第二十四章解直角三角形单元测试2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

2024-2025学年华东师大数学九上 第二十四章解直角三角形 一、单选题 1．点P的坐标为，A是x轴正半轴上一点，O为原点，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 2．如图所示，有一山坡在水平方向每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为(      ) A． B． C． D． 4．若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 5．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（    ） A． B． C． D． 6．如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一 点C，测得米，，则小河宽为多少米？（    ） A． B． C． D． 7．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（ ） A． B． C． D． 8．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距为（    ）米． A． B． C． D． 9．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 10．计算 ． 11．如图，在中，，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交BC于点D，设，则 ． 12．如图，中，，是角平分线．若，，则的值为 ． 13．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 14．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于 米． 15．如图，在矩形中，，为边上一点，将沿折叠，使得点落到边上点的位置，若，则 ． 16．人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示，秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 ．（结果保留根号） 三、解答题 17．计算：； 18．某校生物兴趣小组把一块沿河的三角形废地（如图）开辟为生物园（设AB段河岸为直线），已知∠ACB=90°，∠CAB=55°，BC=80米，学校决定在点C处建一个蓄水池，利用管道从河中取水，已知每铺设1米管道费用为50元，求铺设管道的最低费用（精确到1元）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43） 19．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）． 20．如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F． (1)当点D是边AC中点时，求的值； (2)求证：； (3)当时，求． 21．若点在四边形内部，且点到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“等距点”．例如：如图1，点在四边形内部，且，则称点为边的“等距点”．    (1)如图1，四边形中，于点，求证：点是边的“等距点”． (2)如图2，点是矩形边的“等距点”，． ①当时，请求出的值； ②设分别为，试求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A A B A D D C C 10．2 11． 12． 13． 14．2 15． 16．座板从处摆动至处的水平距离为． 17．解： 18．过点C作CD⊥AB于点D，∴∠CAD+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°，∠CAB=55°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠CAB=55°， 在Rt△BCD中，BC=80米，∴CD=BC•cos55°≈80×0.57=45.6（米）， ∵每铺设1米管道费用为50元，∴铺设管道的最低费用维E：45.6×50=2280（元）． 答：铺设管道的最低费用是2280元． 19．过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠β=45°，∠ADC=90°， ∴AD=DC， 设AD=DC=xm， 解得：x=50（+1）， 答：河的宽度为50（+1）m． 20．（1）解：过D作DH⊥AB于H， 在中，，， 设，， ∴， ∵D为AC的中点， ∴AD= AC= ， ∴， ∴， 在Rt△AHD中，， ∴BH=AB－AH= －= ， 在Rt△BHD中，； （2）证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD， ∴△DEB∽△ADB， ∴， ∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A， ∴△DFB∽△ACB， ∴， ∴即； （3）解：由可设，，则DF=4k， ∵， ∴cot∠BDE=cot∠A=， ∴， ∴，又∠F=90°， ∴， ， ∵△DEB∽△ADB， ∴即， ∴AB=8k， ∴AE=AB－EB=5k， ∴AE：EB=5k：3k=5：3． 21．（1）解：于点， ， 又，则， ， 点是边的“等距点”； （2）过点作直线交于于，连结， ①点是矩形边的“等距点”， ， 又直线， 直线是矩形边的中垂线， 点在矩形边和的垂直平分线上， ， 矩形中，，    ， ， 交于于， ， 又矩形中，， 四边形是矩形， ， ， ．， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， 当时，， 当时，， 的值为或； ②于， 在中， 在中， 设，则 当时，有最大值25 有最大值 当时，的最大值是． 学科网（北京）股份有限公司 $$