浙江省温州中学自主招生模拟考试数学试卷

卷一：温州中学自主招生模拟考试数学试卷 一. 选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。） 1. 已知x是无理数，且是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论： （1）是有理数；（2）是无理数；（3）是有理数；（4）是无理数并说它们中有且只有n个正确的，那么，n等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2. 一个商人用m元（m为自然数）买来了n台（n为质数）电视机，其中有二台用成本的一半价钱卖给了某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果商人获得利润5500元，则n的最小值是（ ） A.11 B.13 C.17 D.19 3. 方程的整数解的组数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4. 设△ABC的三边长分别为，a,b,c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的内角平分线，且DE＝DF,那么∠BAC的度数为（ ） A.90° B.<90° C.>90° D.以上答案都不对 5. 已知ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD⊥AC，AC与BD的交点为E，F在DA的延长线上，连结BF，G在BA的延长线上，使得DG∥BF，H在GF的延长线上，使得CH⊥GF．如果∠FBE=65°，∠HFB=25°，则∠FHC=( ) A.65° B.55° C.75° D.40° 6. 一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一 正一负，则a、b、c中为正数的（ ）. A.只有 B.只有 C.只有 D.只有和 7. 已知关于的一元四次方程有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个. ①可能成立;②可能成立;③可能成立. A. B. C. D.. 8. 如图，四边形中,,。设延长线交于，则( ) 数学试卷 第1页，共2页, A.18° B.21° C.24° D.30° 二.填空题（本大题共6小题，每题6分，满分36分。） 9. 已知，，，且，则的最小值为_____________. 10. 已知一个圆的外切四边形的4边长为1，2，3，4，其内切圆的圆心为O，则OA·OC+OB·OD的值为____________. 11. 甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要 ____小时才能到达. 12. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有_____________个. 13. 凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°, AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图.则sin∠AOB＝__________. 14.若正五边形ABCDE的边长为a,对角线长为b,则：－＝______________. 数学试卷 第2页，共2页, ( 班 级： 姓 名： 学号 : 考场号： 座位号 ： 装 订 线 内 请 勿 答 题 )卷二： 温州中学自主招生模拟考试数学答题卷 一. 选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二.填空题（本大题共6小题，每题6分，满分36分。） 9.________________; 10._______________; 11._______________; 12._______________; 13._______________; 14._______________; 三.解答题（本大题共5小题，满分74分） 15.(本题满分10分) 如图，设AB、CD是以O为圆心、r为半径的圆的两条互相垂直的弦，且将圆分成的四个部分(每一部分允许退化为一个点)依顺时针顺序记为X、Y、Z、W.试求的最大值。 数学答题卷 第1页 共4页 16.（本题满分14分） 如图,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切⊙O于P、Q.求证：EP2＋FQ2＝EF2. 17.（本题满分15分） 设是实数，对任意三个实数a,b,c存在一个以为三边长的三角形，求的取值范围 数学答题卷 第2页 共4页 18.（本题满分15分） 设1≤a1<a2<…<an≤21是n个任意的整数.若其中总有4个不同的数a数ai、aj、ak、am满足ai+am=aj+ak(1≤i<j<k<m≤n)，则称数组(a1，a2，…，an)的阶数n为“好数”. (1)n=7是否为好数?说明理由; (2)n=8是否为好数?说明理由. 数学答题卷 第3页 共4页 19.（本题满分20分） 数列满足：，（其中表示的整数部分，），试求的值。 数学答题卷 第4页 共4页 卷三： 温州中学自主招生模拟考试数学答案 一.选择题（每题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D C A A B B 二.填空题（每题6分。共36分） 9._______4_______; 10. ______2√6______; 11._______6.75________; 12._____ ____; 13.____ ___; 14.__________1________; 三.解答题（本大题共5小题，满分74分） 15.(10分) 解：不妨设圆心落在如图 (a)的Z中. 当弦AB向上平移时，图7(b)中的阴影部分面积大于它左边无阴影部分的面积，所以，SX+SZ增加，而SY+SW在减少(注意X、Y、Z、W的面积之和是定值πr2).因而，比值增加.于是，当点A与点C重合时，它才有可能取到最大值. 在图7(c)中，Rt△ABD的斜边BD是直径，则△ABD在OA为高时面积最大，此时，SZ最大，SX+SZ也最大，其值为 πr2+r2.而SY+SW最小，其值为 πr2-r2. 所以，SX+SZSY+SW的最大值是 16.（14分）证明：如图,作△BCE的外接圆交EF于G,连结CG. 因∠FDC＝∠ABC＝∠CGE,故F、D、C、G四点共圆. 由切割线定理,有 EF2＝(EG＋GF)·EF＝EG·EF＋GF·EF＝EC·ED＋FC·FB ＝EC·ED＋FC·FB＝EP2＋FQ2, 即 EP2＋FQ2＝EF2. 17.（15分）解：①恒成立 令 对称轴 ② 最小值两倍>最大值 结论： 18.（15分）解：(1)n=7时，{1，2，3，5，8，13，21}不满足要求，故n=7不是好数. (2)只须证明:对任意的8个整数1≤a1<a2<…<a8≤21， 其中总有4个不同的数ai<aj<ak<am满足ai+am=aj+ak，即aj-ai=am-ak(1≤i<j<k<m≤8). 首先，8个正整数可产生8×72=28个差aj-a(1≤i<j≤8)，由于这8个数均为1至21之间的整数，因此，1≤aj-ai≤20(1≤i<j≤8)，最多只有20个不同的差值.故由抽屉原理知，其中至少有8对差相等. (i)若这8对相等的差中，存在1对其中的4个数互不相同，即aj-ai=am-ak(1≤i<j<k<m≤8).此时原题成立. (ii)若这8对相等的差中，每一对的4个数中至少有2个数相同，则这4个数中恰有2个数相同(因为aj-ai=am-ak中至多有aj=ak或ai=am之一成立).于是，每对这样的差对应一个三元数组(ai，aj，ak)，且满足2aj=ai+ak(1≤i<j(1≤i<j≤8)，由于这8个数均为1至21之间的整数，因此，1≤aj-ai≤20(1≤i<j≤8)，最多只有20个不同的差值.故由抽屉原理知，其中至少有8对差相等. (i)若这8对相等的差中，存在1对其中的4个数互不相同，即aj-ai=am-ak(1≤i<j<k<m≤8).此时原题成立. (ii)若这8对相等的差中，每一对的4个数中至少有2个数相同，则这4个数中恰有2个数相同(因为aj-ai=am-ak中至多有aj=ak或ai=am之一成立).于是，每对这样的差对应一个三元数组(ai，aj，ak)，且满足2aj=ai+ak(1≤i<j<k≤8). 不妨设这8对差对应的8个不同的三元数组为(ai1，aj1，ak1)，(ai2，aj2，ak2)，…，(ai8，aj8，ak8)， 其中，2ajl=ail+akl(l=1，2，…，8). 由于a1与a8不能作为三元数组的中间项，故中间项至多有6种不同的取法.再由抽屉原理，知上述8个不同的三元数组中必有2个三元数组的中间项相等，不妨设为aj1=aj2.则ai1+ak1=2aj1=2aj2=ai2+ak2， 其中，ai1、ak1、ai2、ak2两两不同(否则它们为同一个三元数组，矛盾). 综合(i)、(ii)知，n=8是好数. 19.（20分）解：观察数列开初的一些项： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8 1 2 3 4 6 8 10 13 16 20 24 28 33 38 44 50 57 64 72 80 88 我们注意到，数列严格单增，每个正整数，顺次在数列中出现，并且除了首项之外，每个形如的数连续出现三次，其它数各连续出现两次. 一般地，我们可证明数列的以下性质： 若记，则, 若记则当时，有 …10分 对归纳.据上面所列出的项可知，当时结论成立.设性质对于成立，即在时，，则 再对满足的归纳： 当时，由于，则， 因为，则 设当时，均有，则当时，因为 … 则， 即有，所以 由于 所以 故由归纳法，当时， 特别是，当时，上式成为 又由，当，有 所以 由可知，对于当时，亦有 ，从而性质成立. 因为，取，则，， 因此. 学科网（北京）股份有限公司 $$