精品解析：山东省滨州市滨州惠民文昌中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

2023－2024学年第一学期学科质量检测 高三数学试题 说明：全卷满分150分.考试用时120分钟，考试范围：第一章到第六章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 12 4. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 7. 数列中，，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9 已知复数，则（ ） A. 的模长为 B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 纯虚数 D. 在复数范围内，是方程的一个解 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的一个对称中心为 D. 的单调增区间为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 若函数在上的最大值为6，则实数__________． 13. 已知幂函数满足，则______． 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，. （1）求； （2）若，且，求边上的高. 16. 已知等差数列的前项和为，数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知数列的前项和是公比大于0的等比数列，且满足. （1）求和的通项公式； （2）若数列前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设数列满足，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求实数的取值范围. 19 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求函数的值域． （3）若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年第一学期学科质量检测 高三数学试题 说明：全卷满分150分.考试用时120分钟，考试范围：第一章到第六章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和虚部的概念即可得到答案. 【详解】，则其虚部为. 故选：B. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合补集和一元二次不等式解法化简集合，再根据交集运算法则求解答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选：B 3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】建立合适的直角坐标系，写出相关向量计算向量数量积即可. 【详解】以两向量公共点为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，，， 则. 故选：D. 4. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集可得，再解方程可得集合； 【详解】因为，所以， 代入，可得， 所以方程变为，可解得或3， 所以， 故选：C. 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可. 【详解】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故a的取值范围是. 故选；B. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法进行比较即可. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：B. 7. 数列中，，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先求等差数列求出通项，再求和得出参数. 【详解】因为，所以， ， 所以. 故选：C. 8. 如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、三角形的面积结合正弦函数的图象即可判定. 【详解】由三角函数定义及面积可得：， 由正弦函数的图象可知B项正确. 而对于A、C项，显然可排除；对于D项，显然当时，M与O重合，此时，可排除. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的模长为 B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 为纯虚数 D. 在复数范围内，是方程的一个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简，利用共轭复数的概念及模长公式判断A；利用复数的几何意义判断B；利用纯虚数的概念判断C；解方程判断D. 【详解】因为，所以，A错误； 在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，B正确； 为纯虚数，C正确； ，得，即， 则是方程的一个解，D正确. 故选：BCD. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式，以及代入特殊值，即可判断选项. 【详解】A.，得，当且仅当，即，时等号成立，故A正确； B.当时，，故B错误； C.， 当，即时，等号成立，故C正确； D.当时，，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的一个对称中心为 D. 的单调增区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象可得函数的周期，再由特殊角的三角函数值可得A，B正确；代入检验可得C错误；由正弦函数的单调增区间可得D正确； 【详解】A：由图象可得，所以， 代入可得，则且， 所以，故A正确； B：由选项A的解析可得最小正周期为，故B正确； C：因为，代入，可得，故C错误； D：由正弦函数的递增区间，可得， 所以的单调增区间为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 若函数在上的最大值为6，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由于函数定区间不定轴，可根据对称轴相对于区间的位置关系讨论对称轴，进而求出相应的最大值,进而求出. 【详解】，， 当时，，解得， 当时，，解得，又，故不成立. 综上, . 故答案为：1. 13. 已知幂函数满足，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由幂函数的定义结合导数求得，进而可得答案. 【详解】由幂函数的定义可得，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意． 故，． 故答案为：4. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为的面积为， 所以， 于是有， 由余弦定理可知：， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，. （1）求； （2）若，且，求边上的高. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，根据两角和的正弦公式可求的值，由的范围即可求解； （2）由余弦定理求出,过作延长线的垂线，垂足为，在中求即可. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 即， 即， 所以. 因为,所以,所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以. 因为，所以. 因为，所以. 过作延长线的垂线，垂足为， 则边上的高. 16. 已知等差数列的前项和为，数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为,根据等差数列通项公式及前n项和公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列通项公式为. 【小问2详解】 由（1），得， ∴数列的前项和 ∴ ∴ 所以 17. 已知数列的前项和是公比大于0的等比数列，且满足. （1）求和的通项公式； （2）若数列的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用关系求通项公式，应用等比数列通项公式求基本量，进而写出的通项公式； （2）应用裂项相消法求，即可证结论； （3）由（1）得，应用分组求和，结合错位相减法、等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】 由且，则， 而也满足上式，故； 所以，设公比为且，则（负值舍）， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：， 所以，而， 所以 【小问3详解】 由，则， 令，则， 所以， 综上，. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）代入后再求导，由导数的性质即可得到结果； （2）求导后再次构造函数，分与时再求导，利用单调性和极值分析即可； 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，所以， 设，则，， ①若，则，则在单调递增，则， 所以在上单调递增，则满足题意； ②若，，，令，所以， 又，所以，故，， 所以在上单调递减，则, 所以上单调递减，则，不符合题意，舍去； 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求函数最小正周期； （2）若，求函数的值域． （3）若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； （3）首先求出的解析式，由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 当时，， 所以，，则， 因比，函数在上的值域为． 【小问3详解】 因为， ，则， 若函数在上有且仅有两个零点， 则，解得， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$