24.38 垂径定理的推论 正文(课件PPT)-【宝典训练】2024-2025学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

第二十四章　圆 第38课时　垂径定理的推论 目 录 02 核心讲练 03 过关检测 01 新课学习 探索并证明垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 01 新课学习 垂径定理的推论：平分弦(__________)的直径__________，并且____________________. 符号语言(如图所示)： ∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD平分AB， ∴____________，__________，__________. (1)方法： 构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，用勾股定理求解． (2)常作的辅助线： ①连接半径；②过圆心作弦的垂线． 不是直径 垂直于弦 平分弦所对的两条弧 CD⊥AB 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 02 核心讲练 垂径定理推论的简单运用 1．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D.若CD＝1，AB＝4，求⊙O的半径． 解：如图，连接OA， ∵C是AB的中点， ∴AC＝BC＝ AB＝2，OC⊥AB， ∴OA2＝OC2＋AC2，即OA2＝(OA－1)2＋22， 解得OA＝ ，故⊙O的半径为 . 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 2．如图，点A，B，C在圆O上，D是AB的中点，若⊙O的半径是10 cm，AB＝12 cm，求CD的长． 解：⊙O的半径是10 cm，弦AB的长是12 cm，OC是⊙O的半径，且D是AB的中点，∠ADO＝90°， ∴OA＝OC＝10 cm，AD＝ AB＝ ×12＝6(cm)， ∵在Rt△AOD中，OA＝10 cm，AD＝6 cm， ∴OD＝ ＝8(cm)， ∴CD＝OC－OD＝10－8＝2(cm)． 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 垂径定理推论的应用 3．【RJ九上P82改编】如图，一圆弧形拱桥，跨度AB＝16 m，拱高(圆弧中点C到弦AB的距离)为4 m，求半径OA的长． 解：∵AB＝16 m，OC⊥AB， ∴AD＝BD＝ AB＝8 m，∠ODA＝90°， 设OA＝r m，则OD＝(r－4) m， 在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝82＋(r－4)2，解得r＝10 m，即半径OA的长是10 m． 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 4．如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8 cm，DE＝2 cm，求OD的长． 解：∵E为弧AC的中点， ∴OE⊥AC，∴AD＝ AC＝4 cm， ∵OD＝OE－DE＝(OE－2) cm，OA＝OE， ∴在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2， 即OA2＝(OE－2)2＋42，解得OE＝5 cm， ∴OD＝OE－DE＝3(cm)． 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 03 过关检测 5．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，求⊙O的半径． 解：如图，连接OA， ∵M为AB的中点，AB＝8， ∴OM⊥AB，AM＝BM＝ AB＝4， 在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4， ∴OA＝ ＝5. 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 解：如图，连接OC， ∵M是⊙O中弦CD的中点， ∴EM⊥CD，CM＝DM＝ CD＝2，设圆的半径是x， 在Rt△COM中，有OC2＝CM2＋OM2，即x2＝22＋(6－x)2，解得x＝ ，所以圆的半径长是 . 6．【RJ九上P89】下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径． 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 7．如图，AB是⊙O的弦，C是 的中点． (1)连接OC，求证：OC垂直平分AB； 证明：如图，连接OA，OB， ∵C是 的中点， ∴ ，∴OC垂直平分AB. 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 (2)若AB＝8, AC＝2 ，求⊙O的半径． 解：由(1)知，OC垂直平分AB，设AB与OC交于点D， ∵AB＝8，AC＝2 ，∴AD＝ AB＝4， ∴CD＝ ＝2， 设⊙O的半径为r，则OD＝r－2，OA＝r， 在Rt△AOD中，AD2＋OD2＝OA2， 即42＋(r－2)2＝r2，解得r＝5. 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 8．【RJ九上P85改编】如图，在⊙O中，AB与CD是两条弦，OE ⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是点E，F，OE，OF分别叫作弦AB，CD的弦心距． (1)已知AB＝CD，求证：OE＝OF； 证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD， OA＝OB，OC＝OD， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°，EB＝EA＝ AB，FD＝FC＝ CD， ∵AB＝CD，∴EB＝FD， ∵在Rt△EOB和Rt△FOD中， ∴Rt△EOB≌Rt△FOD(HL)，∴OE＝OF. 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 (2)已知OE＝OF，求证：AB＝CD； 证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°， ∵在Rt△BEO和Rt△DFO中， ∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)， ∴BE＝DF， 由垂径定理得AB＝2BE，CD＝2DF， ∴AB＝CD. 第 ‹#› 页 第38课时　垂径定理的推论 返回目录 本节内容到此结束！ logo ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ $$