13 轴对称本章数学核心素养 正文(课件PPT)-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

第十三章　轴对称 本章数学核心素养 1．【材料阅读】“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加辅助线的常用策略．例如图1，△ABC中，BM是△ABC的平分线，AN⊥BM交BM的延长线于点N.如图2，延长AN，BC交于点D，即可构造出轴对称图形△ABD，进而得到边、角之间特殊的数量关系，为解决问题提供思路． 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 迁移应用：如图3，△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC，AM是∠CAB的平分线交AC于点M，BN⊥AM垂足为点N.若BN＝7，求AM的长． 解：延长BN，AC交于点D，如答图， ∵BN⊥AM，∴∠ANB＝90°，∴∠MAC＋∠D＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠DBC＋∠D＝90°， ∴∠DBC＝∠MAC， ∠BCD＝90°， 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 ∴△BDC≌△AMC(ASA)， ∴BD＝AM， ∵AM是∠CAB的平分线， ∴∠BAN＝∠DAN， ∵∠ANB＝∠AND＝90°，AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)， ∴BN＝DN，即BD＝2BN，∴AM＝BD＝2BN＝14. 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 2．【探究活动】【RJ八上P84】我们都知道，在等腰三角形中，有等边对等角(或等角对等边)，那么在不等腰三角形中边与角的大小关系又是怎样的呢？让我们来探究一下． 如图1，在△ABC中，已知AB＞AC，猜想∠B与∠C的大小关系，并证明你的结论； 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 证明：猜想∠C＞∠B，对于这个猜想我们可以这样来证明：在AB上截取AD＝AC，连接CD， ∵AB＞AC，∴点D必在∠BCA的内部， ∴∠BCA＞∠ACD， ∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ADC＞∠B， ∴∠BCA＞∠ACD＞∠B，即∠C＞∠B. 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 上面的探究过程是研究图形中不等量关系证明的一种方法，将不等的线段转化为相等的线段，由此解决问题，体现了数学的转化的思想方法．请你仿照类比上述方法，解决下面问题： (1)如图2，在△ABC中，已知AC＞BC，猜想∠B与∠A的 大小关系，并证明你的结论； 解：∠B＞∠A.证明：如答图1，在AC上截取CD＝BC，连接BD， ∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠CBA＞∠CBD，∠CDB＞∠A， ∴∠ABC＞∠BAC，即∠B＞∠A. 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 (2)如图3，在△ABC中，已知∠C＞∠B，猜想AB与AC大 小关系，并证明你的结论； 解：AB＞AC，证明：如答图2，在∠ACB的内部作∠BCD＝∠B，连接CD交AB于D， 则BD＝CD，∵在△ADC中，AD＋CD＞AC， ∴AD＋BD＞AC，即AB＞AC. 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 (3)根据前面得到的结果，请你总结出三角形中边、角不等关系的一般性结论． 解：在一个三角形中，大边对大角，大角对大边． 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 3．【数学文化】如图1，已知△ABC的三个顶点均在单位长度为1的正方形网格中的格点上，请你按照要求完成以下问题： (1)请直接写出图1中△ABC的面积为___； 1 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 (2)动手操作与画图：请你根据所学全等与轴对称知识，在图2的四个网格内完成以下设计轴对称图形的任务，要求如下： ①画出的三角形要与△ABC全等，且它们的顶点都在格点上； ②画出的三角形与△ABC关于某条直线成轴对称图形． 解：如答图所示： 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 4．【数学文化】设计图案，常常可以用简单的图形作为基本图形，然后通过轴对称和平移进行扩展．例如，如图所示的两个图案就是这样得到的．试用同样的方法设计两个图案． 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 解：图案如答图所示： 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 5．【探究活动】 综合探究：探索等腰三角形中相等的线段 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探：(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F.经过合作，该小组的同 学得出的结论是DE＝DF，并且展示了他们的证法如下： 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 证明：如图1， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(依据1)． ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. ∴△BDE≌△CDF(依据2)，∴DE＝DF. 请写出依据1和依据2的内容：依据1：____________.依据2：________. 等边对等角 AAS 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 问题再探：(2)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG.如图3，则CG与DE有确定的数量关系，请猜想这个数量关系？并且给予证明． 解：猜想：CG＝2DE；证明：如答图，连接AD， ∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD是∠BAC的平分线， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，且AB＝AC， 第 ‹#› 页 本章数学核心素养 返回首页 本节内容到此结束！ logo $$