第5章 三角函数-【学考一本通】2025年陕西省普通高中学业水平测试数学

第五章 三角函数 。 一、选择题 6.已知函数y=tan(2x十)的图象过点 为 (1.),则可以是 1.已知a为第二象限角,则。一 C ) 一来 A.第一象限角 B.第二象限角 B7 C.第三象限角 D.第四象限角 # 上单调 7.函数f(x)-sin(-一-哥)的最小正周期为 递减的是 ( ) B.y-cos(2x+) ,。 A.-sin(2x+) ~ 出 B. C.y-sin(x+) D. y-cos(xc+) C.2π D.4π 3.已知函数f(x)=sin(cux+)(xR,>o) 上的最大 。 值为 的最小正周期为x,为了得到函数g(x)一 ) K A.0 cosox的图象,只要将 B.-/2 C./2 y一/(x)的图象 ,_ D.2 9.函数y一cos2x在下列哪个区间上单调递减 C 一用 - 2 #A.- ## C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 我 10.函数/(x)-sin(x十)的一个递减区间是 ,。 4. 已知 函 数 y=sin(x+) ~ A.- (a>o, <)的部分图象如图所示,则 B.[-π,0] 一 D.#2# 。 C 。 22 1 二、填空题 11.已知sin({}+á)-,则cos(-)_ 蒋难 12.函数f(x)=Asin(ax十q)(A,a,是常 A.-1 B.-1 -_ 数,A>0,>0)的部分图象如图,则A 6 . C.-2 D.-2 6 g二π 6 5.函数v=4sinx十3cosx的最大值是 __ A.3 B.4 C.5 D.7 13.已知是第三象限角,且sin士cosS0 16. 已知A(cosg:sing),B(cos3,sin③),其中g,a 5 ,则sincose一 为锐角,且 14.如图,函数y2sin3x(<5)与函数 /AB/10 5。 (1)求cos(a-③)的值; y-2的图象围成一个封闭图形,这个封闭 图形的面积是 . (1 三、解答题 15.设函数f(x)=cosrsin(x+)(x<R). (1)求/(袭)# 问 0的 (2)求函数y=f(x)在区间 值域.又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-log2 (-x+2). 答案:0 -log2(-x+2) 14.解析:若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0, 解得a=-1+ 52 或a=-1- 52 (舍去). 答案:-1+ 5 2 15.解:由3x≤ 19 x-3 ,得3x≤3-2x+6, 所以x≤-2x+6,解得x≤2. 又因为y= 13 x 在x∈(-∞,2]上是减函数, 所以y= 13 x ≥ 13 2 =19 , 故y= 13 x 的值域为 1 9 ,+∞ . 16.解:因为-12 是函数的一个零点,所以f(-12 )=0. 因为y=f(x)是偶函数且在(-∞,0]上递增,所以当 log14x≤0,解得x≥1,当log14x≥- 1 2 ,解得x≤2,所以 1≤x≤2. 由对称性可知,当log14x>0时, 1 2≤x<1. 综上所述,x 的取值范围是 1 2 ,2 . 第五章 三角函数 1.C 因为α为第二象限角, 所以2kπ+π2<α<2kπ+π ,k∈Z, 所以2kπ-π<α-3π2<2kπ- π 2 ,k∈Z, 所以α-3π2 为第三象限角. 2.A 选项C,D中函数周期为2π,所以错误, 当x∈ π4 ,π 2 时,2x+π2∈ π,3π2 , 函数y=sin2x+π2 为减函数,而函数 y=cos2x+π2 为增函数,所以B选项错误. 3.A 由 题 知 ω=2,所 以 f(x)=sin 2x+π4 = cos π2- 2x+ π 4 =cos2x-π4 =cos2x-π8 . 4.D T=π,所以ω=2,由五点作图法知2×π3+φ= π 2 , φ=- π 6. 5.C 由 辅 助 角 公 式,函 数 y=4sinx +3cosx = 5sinx·45+cosx ·3 5 =5sin(x+φ),其 中cosφ= 4 5 ,sinφ= 3 5 ,且φ 角的终边过点(4,3),所以函数y= 4sinx+3cosx的最大值是5. 6.A 因为函数的图象过点 π12 ,0 , 所以tan π6+φ =0,所以π6+φ=kπ,k∈Z, 所以φ=kπ- π 6 ,k∈Z,令k=0,则φ=- π 6. 7.D 函数f(x)=sin x2- π 6 的最小正周期为 T=2π1 2 =4π. 8.D 因为x∈ 0,3π4 , 所以当x=π2 时,函数f(x)有最大值2. 9.C 若函数y=cos2x递减, 应有2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z, 即kπ≤x≤π2+kπ ,k∈Z, 令k=0可得0≤x≤π2. 10.D 因为2kπ+π2≤x+ π 6≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 所以2kπ+π3≤x≤2kπ+ 4π 3 ,k∈Z. 令k=0得π3≤x≤ 4π 3. 又 因 为 π 2 ,2π 3 ⊆ π3,4π3 ,所 以 函 数 f(x)= sinx+π6 的一个递减区间为 π2,2π3 . 11.解析:因为sin π3+α =14,则cos π6-α =sin π2- π 6-α =sin π3+α =14. 答案:1 4 12.解析:由题图知A= 2,T4= 7π 12- π 3= 3π 12= π 4 , 即T=π,由T=2πω=π ,得ω=2. 答案:2 2 13.解 析:由 sin4θ+cos4θ= 59 ,得 (sin2θ+cos2θ)2- 2sin2θcos2θ=59 ,所以sin2θcos2θ=29 ,因为θ是第三象 限角,所以sinθ<0,cosθ<0,所以sinθcosθ= 23. 答案:2 3 14.解析:函数y=2sin3x π6≤x≤ 5π 6 图象的对称轴为直 线x=π2 ,由函数图象的对称性,利用面积“割补法”,得 函数y=2sin3x π6≤x≤ 5π 6 图象与函数y=2的图象 围成封闭图形的面积是S=4· π2- π 6 =4π3. 答案:4π 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— 15.解:(1)因为f(x) =cosx sinxcosπ6+cosxsin π 6 =14 (3sin2x+cos2x)+14 , f(x)=12sin2x+ π 6 +14,所以f π6 =34; (2)当x∈ 0,π2 时,2x+π6∈ π6,7π6 , 所以sin2x+π6 ∈ -12,1 所以f(x)∈ 0,34 . 16.解:(1)由|AB|= 105 , 得 (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2= 10 5 , 所以2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)= 2 5 , 即1-cos(α-β)= 1 5 , 所以cos(α-β)= 4 5. (2)因为cosα=35 ,cos(α-β)= 4 5 ,α,β为锐角, 所以sinα=45 ,sin(α-β)=± 3 5. 当sin(α-β)= 3 5 时,cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= 24 25. 当sin(α-β)=- 3 5 时,cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=0. 因为β为锐角,所以cosβ= 24 25. 第六章 平面向量及其应用 1.D 在四边形ABCD 中,BC→+DA→+CD→=BC→+CD→+DA→ =BD→+DA→=BA→. 2.D 因为a=(1,1),b=(0,2), 所以λa+μb=(λ,λ+2μ), 因为λa+μb=(2,8),所以(λ,λ+2μ)=(2,8), 所以λ=2,μ=3,所以λ-μ=-1. 3.C 因为△ABC中,D 为AB 上一点,满足AB→=2AD→,则 AD→=DB→,且|AB→|=2|CD→|,如图,延长CD 到E,使CD→= DE→,则ACBE 是平行四边形,由向量加法的平行四边形 法则,得CA→+CB→=CE→=2CD→, 则|AB→|=|CE→|,所 以 平 行 四 边 形 ACBE 是 矩 形,即 △ABC的形状一定为直角三角形. 4.D 若c∥d,则c=λd,所以(k,1)=λ(1,-1), 所以k=λ=-1,所以k=-1,且c与d 反向. 5.C AB→=(3,y-1),又AB→∥a,所以(y-1)-2×3=0,解 得y=7. 6.C 因为BC→=AC→-AB→=(1,t-3). 又因为|BC→|=1, 即12+(t-3)2=12,解得t=3, 所以BC→=(1,0), 故AB→·BC→=2. 7.A 因为b=(2,1),且a与b的方向相反, 所以设a=(2λ,λ)(λ<0).因为|a|=2 5, 所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2. 所以a=(-4,-2). 8.D c=(x+1,4),d= 2x-12 ,3 , 因为3(x+1)=42x-12 ,所以x=1. 所以c=(2,4),d= 32 ,3 ,c-2d=(-1,-2). 9.C 在△ABC中,若AB→·AC→=2且∠BAC=30°, 得|AB→||AC→|cos30°=2,所 以|AB→||AC→|=4 33 ,则 △ABC的面积为S=12|AB → ||AC→|sin30°=12× 4 3 3 × 1 2= 3 3. 10.B 设AP→=λAC→,PC→=(1-λ)AC→,0≤λ≤1,PB→·PC→= (AB→-AP→)·(1-λ)AC→=(1-λ)(AB→-λAC→)·AC→,结合题 目中 的 条 件 得 到 原 式 =4(1-λ)(1-2λ)= 4(2λ2-3λ+1),0≤λ≤1,结合二次函数的性质得到范围 是 -12 ,4 . 11.解析:因为a=(2,-2),b=(x,2),所以a·b=2x-4, 又因为a·b=6,所以2x-4=6,解得x=5. 答案:5 12.解析:因为cosB=a 2+c2-b2 2ac , 又因为b=6,a=2c,B=π3 ,可得c2=12, 解得c=2 3,a=4 3, 则△ABC的面积S=12×4 3×2 3× 3 2=6 3. 答案:6 3 13.解析:如 图,在△ABD 中,由 正 弦 定 理 有: ABsin∠ADB = BDsin∠BAC , 而AB=4,∠ADB=3π4 ,AC= AB2+BC2=5, sin∠BAC=BCAC= 3 5 ,cos∠BAC=ABAC= 4 5 ,所以BD=12 25 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75—