精品解析：2024-2025学年苏科版八年级数学上册期中测试卷1

苏科版八年级数学上册期中测试卷1 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列图案中是轴对称图形的有（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的两个图形为全等形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列环境保护标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形两边长分别为6和2，则这个三角形的周长是（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 12 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 6. 如图，，连接，C是上一点，，连接交于D点，若，则的值为（　　） A. 5 B. C. D. 7. 油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A. 点A到直线的距离是2 B. C. D. 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出三组勾股数：________． 10. 全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 11. 圆是轴对称图形，每一条_____所在的直线都是对称轴． 12. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，则________． 13. 某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞_____米． 14. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是_____． 15. 如图，已知△ABC≌△DEF，则DE=____． 16. 如图是与在网格上的位置，则________． 17. 在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出_____个． 18. 如图，在等边中，，，则的长为_______________． 三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分） 19. 阅读理解题：如图：已知，相交于O，，．那么与全等吗？请说明理由． 小明解答： 而，，所以． （1）你认为小明的解答有无错误； （2）如有错误给出正确解答． 20. 如图所示，的对角线相交于点O，经过点O，分别与交于B，D．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，是边上的一点，且，若，，求证：是直角三角形． 22. 如图，已知：△ABC中， AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16cm，△ABC的周长为24cm，求AD的长度. 四．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分） 23. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 24. 在平面直角坐标系中，已知四边形四个顶点坐标分别为． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形； （2）画出四边形关于x轴对称的四边形，并直接写出点D的对称点的坐标； （3）若四边形上的点P坐标为，则其关于x轴对称点坐标为___________． 25. 如图，已知点D、E在上，且，，试说明是等腰三角形的理由． 26 请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． 已知：如图． 求作：边上的高． 小怀设计的尺规作图过程如下： 作法： ①以点A为圆心，长为半径作弧； ②以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E； ③连接，交于点D． 所以线段就是所求作的高线． （1）使用直尺和圆规，完成小怀的作图（保留作图痕迹）； （2）分别连接，再将该作图证明过程补充完整： 由①可得：____________． ∴点A在线段的垂直平分线上．（ ）（填推理的依据） 由②可得：____________． ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段． ∴ 即是边上的高线． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 27. 已知等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为，求该等腰三角形的顶角的度数． 28. 探究题： （1）如图1，已知，求作四边形，使得四边形面积是面积的2倍； （2）如图2，在矩形中，E为边上一点，试在的延长线上找一点，使得四边形的面积等于矩形的面积，并说明理由； （3）如图3，有一块五边形空地，，，，，，，，，点F在边上，且，市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一个花园，为了方便行人行走，计划在花园中间修一条过点F的笔直小路（路的宽度不计），使得小路的另一出口在上的点Q处，且恰好将五边形的面积平分，请你帮助市政设计出小路的位置（在图中画出），并求出小路的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版八年级数学上册期中测试卷1 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列图案中是轴对称图形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可； 【详解】A是中心对称图形，不符合题意， B不是轴对称，不符合题意； C不是轴对称图形，不符合题意； D是轴对称图形，符合题意； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判定，准确分析判断是解题的关键． 2. 下列各组中的两个图形为全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意； D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列环境保护标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，所以D选项是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿这条直线折叠后可重合． 4. 已知等腰三角形两边长分别为6和2，则这个三角形的周长是（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①若2为腰长，6为底边长， 由于2+2＜6，则三角形不存在； ②6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为6+6+2=14． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；做题的关键是从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，，连接，C是上一点，，连接交于D点，若，则的值为（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，则，可证是等腰直角三角形，，如图，延长交的延长线于，则，，如图，将绕着点逆时针旋转到，连接，证明，则，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，可求，由，可得，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图，延长交延长线于， ∴， ∴， 如图，将绕着点逆时针旋转到，连接， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 7. 油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，根据题意可得出，结合已知条件，可得出． 【详解】解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴依据是， 故选A． 8. 在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A. 点A到直线的距离是2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，面积公式求出的面积，过点作，等积法求出的长，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确； ∴， ∴为直角三角形，，故选项B正确； ∴，故选项D错误； 过点A作于点D， 则， ∴， 即点A到直线的距离是2，故选项A正确； 故选：D． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出三组勾股数：________． 【答案】3，4，5；6，8，10；5，12，13 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，比较简单．满足的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组，随便填3组则可． 【详解】解：∵，，， ∴三组勾股数可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13． 故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13． 10. 全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 【答案】 ① 对应点 ②. 对应边 ③. 对应角 【解析】 【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可． 【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起， 重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． 故答案为：对应点；对应边；对应角． 11. 圆是轴对称图形，每一条_____所在的直线都是对称轴． 【答案】直径 【解析】 【分析】本题考查了圆的对称性，根据圆的对称性即可得到结果． 【详解】解：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴， 故答案为：直径． 12. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，则________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形的性质得，利用三角形内角和得，结合，可求出，进而可求出的值． 【详解】解：由作法知，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞_____米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，，米，米， 米，米， （米）． 故答案为：10． 14. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作PE⊥OA,再根据角平分线的性质得出PE=PD即可得出答案． 【详解】过P作PE⊥OA于点E， ∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB， ∴PE＝PD， ∵PD＝2， ∴PE＝2， ∴点P到边OA的距离是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查角平分线的性质,关键在于牢记角平分线的性质并灵活运用． 15. 如图，已知△ABC≌△DEF，则DE=____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可知DE=AB=4． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF ∴DE=AB=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解答本题的关键． 16. 如图是与在的网格上的位置，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图，取格点，连接，，证（），得，同理可证：，得，，再证明， 利用直角三角形的两锐角互余即可得解。 【详解】解：如图，取格点，连接，， ∵，，， ∴（）， ∴， 同理可证：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质及等边对等角是解题的关键。 17. 在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，注意不要漏解． 根据等腰三角形的定义解答即可； 【详解】解：如图所示：共4个点， 故答案为：4． 18. 如图，在等边中，，，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点D作，证明，可得，在中，根据直角三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理可 ，即可求解． 【详解】解：过点D作， ∵为等边三角形 ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为： 三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分） 19. 阅读理解题：如图：已知，相交于O，，．那么与全等吗？请说明理由． 小明的解答： 而，，所以． （1）你认为小明的解答有无错误； （2）如有错误给出正确解答． 【答案】（1）有错误 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，掌握三角形全的判定定理是解题的关键． （1）根据证明过程回答即可； （2）利用证明可得到，，然后再证明即可. 【小问1详解】 解：由于几何图形不能加减， ∴小明的解答有错误； 【小问2详解】 解：正确解答如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 20. 如图所示，的对角线相交于点O，经过点O，分别与交于B，D．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． （1）由平行四边形的性质得，则，再由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ∴四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，是边上的一点，且，若，，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，勾股定理逆定理，连接，易得：，进而得到，进而推出，得到，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接． ，， ． ， ． ， ， 是直角三角形，， 是直角三角形． 22. 如图，已知：△ABC中， AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16cm，△ABC的周长为24cm，求AD的长度. 【答案】AD＝4cm 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，然后可得△ABC与△BCE的周长差为AB的长，求出AB即可得到AD. 【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝16cm， ∵△ABC的周长＝AC+BC+AB＝24cm， ∴AB＝24－16＝8cm， ∴AD＝AB＝4cm. 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键. 四．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分） 23. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 24. 在平面直角坐标系中，已知四边形四个顶点坐标分别为． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形； （2）画出四边形关于x轴对称的四边形，并直接写出点D的对称点的坐标； （3）若四边形上的点P坐标为，则其关于x轴对称点坐标为___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）先在坐标系中描出A、B、C、D，然后顺次连接A、B、C、D即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数先描出A、B、C、D对应点的位置，再顺次连接，最后写出的坐标即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求； ∴点的坐标为； ； 【小问3详解】 解：∵点P坐标为， ∴点P关于x轴对称点坐标为． 【点睛】本题考查了在坐标系中描点，坐标与图形变化——轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 25. 如图，已知点D、E在上，且，，试说明是等腰三角形的理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，由等边对等角得出，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 26. 请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． 已知：如图． 求作：边上的高． 小怀设计的尺规作图过程如下： 作法： ①以点A为圆心，长为半径作弧； ②以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E； ③连接，交于点D． 所以线段就是所求作的高线． （1）使用直尺和圆规，完成小怀的作图（保留作图痕迹）； （2）分别连接，再将该作图证明过程补充完整： 由①可得：____________． ∴点A在线段的垂直平分线上．（ ）（填推理的依据） 由②可得：____________． ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段． ∴ 即是边上的高线． 【答案】（1）见解析； （2），与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，． 【解析】 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据线段垂直平分线的性质即可完成证明． 【小问1详解】 如图，线段就是所求作的高线 【小问2详解】 分别连接， 由①可得：． ∴点A在线段的垂直平分线上．（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 由②可得：． ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段． ∴ 即是边上的高线． 故答案为：，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 27. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求该等腰三角形的顶角的度数． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图， ∵，， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为， ∴该等腰三角形的顶角的度数为或． 28. 探究题： （1）如图1，已知，求作四边形，使得四边形的面积是面积的2倍； （2）如图2，在矩形中，E为边上一点，试在的延长线上找一点，使得四边形的面积等于矩形的面积，并说明理由； （3）如图3，有一块五边形空地，，，，，，，，，点F在边上，且，市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一个花园，为了方便行人行走，计划在花园中间修一条过点F的笔直小路（路的宽度不计），使得小路的另一出口在上的点Q处，且恰好将五边形的面积平分，请你帮助市政设计出小路的位置（在图中画出），并求出小路的长． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析；理由见解析 （3）图见解析；小路的长为 【解析】 【分析】（1）作点关于直线的对称点，过点作的平行线，根据三角形的面积，得出直线上的任何一点均满足题意，从而即可得出答案； （2）连接，过点作交的延长线于点，连接，则点即为所求；根据平行线间的距离相等，结合三角形的面积，得出，再根据图形间的面积转化，得出，再根据，即可得出四边形的面积等于矩形的面积； （3）连接，过点作，交延长线于点，连接，过点作于点，过点作于点，根据平行线间的距离相等和锐角三角函数，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据锐角三角函数，得出，解得，再根据三角形的面积，得出，进而得出，再根据三角形的面积，得出，解得，进而得出，然后取的中点，取的中点，连接，取的中点，作直线交于点，连接，线段即为所求的小路，再根据中点的性质和线段之间的数量关系，得出，，，，再根据平行线间的距离相等和线段之间的数量关系，得出，，，再根据勾股定理，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，作点关于直线的对称点，过点作的平行线，则直线上的任何一点均满足题意； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作交的延长线于点，连接，则点即为所求， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 取的中点，取的中点，连接，取的中点，作直线交于点，连接，线段即为所求的小路， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小路的长为． 【点睛】本题考查了作图、轴对称的性质、平行线间的距离相等、锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积公式，解本题的关键在理清图形的面积之间的数量关系，并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$