第6课时　一元二次方程及其应用 课件 2025年九年级中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第二章　方程组与不等式组 第6课时　一元二次方程及其应用 知识点1 一元二次方程的定义 只含有 未知数，并且 ⁠ ，这样的 ⁠ 方程就是一元二次方程. 一元二次方程的一般表达式为 ⁠ ，其中 ⁠是 二次项， ⁠叫做二次项系 数； 是一次项， ⁠叫做一次 项系数； 是常数项. 一个　 未 知数的最高次数是2　 整式　 ax2 ＋bx＋c＝0（a≠0）　 ax2　 a　 bx　 b　 c　 知识点2 一元二次方程的解法 直接 开 平方 法 适合于（x＋a）2＝b（b≥0）或 （ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的 方程 因式 分解 法 基 本 思 想 把方程化成ab＝0的形式， 得a＝0或b＝0 因式 分解 法 方 法 规 律 常用的方法主要是提公因式 法，运用平方差公式、完全 平方公式等分解因式 公式 法 求 根 公 式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0（a≠0），当b2－4ac≥0 时，x＝ ⁠ 一 般 步 骤 （1）将方程化成ax2＋bx＋ c＝0（a≠0）的形式； （2）确定a，b，c的值； （3）①若b2－4ac 0， 则代入求根公式，得x1，x2； ②若b2－4ac 0，则方 程无实数根 　 ≥　 ＜　 配 方 法 基 本 思 想 通过配成完全平方的形式解一元二 次方程 一 般 步 骤 （1）化二次项系数为1； （2）把常数项移到方程的另一边； （3）在方程两边同时加上一次项 系数一半的平方； （4）把方程整理成（x＋a）2＝b 的形式； （5）当b ⁠时，运用直接开平 方法解方程；当b＜0时，无解 ≥0　 知识点3 一元二次方程根的判别式 当b2－4ac 0时，方程有两个 不相等的实数根； 当b2－4ac 0时，方程有两个 相等的实数根； 当b2－4ac 0时，方程没有实 数根. ＞　 ＝　 ＜　 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）有两根x1，x2，则有x1＋x2 ＝ 　－ 　，x1x2＝ 　 　. － 　 　 知识点5 一元二次方程的实际应用 平均 增长 率 （下降 率） 问题 （1）增长率＝ ×100％； （2）设a为原来量，x为平均 增长（下降）率，n为增长（下 降）次数，b为增长（下降）后 的量，则a（1±x）n＝b 面 积 问 题 （1）如图1，矩形ABCD的长为 a，宽为b，空白部分的宽为x，则 阴影部分的面积为（a－2x）（b －2x）； （2）如图2，矩形ABCD的长为 a，宽为b，阴影部分的宽为x，则 空白部分的面积为（a－x）（b－ x）； 面 积 问 题 （3）如图3，矩形ABCD的长为 a，宽为b，阴影部分的宽为x，则 空白部分的面积为（a－x）（b－ x） 利润 问题 利润＝售价－成本； 总利润＝单件利润×销量； 利润率＝ ×100％ 握 手、 单循环赛 问题 握手、单循环赛总次数为 （n为人数或队伍数）； 送礼物总份数为n（n－1）（n 为人数） 名师指津 1. 二次项系数、一次项系数及常数项都 是方程在一般形式下定义的，所以求一 元二次方程的各项系数时，必须先将方 程化为一般形式. 2. 关于解方程，要依据一元二次方程的 结构特点，灵活选用“因式分解法、配方 法、公式法”几种方法.对于一元二次方 程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.　 （1）若b＝0，直接开平方； 若c＝0，采用因式分解法； （2）当b，c都不为0时，一般遵循“先 分解因式→后配方法→再公式法”的顺 序，具体来说： ①如果能在有理数范围内分解因式，用 因式分解法计算量小； ②当方程的一次项系数为偶数，且常 数项的绝对值很大时，可以考虑用配 方法； ③如果不能在有理数范围内分解因式， 且方程的一次项系数为奇数时，配方法 可能计算量较大，此时宜选用公式法来 解，而公式法是万能法. 3. 运用根的判别式及根与系数的关系 （韦达定理）解题时，特别注意一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0的隐含条件a≠0. 考点一　一元二次方程的相关概念 例1　（1）若关于x的一元二次方程 （m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常数项等 于0，则m的值为（　C　） A. 0 B. 3 C. －3 D. －3或3 （2）若一元二次方程x2－2x－5＝0的 一个解为a，则a（2a－3）＋a（1－a）的值为 ⁠. C 5　 考点二　一元二次方程的解法 例2　 （1）（2024·贵州）一元二次方 程x2－2x＝0的解是（　B　） A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝3，x2＝－2 D. x1＝－2，x2＝－1 B （2）解下列一元二次方程： ①2（x－3）2－18＝0； 　　　　 [答案] 解：整理，得（x－3）2＝9， 开方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝ 0. ②x2＋2x－3＝0； 解：整理，得x2＋2x＝3， 配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝ ±2， 解得x1＝－3，x2＝1. ③2x（x－2）＝1； 　　　　　 解：整理，得2x2－4x－1＝0， ∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24 ＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . ④4x（x－2）＝2（2－x）. 解：移项，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0， 合并同类项，得 （4x＋2）（x－2）＝0， ∴4x＋2＝0或x－2＝0， 解得x1＝－ ，x2＝2. 考点三　一元二次方程根的判别式及 根与 系数的关系 例3　 （1）（2024·上海）以下一元二次 方程有两个相等实数根的是（　D　） A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0 C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0 D （2）（2024·西附）关于x的一元二次方 程x2＋2mx＋m2＝0的根的情况为（　C　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 C （3）关于x的一元二次方程（m－2） x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取 值范围是（　D　） A. m≤4 B. m≥4 C. m≥－4且m≠2 D. m≤4且m≠2 D （4）（2024·乐山）若关于x的一元二次 方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且 ＋ ＝3，则p的值为 　－ 　； （5）（2024·西附）设a，b是方程x2＋ x－2026＝0的两个实数根，则（a－1） （b－1）的值为 .　 － 　 －2024　 考点四　一元二次方程的应用 例4　 （1）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍.设照片四 周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　D　） D A. 2（7＋x）（5＋x）＝7×5 B. （7＋x）（5＋x）＝2×7×5 C. 2（7＋2x）（5＋2x）＝7×5 D. （7＋2x）（5＋2x）＝2×7×5 （2）某大型果品批发商场经销一种高档 坚果，原价每千克64元，连续两次降价 后每千克49元. ①若每次下降的百分率相同，求每次下 降的百分率； [答案] 解：①设每次下降的百分率为 a，根据题意，得64（1－a）2＝49， 解得a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝ 12.5％. 答：每次下降的百分率为12.5％. ②若该坚果每千克盈利10元，每天可售 出500千克.经市场调查发现，在进货价 不变的情况下，商场决定采取适当的涨 价措施，若每千克涨价1元，日销售量将 减少40千克.现该商场要保证销售该坚果 每天盈利4500元，那么每千克应涨价多 少元？ [答案] 解： ②设每千克应涨价x元， 由题意，得 （10＋x）（500－40x）＝4500， 整理，得2x2－5x－25＝0， 解得x1＝5，x2＝－2.5（舍去）. 答：该商场要保证销售该坚果每天盈利 4500元，那么每千克应涨价5元. 1. 下列是一元二次方程的是（　C　） A. 2x＋1＝0 B. x＋y＝5 C. x2＋3x＋2＝0 D. x＋ ＝2 C 2. （2024·绥化）小影与小冬一起写作 业，在解一道一元二次方程时，小影在 化简过程中写错了常数项，因而得到方 程的两个根是6和1；小冬在化简过程中 写错了一次项的系数，因而得到方程的 两个根是－2和－5.则原来的方程是 （　B　） A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0 C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0 B 3. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2 －4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围为 ⁠. 4. 某市举行中学生足球联赛，每两个队 之间都要进行一场比赛，共要比赛66场. 若有x支球队参赛，则可列方程 ⁠ ⁠. m＜5且m≠1　 x （x－1）＝66　 $$