2），C（2，1）， ∴关于x轴的对称点坐标分别为（1，-3），（4，-2），（2，-1）， 画图如下： 故答案为：（1，-3）； （2）∵原点O为位似中心，＝，B（4，2）， 画图如下： ∴的横坐标，纵坐标都扩大原来的2倍，分别为8，4， ∵在第三象限， ∴（-8，-4）． 故答案为：（-8，-4）． 【点睛】本题考查了的点关于x轴对称，位似，熟练掌握对称规律，灵活运用位似的性质和规律是解题的关键． 26. 某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据统计整理，绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次一共调查了________名学生； （2）补全条形统计图； （3） “足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数为________； （4）若已知该校有1000名学生，请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？ 【答案】（1）100；（2）见解析；（3）1440；（4）600人 【解析】 【分析】（1）依据爱好排球的人数和百分比，即可得到调查的学生总数； （2）先求得其它部分的人数，进而得出爱好足球的人数，即可补全条形统计图； （3）依据爱好足球的百分比，即可得到“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数； （4）依据爱好“足球”和“排球”的学生的百分比，即可估计爱好“足球”和“排球”的学生数． 【详解】解：（1）调查的学生总数=20÷20%=100（名）； （2）其它：10%×100=10（名）， 足球：100-30-20-10=40（名）， 补全条形统计图如下： （3）“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数=×100%×360°=144°； （4）爱好“足球”和“排球”的学生共有×100%×1000=600（名）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 27. 在学习完北师大教材九年级上册第四章第6节“利用相似三角形测高”后，数学兴趣小组的3名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作： ①测得一根长为l米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图l）. ②测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为4.4米，一级台阶高为0.3米，落在第一级台阶的影子长为0.2米. （1）在横线上直接填写甲树的高度为_____________米. （2）图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度. 【答案】（1）5.1；（2）6.05米 【解析】 【分析】（1）直接利用在同一时刻的阳光下，物高与影长成比例列式计算；（2）画出图形，将树高分成两部分，其中一部分相当于一级台阶高，另一部分利用在同一时刻的阳光下，物高与影长成比例列式计算，两结果作和即为乙树的高度. 【详解】解：（1）设甲树的高度为x米，根据题意得， ， 解得，x=5.1 ∴甲树的高度为5.1米. （2）如图，过D作DF⊥AB，垂足为F，则∠DFB=∠FBC=∠BCD=90°, ∴四边形DFBC是矩形， ∴DF=BC=4.4米，BF=CD=0.3米， ∴EF=4.4+0.2=4.6米， 根据题意得， , 解得，AF=5.75米， ∴AB=5.75+0.3=6.05米. 答：乙树的高度是6.05米. 【点睛】本题考查了同一时刻物高与影长成比例，以及通过作辅助线假设没有台阶时求出影长是解答此题的关键. 28. 已知：为钝角，是的两条高． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，延长相交于点，连接，当时，求的长； （3）如图，若，延长相交于点，连接，当时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用证明即可求证； （）证明，可得，进而可证，得到，代入已知数据计算即可求解； （）由可得，设，则，进而证明，由可得，得到，，即得，即可得到，最后根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明： ∵是的两条高， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的两条高， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$