第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（章末综合双卷检测）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 3．（2020·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得： ＜第三边＜， 即： 3＜第三边＜9， 故选C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（    ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：三角形具有稳定性，长方形、正方形、平行四边形不具有稳定性， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 6．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 7．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　） A．﹣5 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答． 【详解】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4． 不妨设第三边长为a，则4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7． 观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，绝对值，实数与数轴，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边， 8．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 9．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答． 【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于． 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾． 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 以上步骤符合反证法的步骤． 故推理使用的证明方法是反证法． 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 10．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 二、填空题 11．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题是： “如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义． 12．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 13．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 14．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（2021·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 【答案】； 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5， ∵m为整数， ∴m=2、3、4， 又∵m≠0、2、3 ∴m=4， ∴原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 16．（2021·四川达州·中考真题）化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 【答案】，-2 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解． 【详解】解：原式； ∵2，3，a为三角形的三边， ∴， ∴， ∵为整数， ∴，3或4， 由原分式得，， ∴且， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入求值是要注意所求的a的值保证原分式有意义． 17．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点在格点上． 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等． 【详解】经计算可得下图中：图①面积为；图②面积为1；图③面积为，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）． 故本题答案如下： 【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可． 18．（2018·重庆·中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数． 【答案】20° 【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°． 【详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°， ∴∠FGH=55°， ∵GE平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°， ∵∠FHG是△EFH的外角， ∴∠EFB=55°﹣35°=20°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 19．（2019·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6． （2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6． （3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）直接利用三角形面积求法得出答案； （3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案． 【详解】解：（1）如图①所示，即为所求； （2）如图②所示，即为所求； （3）如图③所示，四边形即为所求； 【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键. 20．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    【答案】答案见解析 【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． 方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为． 【详解】证明： 方法一：过点作，    则，． 两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 如图，过点C作    ∵CD//AB， ∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°． 即三角形的内角和为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 21．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 22．（2019·甘肃·中考真题）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且．求证：． 点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：． 问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：． 【答案】见解析； 【分析】延长至，使，连接，则，得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，证出，得出，三点共线，由证明得出，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，即可得出结论． 【详解】解：延长至，使，连接，如图所示： 则，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是正方形的外角的平分线上一点， ∴， ∴， ∴，三点共线， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键． 23．（2020·贵州毕节·中考真题）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法” （1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______； （2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； （3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）大长方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）由勾股定理求出AB，然后根据，代入数值解之即可． （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）如图（2），大长方形的面积为一个小正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为， 故答案为：； （2）如图（3）中，，，， ∴, ∵, ∴； （3）如图（4）， ∵，，，垂足分别为点，，， ∴， ∴， ∵AB=AC， ∴CH=OM+ON 即． 【点睛】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等通过分析、推理和计算． 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）下列各图中，作边边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此求解即可． 【详解】解：由三角形的高的概念可知，四个选项中只有D选项中的作图方法是作的边边上的高， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角形的外角性质，三角形的外角等于不相邻的两内角之和，求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点、、在同一直线上，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质和角的和差关系，即可解答．本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解答本题的关键． 【详解】解：是的外角， ， ， ， 故选：C． 4．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，先设第三根木棒长为，根据三角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长度为， 由题意得：， 即， 只有A选项不在范围内， 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）是的中线，于点H，于点G，，，，则的长是（　　） A．4 B．3.5 C．3 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线平分三角形的面积，三角形面积；熟记三角形的中线把三角形面积等分是解题的关键． 由中线的性质得出，根据三角形面积公式计算出，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列选项正确的是（    ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“若，则 ”是假命题，只能举反例 【答案】D 【分析】此题考查了同旁内角的性质、命题的定义、定义和定理、反证法等知识，根据相关知识进行判断即可. 【详解】A. 命题“同旁内角互补”是假命题，故选项错误，不符合题意； B. “作线段”这句话不是命题，故选项错误，不符合题意； C. “对顶角相等”是定理，不是定义，故选项错误，不符合题意； D. 说明命题“若，则 ”是假命题，只能举反例，故选项正确，符合题意； 故选：D 7．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了逻辑推理．熟练掌握找出突破口，是解题的关键． 先根据每个名次中都有人猜对，猜第二名是乙的只有一个同学，则乙是第二名，然后依次类推即可得出答案． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名乙只有丁猜到， ∴乙只能是第二名，不能是第三名； ∴甲是第三名，不可能是第一名； ∴只有丙是第一名，丙不可能是第五名，只有丁是第五名； ∴丁不可能是第四名，故第四名只能是戊． 故第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁． 故选：C． 8．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）下列命题属于真命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形的外角一定大于其相邻的内角 C．五边形有6条对角线 D．十边形的每个外角都是36° 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假，分别根据三角形的外角的性质，多边形得对角线公式及正多边形外角公式分别判断即可得解； 【详解】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，是真命题，故该选项正确，符合题意； B. 三角形的外角一定大于其不相邻的内角，是假命题，故该选项不正确，不符合题意； C. 五边形有 条对角线，是假命题，故该选项不正确，不符合题意； D. 正十边形的每个外角都是，是假命题，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 9．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，的平分线交于点，是外角与内角平分线交点，是，外角平分线交点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形外角的应用，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义有，，得，根据外角的性质，，得． 【详解】解：平分，平分的外角 ， 故选：D 10．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，点分别在和上运动，的平分线与的平分线的反向延长线交于点的平分线与的平分线交于点，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，三角形的外角的性质，设，，可得，可得，由，可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点， ∴设，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知：在钝角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的度数的2倍，则较大的锐角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了三角形的内角和，不等式，要灵活掌握三角形的内角和，然后根据题意得出所求的答案． 若较大的锐角为度，则较小的锐角为度，那么这两个锐角的和为度，钝角三角形中两锐角的和的取值范围为度． 【详解】解：根据题意列出不等式， 化简后得出， 则较大的锐角的取值范围是， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在中，，边上的高与夹角为，则为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的高，三角形的内角与外角，根据题意画出图形，要分两种情况进行讨论；①是锐角三角形，②是钝角三角形． 【详解】解：如图1，当是锐角三角形时， 在中，， ∵边上的高与夹角为， ∴，， ∴； 如图，当是钝角三角形时， 在中，， ∵边上的高与夹角为， ∴，， ∴； 综上，为或． 故答案为：或． 13．（24-25八年级上·全国·期中）如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成图中的四边形，，仍然是，的平分线，猜想与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的计算，解决此题的时候，注意构造三角形，直接运用已知的结论，再进一步利用三角形的外角的性质进行转换．延长、相交于点．根据已知的结论，得．结合三角形的外角的性质，得，再进一步代入化简即可． 【详解】解：延长、相交于点． 根据已知的结论，得． 又． ． 即． 故答案为： 三、解答题 15．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）是三边，化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，整式的加减，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：∵是三边， ∴，，， ∴，， ∴ ． 16．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为小于8的偶数，求的周长． 【答案】(1) (2)14或16 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件： （1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再代值计算即可； （2）根据（1）所求结合偶数的定义可得或，据此利用三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵c的长为小于8的偶数，且， ∴或， 当时，的周长为； 当时，的周长为； 综上所述，的周长为14或16． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于，，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，由平分交边于，得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握三角形中线定义，三角形周长定义，解二元一次方程组，是解决问题的关键．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形中线．三角形三边长的和叫做三角形的周长． 根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；因为与的和为，则可求出的长度． 【详解】解：是边上的中线， ． 的周长比的周长少， ， 即． 又， 得． 19．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，是高，是角平分线，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形平分线、高线的定义，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ， ， ， ． 20．（2024八年级上·吉林·专题练习）在中，，是的平分线，交边上的高于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的定义和性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）首先根据题意以及三角形内角和定理求出，和的度数，利用直角三角形两锐角互余求出答案即可； （2）利用角平分线定义以及外角性质即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵是的平分线， ∴， ∵为的外角， ∴． 21．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 【答案】(1) (2)的面积是 (3)和的周长的差是 【分析】本题考查了三角形中线和高、三角形周长与面积的计算． （1）根据的面积两种求法计算即可； （2）直接用面积公式计算即可； （3）由于是中线，那么，于是可得的周长与的周长差，代入计算即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， ， 即． （2）是边的中线，， ． 由(1)可知， ， 的面积是 （3）为边上的中线， ， 的周长的周， 即和的周长的差是． 23．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；②，证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． （1）根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明结论； （2）①根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．②根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 【详解】（1）证明：∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ． ∴． （2）解：①如图2：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴． ②如图3：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 3．（2020·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（    ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 5．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　） A．﹣5 B．4 C．7 D．8 8．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 9．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 10．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 二、填空题 11．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是 ． 12．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 13．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 14．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 三、解答题 15．（2021·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 16．（2021·四川达州·中考真题）化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 17．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点在格点上． 18．（2018·重庆·中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数． 19．（2019·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6． （2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6． （3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且． 21．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 22．（2019·甘肃·中考真题）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且．求证：． 点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：． 问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：． 23．（2020·贵州毕节·中考真题）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法” （1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______； （2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； （3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：． 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）下列各图中，作边边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点、、在同一直线上，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）是的中线，于点H，于点G，，，，则的长是（　　） A．4 B．3.5 C．3 D．无法判断 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列选项正确的是（    ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“若，则 ”是假命题，只能举反例 7．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）下列命题属于真命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形的外角一定大于其相邻的内角 C．五边形有6条对角线 D．十边形的每个外角都是36° 9．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，的平分线交于点，是外角与内角平分线交点，是，外角平分线交点，若，则（　　） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，点分别在和上运动，的平分线与的平分线的反向延长线交于点的平分线与的平分线交于点，当时，（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知：在钝角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的度数的2倍，则较大的锐角的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在中，，边上的高与夹角为，则为 ． 13．（24-25八年级上·全国·期中）如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为 ． 14．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成图中的四边形，，仍然是，的平分线，猜想与、的数量关系是 ． 三、解答题 15．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）是三边，化简： 16．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为小于8的偶数，求的周长． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于，，，求的度数． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 19．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，是高，是角平分线，，求的度数．    20．（2024八年级上·吉林·专题练习）在中，，是的平分线，交边上的高于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 21．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 22．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 23．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$