3.1椭圆及其标准方程第二课时动点的轨迹问题学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

　3.1椭圆及其标准方程（2）——动点的轨迹（教师版） 一.教学目标 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，掌握求点的轨迹方程：定义法、直接法、相关点法. 2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移能力. 二.基础知识 1．椭圆的定义： (1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 2. 椭圆中的标准方程：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 （a＞b＞0） 焦点 与 a，b，c的关系 【答案】 与， 【详解】焦点在轴的标准方程为，， 焦点在轴的椭圆的焦点坐标为与， 的关系是. 故答案为：，；与，. 三.典型例题 类型1　由定义法求点的轨迹方程 例1、已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 归纳：求动点M轨迹方程的一般步骤： ①设 的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； ②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用 表示出来； ③ 所得方程是否为M的轨迹方程. 【答案】 动点M M的坐标 化简并检验 跟踪训练： 1.如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 【答案】 【详解】 连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得， 则有， 所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆， 则，即， 所以点M 的轨迹方程为：，即， 故答案为：. 例2、（椭圆的第二定义）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 跟踪训练： 1．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意可得，化简得， 曲线的方程为． 例3（椭圆的第三定义）、如图1，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 图1 解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以直线的斜率 ． 同理，直线的斜率 ． 由已知，有 ， 化简，得点M的轨迹方程为 ． 跟踪训练： 1.点M的轨迹是除去，两点的椭圆． 已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 例3、（相关点法） 如图2，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 图2 解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为，由点M是线段的中点，得 ，． 因为点在圆上，所以 ． ① 把，代入方程①，得 ， 即 ． 所以点M的轨迹是椭圆． 跟踪训练： 1.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2.长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 三、跟踪训练 1.已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】 【详解】由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切，设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以点的轨迹方程为. 2.已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 3.已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】或 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 4．已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可. 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 5.已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】 【详解】由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切， 设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 点的轨迹方程为．    6.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【答案】 【详解】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为．    7.如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为点，点， 则，又，所以， 所以边BC所在直线的方程为， 即． （2）因为边BC所在直线的方程为， 令，得， 所以圆心，又因为， ∴圆M的方程为． （3）因为点P为线段OA的中点所以， 又，且圆N过点， 所以是该圆的半径， 因为动圆N与圆M内切，所以， 即， 所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且， 所以，，， 所以圆心N的轨迹方程为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　3.1椭圆及其标准方程（2）——动点的轨迹（学生版） 一.教学目标 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，掌握求点的轨迹方程：定义法、直接法、相关点法. 2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移能力. 二.基础知识 1．椭圆的定义： (1)定义： ，这两个定点叫 ，两焦点间的距离叫 ，焦距的一半称为半焦距． (2)几何表示： . 2. 椭圆中的标准方程：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 （a＞b＞0） 焦点 与 a，b，c的关系 三.典型例题 类型1　由定义法求点的轨迹方程 例1、已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 归纳：求动点M轨迹方程的一般步骤： ①设 的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； ②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用 表示出来； ③ 所得方程是否为M的轨迹方程. 跟踪训练： 1.如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 例2、（椭圆的第二定义）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 例3（椭圆的第三定义）、如图1，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 图1 跟踪训练： 1.点M的轨迹是除去，两点的椭圆． 已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 例3、（相关点法） 如图2，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 图2 跟踪训练： 1.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2.长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 三、跟踪训练 1.已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 2.已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 3.已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 4．已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 5.已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 6.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    7.如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$