等腰三角形模型重难点突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册

等腰三角形模型重难点突破 等腰模型(一) 手拉手 类型一 等腰直角三角形构手拉手 1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,E 为△ABC 外一点,∠AEB=90°,求∠AEC 的度数. 2如图,在五边形 AOBNM 中,AO=OB,MA=MN,∠AOB=∠AMN=90°,OM=8.求五边形 AOBNM 的面积. 类型二 等边三角形构手拉手 3.如图，△ABC 为等边三角形，D 为BC上一动点，M为AB 的延长线上一点，CD=BM. N为AD的中点,连接CN,MN.求证:MN⊥CN. 4.如图,D 为等边△ABC外一点,∠ADB=60°,BE⊥AD 于点E,连接CD. (1)求证:AD+CD=BD; (2)求证:DE=AE+CD. 类型三 一般等腰三角形构手拉手 5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2α,P 为△ABC 内一点,∠APB=150°-α,∠ABP+∠ACP=60°.求证:PB=PC. 等腰模型(二) 对角互补 类型一 90°对 90° 1.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,E 为BD上一点,∠BAE=∠DBC=22.5°.求证:BC=AE+CD. 类型二 60°对 120° 2.如图,在等边△ABC 中,D 是BC 边上的中点,E 为AB 的延长线上一点,F 为AC 上一点,∠EDF=120°,延长 DF,交 BA 的延长线于点 M. (1)求证:ED=DF; (2)若 BD=2AF,求证:AM=2BE. 3如图,在等边△ABC 中,E 为△ABC外一点,O 为BE 的中点,D 为AC 上一点,△DOE 为等边三角形,求证:OC=OD. 等腰模型(三) 一线三等角 类型一 等腰直角三角形背景 1.如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC=90°,△ABD 为等腰三角形,AD=AB=BC,E 为DB 延长线上一点,∠BAD=2∠CAE.若AE=a,BE=b,CE=c,则△ABC的面积为 .(用含a，b，c的式子表示) 类型二 等腰三角形背景 2.如图，△ABC 为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于点C 右侧的点D 满足∠BDC=60°,点 F,G 在直线l上,连接AF,在l 上方作∠AFH=120°,且AF=HF,∠HGF=120°,求证:HG+BD=CF. 类型三 等边三角形背景 3.【问题情境】(1)如图1,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,连接 BD,CE,求证:△ABD≌△ACE; 【迁移应用】(2)如图2,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,A,B,E 三点在同一条直线上,M是AD 的中点,N 是AC 的中点,点 P 在BE 上,且△MNP 是等边三角形,求证:P 是 BE 的中点. 4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D 是△ABC 外一点,△BCD 是等边三角形,过点 D 分别作AB,AC 的垂线,垂足分别为E,F,若CF=3BE,则 的值为( ) 等腰模型(四) 夹半角 类型一 60°夹30° 1.如图,在等边△ABC 中,在AC 边上取点M,N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n 为边长的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随x,m,n 的值而定 类型二 120°夹60° 2.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC,E,F 为BC 上两点,∠EAF=60°,∠AEF=75°,BE=10,求CF 的长. 类型三 90°夹 45° 3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°. M,N为BC 上两点,∠AMN=75°,∠MAN=45°,探究 MN 与 CN 之间的数量关系. 4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D 为AB 上一点,E 为AB 的延长线上一点,∠DCE=45°,∠CED=30°,求证:BD=BE. 等腰模型(五)“十字架” 类型一 等边三角形中的“十字架” 1.如图,在等边△ABC 中,D,E 分别为边AB,BC 上的点,AD=BE,AE 与CD 交于点 F. (1)求证:△ABE≌△CAD; (2)在 FC 上截取FG=AF,过点G 作GH∥BC 交AE 于点H.求证:GH=AD. 类型二 等腰三角形中的“十字架” 2.如图,在等腰△ABC中,AB=BC,∠BAC=30°,D,E,F 分别为线段AB,BC,AC 上的点,∠ABF=∠BED,DE 交BF 于点G. (1)求∠BGD 的度数; (2)若 BD=CE,点 H 在BF 的延长线上,BH=DE,连接AH.求证:AH∥BC. 等腰模型(六)“胖瘦三角形” 1如图,在△ABC中,AB=AC,点 E 在线段AC 上,点 D 在AB 的延长线上,连接DE 交 BC 于点 F,过点 E 作 EG⊥BC 于点G. (1)若∠A=50°,∠D=30°,则∠GEF 的度数为 ; (2)若BD=CE,求证:FG=BF+CG. 2.如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,0),点M,N 分别在y轴和x 轴上,点N在点B 右侧,且AM=BN.连接MN交AB 的延长线于点C.求证:MC=CN. 3.如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠ACB,BD 为△ABC 的角平分线.若 E 为线段BD 上一点,∠DEC=∠A,求证:AB=EC. 等腰模型(七)“镜面角” 类型一 反向延长构角平分线 1.如图,C 是等腰 Rt△OAB(OB=OA)中直角边 BO 延长线上的一点,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D.若∠OAC=∠BAD,则 的值为( ) B.2 2.如图,在△ABD 中,E 为BA 的延长线上一点,DA=DE,点 F 在BD 上,且∠AFB=∠EFD,求证:∠FAD=∠FED. 类型二 作腰的平行线构双等腰 3.如图,在△ACE 中,AC=AE,延长 EC 至点B,BD⊥AE 交EA 的延长线于点D,若∠BAD=∠CAE,AB=6,AE=2,则AD 的长为 . 等腰模型(八) 角格点三角形 类型一 在60°角顶点处作等边构全等 1.如图,在四边形 ABCD 中,DB=DC,∠DCA=60°,∠DAC=78°,∠CAB=24°,则∠ACB 的度数为 . 2.如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,∠ACB=80°,点D 在△ABC外,连接AD,BD,CD.若∠DBA=20°,∠ACD=30°,则∠BAD 的度数是( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 类型二 无 60°角作等边构全等 3.如图,在△ABC 中,AC=AB=6,∠BAC=80°,O 为△ABC 内一点,∠OBC=10°,∠OCB=30°,则线段 BO 的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$