2.2 二次函数的图象和性质 (1) 同步练习 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

第二章二次函数第1 讲 二次函数的图象和性质 (1)2023-2024学年九年级下册数学北师大版 专题一 二次函数 的图象和性质 【知识聚焦】 函数 y=ax²(a>0) y=ax²(a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0, 0) (0, 0) 对称轴 y轴 y轴 增减性 x<0时， y随x的增大而减小；x>0时， y随x的增大而增大. x<0时， y随x的增大而增大；x>0时， y随x的增大而减小. 最大(小)值 当x=0时, y最小=0 当x=0时, y最大=0 【典例精讲】 题型1 二次函数 的图象 【例1】函数y= ax-2(a≠0)与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 举一反三 1. 函数 与y=-ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是可能是 ( ) 题型2 二次函数 图象的开口大小 【例2】如图，若抛物线. 与四条直线 围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ( ) 举一反三 2. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出(①y=x²; ②y=- x²; ③y=-2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 . 题型3 二次函数. 的性质 【例3】一个二次函数，它的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点 (1) 写出这个二次函数的解析式. (2) 抛物线在对称轴左侧部分，y随x增大怎样变化? (3) 这个函数有最大值还是有最小值? 举一反三 3.(1) 若抛物线 经过点. 则 ( ) (2) 已知 点 都在函数. 的图象上，则( ) 题型4 应用二次函数 的图象和性质求字母的值 【例4】二次函数 与直线. 1的图象交于点 P(1, m). (1) 求a, m的值; (2) 写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大? (3) 指出抛物线的顶点坐标和对称轴. 举一反三 4. 当m为何值时 是二次函数，且当 时，y随x的增大而减小? (1) 写出函数的表达式，并回答函数有最大值还是最小值? 是多少? (2) 已知点 在函数的图象上，试比较 的大小. 题型5 二次函数 与一次函数的综合 【例5】如图所示，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线 相交于 B，C两点，已知点 B 的坐标为(1, 1). (1) 求直线和抛物线所对应的函数解析式； (2) 如果 D 为抛物线上一点，使得 与 的面积相等，求点 D的坐标. 举一反三 5. 若直线y=2x+15 与抛物线 交于A, B两点, 且点 A 的横坐标为-3. (1) 试求抛物线 的函数关系式； (2) 连接OA, OB, 试求△AOB的面积. 题型6 二次函数几何定义问题 【例6】研究发现，二次函数 图象上任何一点到定点 和到定直线 的距离相等. 我们把定点 叫做抛物线 的焦点，定直线 叫做抛物线 的准线. (1) 写出函数 图象的焦点坐标和准线方程； (2)等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数 图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长； (3) M为抛物线 上的一个动点，F为抛物线 的焦点, P(1, 3)为定点, 求 的最小值. 举一反三 6. 阅读下面材料，并回答问题： 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点 F) 距离相等的所有点组成的图形叫抛物线.点 F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 应用：(1) 如图1，一条抛物线的焦点为F(0，1)，准线为过点(0，-1) 且平行于x轴的直线l； 设点 P(x，y)为抛物线上任意一点，小聪同学在应用定义求这条抛物线的解析式时作出了如下不完整的解答，请你将余下部分补充出来. 解: 设点 P(x, y)为抛物线上任意一点, 作PM⊥l于点 M,则. 作 轴于点 N，则在 中，有 所以 ∵PF=PM ∴ = , 将方程两边同时平方，解得抛物线的解析式为 . (2) 如图2, 在(1) 的条件下, 点A(1, 3)是坐标平面内一点,则.△FAP的周长最小值为 . (3) 在(1)(2)的条件下, 如图3, 点B(4, 4)是坐标平面内另一点, 过P作 垂足为H，连接PF 和FH，问在抛物线上是否存在点P，使得以 P，F，H为顶点的三角形与 相似? 若存在，求出 P 点的坐标； 若不存在，请说明理由. 专题二 二次函数. 的图象和性质 【知识聚焦】 函数 y=ax²+k(a>0) y=ax²+k(a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0, k) (0, k) 对称轴 y轴(或直线x=0) y轴(或直线x=0) 增减性 x<0时， y随x的增大而减小；x>0时， y随x的增大而增大. x<0时， y随x的增大而增大；x>0时， y随x的增大而减小. 最大(小)值 当x=0时, y最小=k 当x=0时, y最大=k 【典例精讲】 题型1 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 【例1】抛物线. 的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；抛物线 在x轴的 方； 当x>0时，图象自左向右逐渐 ，它的顶点是最 点. 举一反三 1. 已知二次函数 其图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，该图象的顶点是最 点. 题型2 二次函数 的图象和性质 【例2】求下列抛物线的解析式： (1) 与抛物线 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(0，-5)的抛物线； (2) 顶点为(0, 1),经过点(3, -2)并且关于y轴对称的抛物线. 举一反三 2. 求符合下列条件的抛物线 的函数关系式： (1) 经过点 (-3, 2); (2) 与 的开口大小相同，方向相反； (3) 当x的值由0增加到2时，函数值减少4. 题型3 二次函数 与一次函数的综合应用类 【例3】已知抛物线 的顶点为P，它与直线 交于两点A(1, m), B(n, -1)与x轴交于C，D两点，试求抛物线的解析式及 的面积. 举一反三 3. 已知直线. 和抛物线 相交与点A(2, b), (1) 求a, b的值; (2) 若函数 的图象上纵坐标为2的点为A，抛物线 的顶点为B，求 题型4 二次函数 与几何图形的综合应用 【例4】如图, 在平面直角坐标系中, 点A(m, 6)(0<m<3), B(n, 1)为两动点,且( (1) 求证: (2) 当 时，抛物线经过A，B两点且对称轴为y轴，求该抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于 P，Q两点. 是否存在直线l，使 若存在，求直线l的解析式； 若不存在，请说明理由. 举一反三 4. 如图，抛物线 的顶点坐标为(0, 2), 矩形ABCD的顶点B, C在x轴上, A, D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内. (1) 求抛物线的解析式； (2) 设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求自变量的取值范围； (3) 是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9? 试证明你的结论. 【综合提升】 一、选择题 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是 ( ) B. y=(x+1)(x-1)--(x-1)² 2. 抛物线 的共同性质是 ( ) A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 3. 关于二次函数. 的图象和性质正确的是 ( ) A. 开口向下, 顶点坐标为(0, 0) B. 开口向上，对称轴为y轴 C. y随x的增大而增大 D. 当x>0时, y随x的增大而减小 4. 如图, 点A₁, A₂, …, An在抛物线y=x²上, 点B₁, B₂, …, Bₙ在y轴上,若△A₁B₀B₁, △A₂B₁B₂, …, △AnBₙ₋₁Bₙ.都为等腰直角三角形(点B₀为坐标原点), 则△A₂019B₂018B₂019的腰长等于 ( ) A. 2018 B. 2019 5. 将二次函数 的图象向下平移1个单位长度，则平移后的二次函数解析式为( ) 6. 已知a≠0, 在同一直角坐标系中, 函数y= ax与. 的图象有可能是( ) 7. 已知一次函数y= ax-c的图象如图所示，则二次函数. 的图象大致是下图中的( ) 8. 如图,已知边长为4的正方形ABCD, P是BC边上一动点(与B, C不重合), 连结AP, 作 交∠BCD的外角平分线于E, 设BP=x, △PCE 面积为y, 则y与x的函数关系式是 ( ) A. y=2x+1 D. y=2x 9. 如图, Rt△OAB的顶点 A(-2, 4)在抛物线 上, 将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为 ( ) A. ( , ) B. (2, 2) C. ( , 2) D. (2, ) 10. 已知抛物线 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为( ( , 3), P是抛物线 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 11. 如图，在同一坐标系中，作出① 的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 (填序号). 12. 如图, 圆的半径为2, C₁是函数. 的图象，C₂是函数 的图象，则阴影部分的面积是 . 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线 于点 B, C, 则BC的长为 . 14. 如图，O为坐标原点，边长为 的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为 . 15. 如图, 矩形ABCD中,AB=8,BC=6, P是线段BC上一点(P不与B重合), M是DB 上一点且BP=DM, 设BP=x, △MBP 的面积为y, 则y与x之间的函数关系式 . 三、解答题 16. 函数 与直线y=2x-3 交于点(1, b), 求: (1) a和b的值; (2) 求抛物线 的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x为何值时，二次函数. 中的y随x的增大而增大? 三、解答题 16. 函数 与直线y=2x-3 交于点(1, b), 求: (1) a和b的值; (2) 求抛物线 的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3) x为何值时，二次函数 中的y随x的增大而增大? 17. 抛物线 交y轴于点 (0, 3). (1) 求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； (2) 画出这条抛物线的大致图象； (3) 根据图象回答： ①x取什么值时，抛物线在x轴上方? ②x取什么值时，y的值随x值的增大而减小? 18. 如图所示，在抛物线 上取三点A, B, C. 设A, B的横坐标分别为 直线 BC与x轴平行. (1) 把△ABC的面积S用a表示; (2) 当△ABC的面积S为15时, 求a的值; (3) 当△ABC的面积S为15时, 在线段BC上求一点D, 使 的面积为7. 19. 某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB 所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O. 已知. 米，设抛物线解析式为 (1) 求a的值; (2) 点 是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求 的面积. 20. 如图, 已知P(m, a)是抛物线. 上的点，且点 P在第一象限. (1) 求m的值; (2) 直线 过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点 M. 当 时， 是否恒成立? 如果成立，请证明； 如果不成立，举出一个反例说明. 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点 C，与抛物线 交于点 A, B (点 A在点 B左侧)，分别过A，B两点作直线 的垂线, 垂足为E, F. (1) 求证: (2) M为EF的中点, 连接MC 并延长交抛物线于点 P, 连接 PA, BM. 是否存在这样的点M,使 与 相似? 若存在，求出所有符合条件的点M的坐标； 若不存在，请说明理由. 22. 对于抛物线G: m为常数), 存在点 F(0, m)和直线. ，使抛物线G上的任意一点到点 F 和到直线y=-m的距离相等，我们把F叫做抛物线G的焦点，直线 叫做抛物线G 的准线. (1) 如图1, 抛物线G: 的焦点为F，准线为l，请直接写出F的坐标和准线l的解析式； (2)在图1中，抛物线G的准线交y轴于点 C，点 A 是抛物线 G上任意一点，过A作AB⊥l于点B，连接FB交x轴于点 E, 连接CE. 求证: (3) 如图2, 将抛物线 沿x轴向右平移1个单位后，得到抛物线 此时抛物线 的焦点为F₁, 准线为l₁,点N的坐标为(5, 5), 点 M是抛物线G₁上的一动点, 过点M作 于点 K, 连接MN, 求|MN-MK|的最大值, 并求出此时点 M 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$