3.2.2 函数的奇偶性 第1课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2.1 函数奇偶性的概念 2 一、情景引入 思考：观察下列图形，你有什么感受？ 二、新知探究——偶函数 思考：观察下列函数，它们具有怎样的对称性？ 类比函数的单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图像关于y轴对称”这一特征吗？ 二、新知探究——偶函数 不妨取一些特殊值，观察相应函数的情况 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 9 4 1 0 1 4 9 g(x) -1 0 1 2 1 0 -1 当自变量取一对相反数时，函数值相等。 思考：如何用数学符号语言描述。             二、新知探究——偶函数 例1：判断下列函数是否为偶函数。 【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式： 【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A； ②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x) 【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数 要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可 三、新知探究——奇函数 思考：观察下列函数，它们具有怎样的对称性？ 类比函数的单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图像关于原点对称”这一特征吗？ 不妨取一些特殊值，观察相应函数的情况 三、新知探究——奇函数 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x 当自变量取一对相反数时，函数值也是一对相反数。 三、新知探究——奇函数 思考：如何用数学符号语言描述。             【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式： 三、新知探究——奇函数 【1】①该函数的定义域关于原点对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A； ②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x) 【2】几何法，函数的图像关于原点对称，那么函数就是奇函数 要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可 四、知识梳理 函数的偶性： 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 结论 图像特点 关于 对称 关于 对称     y轴 原点 五、巩固练习 1.判断下列函数的奇偶性。 解：（1）函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有 　　 f(-x)=(x)4 =x4= f(x), 所以函数f(x)=x4是偶函数。 （2）函数f(x)= x5的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有 　　 f(-x)= （-x）5 = -x5 = -f(x), 所以函数f(x)= x5是奇函数。 五、巩固练习   【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数 的定义域为R，且有 所以此函数是奇函数.     (2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在 y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的 图像如图所示.   16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 谢谢~ 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解奇函数、偶函数的定义． 2．了解奇函数、偶函数图象的特征． 3．掌握判断函数奇偶性的方法. 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养． 2．借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养． 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝eq \f(1,\r(x)) D．y＝x2，x∈[0,1] B　[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.] 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) A　 　B　 　C　 　D B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.] 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 3　[∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.] 【例1】　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)； (4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.)) 函数奇偶性的判断 [解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此函数f(x)是奇函数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，)) 即f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.)) 于是有f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图象法： 1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝eq \f(1,x2)； ④f(x)＝x＋eq \f(1,x)；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]． ②③　[对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数； 对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝eq \f(1,－x2)＝eq \f(1,x2)＝f(x)，则为偶函数； 对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－f(x)，则为奇函数； 对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．] 【例2】　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． 奇偶函数的图象问题 [解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称． 由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)． (变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． [解]　(1)如图所示 (2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)． 巧用奇、偶函数的图象求解问题 1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. 2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题. $$