精品解析： 2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中检测卷

北师大2024-2025九年级数学上学期期中检测 一、单选题 1. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 2. 某数学兴趣小组准备了张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（ ） A. // B. C. D. 4. 如图，中，，，若，，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 如图，在四边形中，，，，交于点，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的个数是（ ） ①添加“”，则四边形是菱形 ②添加“，则四边形是矩形 ③添加“”，则四边形是菱形 ④添加“”，则四边形是正方形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 7. 如图，，分别为，上的两点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 0.75 D. 0.25 9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 折叠一张正方形纸片，按如下折法不一定能折出角的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，菱形的顶点恰好是矩形对角线的交点，当菱形的周长为时，矩形的面积等于________． 12. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，在AC，BC上分别取其靠近C点三等分点M，量得，则AB的长为______ 13. 如果是两个不相等实数，且满足，，那么代数式______． 14. 如图，平行四边形中，E为的中点，已知的面积为1，则四边形的面积为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形是正方形，点A的坐标为，则点B的坐标为___________． 16. 如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则的值是___________． 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同，求每个月生产成本的下降率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，．以原点O位似中心将向右侧放大两倍得到． （1）在图中画出并写出点坐标； （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是______． 20. 若关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程有一个根为，求m的值和此方程的另一个根． 21. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______人． （2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 22. 如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 23. 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：PA＝PC； （2）求证：PC2＝PE•PF． 24. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，售价为40万元时，年销售量为600台；经过市场调研发现，这种设备每涨价1万元，年销量就会减少10台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元/台）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？ 25. 【问题呈现】如图是李老师在一节课中例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 【结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形形状为______； （2）若，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大2024-2025九年级数学上学期期中检测 一、单选题 1. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式及其定义即可得结果． 【详解】解：由题意可得k≠0，=， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，二次项系数不为零是容易忽略的地方，需注意． 2. 某数学兴趣小组准备了张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表格得到所有可能的结果数及所求结果数，根据概率公式计算可得． 【详解】列表如下： 备 战 中 考 备 战备 中备 考备 战 备战 中战 考战 中 备中 战中 考中 考 备考 战考 中考 由表知，共有种等可能结果，其中这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的有种结果， 所以这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率为， 故选：． 【点睛】此题考查了列举法求事件的概率，正确理解“放回”与“不放回”事件及概率的计算公式是解题的关键． 3. 如图，以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（ ） A. // B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 【详解】以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到， ∴和是位似图形， ∴~，故C正确； ∴， 又 ~ ∴ ∴//故A正确； ∵把的各边放大为原来的2倍得到， ∴ ∴，故B选线说法错误； ∵，故D正确； ∴说法错误的是：B选项； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键． 4. 如图，中，，，若，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】易证，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵AB=AD+BD=2+6=8， ∴， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法与性质的应用是解题关键． 5. 如图，在四边形中，，，，交于点，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的个数是（ ） ①添加“”，则四边形是菱形 ②添加“，则四边形矩形 ③添加“”，则四边形是菱形 ④添加“”，则四边形是正方形 A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到垂直平分，结合矩形、菱形、正方形判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，， ①当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②当时，无法证明四边形是矩形，故②错误； ③当， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故③正确； ④当时，， ∴， 由①得四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 综上分析可知，正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形、菱形、正方形判定，解题的关键是根据，，得到垂直平分． 6. 将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程写成一元二次方程，然后再运用一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：∵ ∴x2-6x=-9，即x2-6x+9=0 ∵△=（-6）2-4×9×1=0 ∴该方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，正确列出一元二次方程并会用根的判别式判断根的情况成为解答本题的关键． 7. 如图，，分别为，上的两点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，比例的性质，解题的关键是熟练掌握定理：两条直线被一组平行线（不少于条）所截，截得的对应线段的长度成比例．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 0.75 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理的应用，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．先由菱形的性质求得，，，再根据勾股定理求得，设点到的距离是h，由，得，即可得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， 设点到的距离是h， ， ， ， 故选：C． 10. 折叠一张正方形纸片，按如下折法不一定能折出角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质以及正方形的性质．A、由正方形的性质，直接可求得角；B、如图2，由折叠的性质可得：；C、如图3，由折叠的性质可得是等腰直角三角形，即可求得角；D、不能确定角． 【详解】A、如图1，∵四边形是正方形， ∴， 故本选项能折出角； B、如图2，∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴； 故本选项能折出角； C、如图3， ， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 故本选项能折出角； D、如图4，由折叠的性质可得：， 但不能确定哪个角一定为． 故选D． 二、填空题 11. 如图，菱形的顶点恰好是矩形对角线的交点，当菱形的周长为时，矩形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=4，进而利用矩形的性质得出AB=AC，得出△ABC是等边三角形，利用矩形的面积解答即可． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴AB=BC=4， ∵四边形BCEF是矩形， ∴BE=CF，AC=AF，AB=AE， ∴BA=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BA=AC=BC=4，∠ABC=60°， ∴BE=2BA=8， ∴ ， ∴矩形BCEF的面积=BC×CE= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键． 12. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，在AC，BC上分别取其靠近C点的三等分点M，量得，则AB的长为______ 【答案】114 【解析】 【分析】由题易知△CMN∽△CAB，然后根据相似比等于对应线段的比求解． 【详解】∵CM：CA=CN：CB=1：3 ∵∠C=∠C ∴△CMN∽△CAB ∴MN：AB=CM：CA=1：3 ∵MN=38m ∴AB=114m 故答案是：114． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，如果两三角形的两组对应边的比相等，且其夹角对应相等，则这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等． 13. 如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由是两个不相等的实数，且满足，，可得是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根和系数的关系可得， ，又由，代入算式可变为，再把， 代入计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是两个不相等的实数，且满足，， ∴是方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系可得：， ， 又∵， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形中，E为的中点，已知的面积为1，则四边形的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高两个三角形面积比等于底之比．由题意可知，，可得，再根据是的中点，求出相似比，从而求得的面积，再利用和等高，则两个三角形面积之比等于它们的底之比，求得的面积，从而求得面积，即可求得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， 又是的中点， ， ，则， 和等高， ，则， ， 四边形的面积为：， 故答案为：5． 15. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形是正方形，点A的坐标为，则点B的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴于点D，过点B作于点E，根据，得出，根据正方形的性质可得，推出，通过证明，得出，即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作于点E， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． 16. 如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设CD＝a，则CE＝a，根据已知条件可求出，利用勾股定理得出，解方程求出CD，则AD可求出． 【详解】解：设CD＝a，则CE＝a， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及一元二次方程的应用，熟练运用方程的思想求解是解题的关键． 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法，配方法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法，配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴或， 解得，，． 【小问2详解】 解：． ， ， ∴， 解得，，． 18. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同，求每个月生产成本的下降率． 【答案】5% 【解析】 【分析】设每个月生产成本的下降率为x，则2月份的成本为万元，3月份的成本为，再建立方程求解即可． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． （1）在图中画出并写出点坐标； （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是______． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中位似图形的画图，位似点的坐标计算，熟练掌握作图，坐标计算方法是解题的关键． （1）根据位似中心，结合位似比，画图即可． （2）根据位似坐标计算方法即起始点坐标的位似比倍或位似比的相反数倍计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到， 则，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 20. 若关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程有一个根为，求m的值和此方程的另一个根． 【答案】（1）无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式方程有两个不相等的实数根，此题难度不大． （1）先把方程化为一般式，找出a，b和c，求出根的判别式进行解答； （2）先把代入原方程求出m的值，进而求出原方程的另一根． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴； ∴无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵原方程有一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程的另一个根是． 21. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查总人数为______人． （2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）40 （2）；420 （3） 【解析】 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （2）用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数；根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人． 故答案为：40． 【小问2详解】 解：参加排球项目的学生人数为（人）． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （人． 参加“游泳”的人数大约为420人． 【小问3详解】 解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 22. 如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：PA＝PC； （2）求证：PC2＝PE•PF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CDB＝∠ADB，然后利用“边角边”证明△APD和△CPD全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可 （2）利用两组角对应相等则两三角形相似，证明△APE与△FPA相似；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴DA＝DC，∠CDB＝∠ADB， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC； （2）∵△ADP≌△CDP， ∴∠PAD＝∠PCD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DC∥AB， ∴∠PCD＝∠PFA， ∴∠PAE＝∠PFA， 而∠APE＝∠FPA， ∴△PAE∽△PFA， ∴PA：PF＝PE：PA， ∴PA2＝PE•PF， ∵PA＝PC， ∴PC2＝PE•PF． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键． 24. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，售价为40万元时，年销售量为600台；经过市场调研发现，这种设备每涨价1万元，年销量就会减少10台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元/台）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？ 【答案】（1） （2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用， （1）利根据题意可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程，取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意， 【小问2详解】 解：设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 此设备的销售单价不得高于万元， ． 答：该设备的销售单价应是万元台． 25. 【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 【结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形的形状为______； （2）若，则的面积为______． 【答案】【结论应用】见解析；【拓展提升】（1）矩形，（2） 【解析】 【分析】[结论应用]先证，则可得，进而可得，则∥，再结合，即可得四边形是平行四边形． [拓展提升] （1）先证四边形是平行四边形，再证，则可得四边形是矩形． （2）过E点作于M点．由（1）得，，，则可得．又由，可得，则可得．再求出的长，则可求出的面积． 【详解】［结论应用］ 解 ：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ， 又，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ［拓展提升］ （1）∵四边形是正方形， ，， ， ∵E、F分别是、的中点， ∴， 又， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，，且E、F分别是、的中点， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ， ， 又， ， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形 （2）过E点作于M点， 由（1）知， 又∵E点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ， 由（1）四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$