第四章一次函数周末练习 2024—2025学年北师大版八年级数学上册

第四章一次函数周末练习 一、单选题 1．下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　） A． B． C． D．都不对 3．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．若函数是一次函数，则m的值为（      ） A． B．1 C． D．2 5．已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 6．两个一次函数、，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 8．下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 9．若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ． 10．如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 11．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 ． 12．在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 13．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，那么称点M是点A，B的“双减点”． （i）若点，的“双减点”M的坐标是，则点B的坐标是 ； （ii）若点，的“双减点”是点F，当点F在直线的上方时，则m的取值范围是 ． 三、解答题 14．已知一次函数 (1)为何值时，随着的增大而减小？ (2)为何值时，它的图象经过原点． 15．弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 (1) 请写出弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式． (2) 当挂重10千克时弹簧的总长是多少？ 16．甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 17．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨． (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 18．某公司采购员到紫阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：会员 500 1600 方式二：非会员 0 2100 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出、关于x的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，则该公司此次购买了多少千克这种茶叶？ (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点A的坐标是 _________，点B的坐标是 __________，的长为 _________； (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，直接写出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，直线经过点，点，与直线交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E． (1)求直线AB的表达式和点C的坐标； (2)当时，求的面积； (3)连接，当沿着折叠，使得点A的对应点落在直线上，直接写出此时点D的坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C C B D A 1．D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 2．A 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线交点解方程，图形结合分析是解题的关键． 根据两直线的交点为，即可求解． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴根据图象可得方程的解集是， 故选：． 3．B 【分析】根据一次函数的增减性可得，再根据一次函数与轴的交点位于轴负半轴可得，然后根据当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方可得，由此即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数而言，随的增大而减小， ，结论①正确； 一次函数与轴的交点位于轴负半轴， ，结论②错误； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则，结论③错误； 综上，正确的结论有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 4．C 【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 5．C 【分析】欲求与的大小关系，通过题中即可判断随着的增大而增大，就可判断出与的大小. 【详解】解： 随着的增大而增大 点和点在一次函数的图象上， 故答案选. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，能否掌握，随着的增大而增大是解题的关键. 6．B 【分析】利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故正确； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象性质，灵活运用一次函数图象的性质是解题的关键． 7．D 【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可． 【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键． 一次函数的图像有四种情况： ①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限． 8．A 【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定． 【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示； ③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为， 则矩形的面积为：， 故③不可以利用该图象表示； 故可以利用该图象表示的有：①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 9．5 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 10． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 11． 【分析】根据一次函数的概念可得，，求解即可得出答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的概念，根据题意得到关于的不等式和方程是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、规律型，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、…及、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有，解得：， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 同理，可得出： ， ， ， ， …， ∴，，，…， ∴（n为正整数）， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13． 【分析】（1）根据点是点、的“双减点”的定义可求点坐标； （2）点，的“双减点”是点，可表示出点的坐标，根据点在直线下方可得出关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）点， “双减点” M的坐标是， ，， ，， 点M坐标， 故答案为：； （2）点，的“双减点”是点， ，，即，， 点在直线上方， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握在一次函数中，当，y随x的增大而减小成为解题的关键． （1）根据一次函数，随着的增大而减小，据此列不等式求解即可； （2）将代入求得k的值即可． 【详解】（1）解：∵随着的增大而减小， ∴，解得：， ∴当，随着的增大而减小． （2）解：∵函数图象经过原点， ∴将代入，得，解得：， ∴当时，图象经过原点． 15．(1) (2)当挂重10千克时弹簧的总长是 【分析】本题考查了函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式． （1）由上表可知，0.5为常量，12也为常量．故可求出弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式． （2）令时，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由表可知：常量为0.5，12， 所以，弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为， （2）解：当时，， 答：当挂重10千克时弹簧的总长是． 16．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解． 【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 将点代入得， 解得：， ∴； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 17．(1)2.5 (2) (3)20吨 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用；根据自变量或函数值的取值使用相应的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据图象列式求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意将代入求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， ∴用水不超过10吨，水费为2.5元/吨； （2）解：设当用水超过10吨时 ，该函数图象对应的一次函数的表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨． 由（2），得． 将代入，得， 解得， 故该户居民8月共用水20吨． 18．(1)，； (2)该公司此次购买了这种茶叶； (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确表示出函数关系式是解题关键． （1）根据两种购买方式分别列式，即可得到函数表达式； （2）根据两种方式购买茶叶的总费用相同列方程求解，即可得到答案； （3）结合（1）所得关系式，分别求出两种方式购买的茶叶质量，再进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； （2）解：根据题意，得，解得． 答：该公司此次购买了这种茶叶． （3）解：若按照第一种方式购买茶叶，则， 解得， 若按照第二种方式购买茶叶，则， 解得． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 答：若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 19．(1) (2) (3)点M的坐标为或 (4)点P的坐标为或或 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，然后依据勾股定理即可求解； （3）首先求出，进而得出，然后设出点M的坐标，建立方程求解即可； （4）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）令得：， ∴， ∴ 令得：，解得：， ∴， ∴， 在Rt△OAB中，． 故答案为：； （2）由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； （4）存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交A于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交OA于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴，解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．   20．(1)直线AB的解析式为，点C的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法法求得k和b，联立方程组求解即可求得直线AB的表达式和点C的坐标； （2）设D点横坐标为m，结合求出，即可得关于m的方程，求出m即可求解； （3）分点A落在射线CO上的A1和点A落在射线OC上的A2时两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）∵直线经过点，点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得：， ∴点C的坐标为； （2）∵， ∴， 设D点横坐标为m，则点D坐标为， ∵平行于y轴， ∴点E坐标为 ， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，的面积为； 当，的面积为； 综上所述：的面积为； （3）过点C作于点G， ∵点C的坐标为(12，9)， ∴，，， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴，即， 当沿着折叠，且点A落在射线上的A1时，设交x轴于点H，如图： 根据折叠的性质，，， 又， ∴， ∴， ， ∴轴， 当时， ∴， ∴点D的坐标为； 当沿着折叠，且点A落在射线OC上的A2时，延长交x轴于点I，如图： 根据折叠的性质，，， 又， ∴， ∴，， ∴轴， 当时， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理及其逆定理等，注意分类求解，避免遗漏． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$