精品解析：专题7.1 期中模拟测试卷（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题7.1期中模拟测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 单项式的系数是，次数是4 B. 单项式m的次数是1，没有系数 C. 在，，，，中，整式有3个 D. 多项式是二次多项式 （23-24七年级上·四川眉山·期中） 2. 如果是关于x，y五次三项式，则m的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 不存 （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 3. 当时，代数式的值为，则时，的值为（　　） A. B. C. D. （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 4. 已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. 5 D. ±5 （23-24七年级上·浙江金华·期中） 5. 如图，表示在数轴上的四个点的位置关系，并且它们表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （23-24七年级上·浙江金华·期中） 6. 下列图形都是由同样大小的正方形和正三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有5个正多边形，第②个图形中一共有13个正多边形，第③个图形中一共有26个正多边形，……，则第⑦个图形中正多边形的个数为（ ） A. 77 B. 115 C. 167 D. 168 （24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） 7. 3的正整数次幂：观察归纳，可得的个位数字是（　　） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 （24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） 8. 小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 （23-24七年级上·江苏无锡·期中） 9. 一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（ ） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 （23-24七年级上·辽宁丹东·期中） 10. 下列说法：①若m满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数a，b，c满足，则， 其中正确是有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 11. 在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥6，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _______；无理数有 ________．（填写序号） （24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习） 12. 某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号彩电降价，有四种方案供选择：①先降价，再降价；②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价．其中降价幅度最小的是___．（填序号） （23-24七年级上·浙江金华·期中） 13. 有一种“24点”的扑克牌游戏规则是：任抽四张牌，用各张牌上的数（A表示1）和加、减、乘、除、乘方、算术平方根（可用括号）列一个算式，使得计算结果为24．现抽到的四张牌如图所示，按上述规则列式如：．请你再列出一个符合要求的不同的算式：______． （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 14. 已知，方方发现：当，可求得______；圆圆发现，还可以利用一定的方法求得______． （23-24七年级上·江苏无锡·期末） 15. 如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） （23-24七年级上·浙江宁波·期中） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． （24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） 17. 求下列各式的值： （1）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为4，求的值． （2）已知，，，若，同号，，异号，求值． （2024七年级上·全国·专题练习） 18. （1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 19. 一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ （2）在第 次记录时快递小哥距公司地最远； （3）如果每千米耗油升，每升汽油需元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ （23-24七年级上·湖北孝感·期中） 20. 观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； （1）按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含式子表示，为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． （24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习） 21. 小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． （1）直接写出计算结果： ， ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． （3）小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． （4）请利用（3）的推导公式计算：． （24-25七年级上·浙江金华·阶段练习） 22. 我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）填空：__________，若，则__________； （2）填空：使得成立的x是__________； （3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． （4）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． （24-25七年级上·陕西西安·阶段练习） 23. 如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． （1）当时，点对应的数是______，点对应的数是______； （2）当为何值时，两点之间相距个单位长度； （3）当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1期中模拟测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 单项式的系数是，次数是4 B. 单项式m的次数是1，没有系数 C. 在，，，，中，整式有3个 D. 多项式是二次多项式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是多项式及单项式的概念及其系数、次数问题，根据单项式的系数、次数和多项式的定义以及整式的概念判断即可．属于基础题目，熟记各知识点是解题的关键． 【详解】解：A． 单项式的系数是，次数是3，不符合题意； B． 单项式的次数是1，系数是1，不符合题意； C． 在，，，，中整式有、、，一共3个，正确，故符合题意； D． 多项式是三次三项式，不正确，故不符合题意． 故答案为：C． （23-24七年级上·四川眉山·期中） 2. 如果是关于x，y的五次三项式，则m的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式的问题．根据多项式的定义以及性质即可求出m的值．b次a项式：一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 【详解】∵是关于x，y的五次三项式， ∴， ∴或，且 ∴． 故选：A． （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 3. 当时，代数式的值为，则时，的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，将代入代数式求得值，再将代入运算即可，本题运用了方程的思想．正确代入字母的数值进行运算是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， 原式 ． 故选：D． （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 4. 已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. 5 D. ±5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查估算无理数大小，平方根，代数式求值．先通过估算无理数求得到a、b值，再代入求出代数式值，然后根据平方根定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵a是的整数部分，b是的小数部分 ∴， ∴ ∴的平方根 故选：D． （23-24七年级上·浙江金华·期中） 5. 如图，表示在数轴上的四个点的位置关系，并且它们表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值的化简求值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据题目得到，即可求出，化简求值即可得到答案． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故选B． （23-24七年级上·浙江金华·期中） 6. 下列图形都是由同样大小的正方形和正三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有5个正多边形，第②个图形中一共有13个正多边形，第③个图形中一共有26个正多边形，……，则第⑦个图形中正多边形的个数为（ ） A. 77 B. 115 C. 167 D. 168 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律为正方形的个数依次为，正三角形的规律为每个增加4，然后利用规律解决一般问题． 【详解】解：观察图形知： 正方形的个数依次为⋅⋅⋅，正三角形的规律为每个增加4， 第①个图形有个正多边形， 第②个有个正多边形， 第③个图形有个正多边形， … 故第⑦个图形有个， 故选D． （24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） 7. 3的正整数次幂：观察归纳，可得的个位数字是（　　） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知的个位数字按3，9，7，1循环出现，据此规律求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 由数字的变化可知，的个位数字按3，9，7，1循环出现， ∵， ∴的个位数字是9， 故选：D． （24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） 8. 小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：． （23-24七年级上·江苏无锡·期中） 9. 一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（ ） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101． 故选：C． （23-24七年级上·辽宁丹东·期中） 10. 下列说法：①若m满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数a，b，c满足，则， 其中正确的是有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】考查了绝对值，关键是熟悉①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．如果用字母表示有理数，则数 绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．依此即可求解． 【详解】解：①若满足，则，则，当时，，原来的说法是错误的； ②若，则，所以，原来的说法是正确的； ③当时，分四种情况讨论： 当，且时，，则正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， ④当、、三个都是正数时，则，不符合题意； 当、、有两个正数，一个负数时，不妨设、为正，则， ； 当、、有两个负数，一个正数时，不妨设、为负，则，不符合题意； 当、、三个都是负数时，则，不符合题意； 当三个有理数，，满足，则， 原来的说法是错误的； 故选：B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 11. 在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥6，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _______；无理数有 ________．（填写序号） 【答案】 ①. ⑥⑧ ②. ①⑤⑦ 【解析】 【分析】本题考查实数的分类及定义，无理数：无限不循环小数，大于等于0的整数为非负整数；必须熟练掌握．根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． （24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习） 12. 某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号彩电降价，有四种方案供选择：①先降价，再降价；②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价．其中降价幅度最小的是___．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查代数式的应用，根据题意列出算式，再进行比较，找到降价幅度最小的，即可解题． 【详解】解：设某特定型号彩电原价为， 则根据①降价后价格为： ； 则根据②降价后价格为： ； 则根据③降价后价格为： ； 则根据④降价后价格为： ； 因为， ③降价幅度最小， 故答案为：③． （23-24七年级上·浙江金华·期中） 13. 有一种“24点”的扑克牌游戏规则是：任抽四张牌，用各张牌上的数（A表示1）和加、减、乘、除、乘方、算术平方根（可用括号）列一个算式，使得计算结果为24．现抽到的四张牌如图所示，按上述规则列式如：．请你再列出一个符合要求的不同的算式：______． 【答案】答案不唯一，如：或或等 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，理解实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算法则，综合运算法则是解题的关键． 【详解】解：如：或或等， 故答案为：或或等 （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 14. 已知，方方发现：当，可求得______；圆圆发现，还可以利用一定的方法求得______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）把代入计算即可； （2）令和，两式相加即可求出结果． 【详解】把代入得： ∴， 令， ，① 令， ，② ①②得： 即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，取特殊值代入求解是解题的关键． （23-24七年级上·江苏无锡·期末） 15. 如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） （23-24七年级上·浙江宁波·期中） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和实数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先计算有理数的乘方，化简绝对值，再根据有理数的四则混合运算法则计算即可； （2）先计算有理数的乘方，化简绝对值，再根据有理数的四则混合运算法则计算即可； （3）分别化简算术平方根和立方根，再计算加减法； （4）同时计算乘方，绝对值，立方根和算术平方根，再计算加减法； （5）根据整式加减的混合运算法则计算即可； （6）根据整式加减的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 【小问5详解】 解： 【小问6详解】 解： ． （24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） 17. 求下列各式的值： （1）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为4，求的值． （2）已知，，，若，同号，，异号，求的值． 【答案】（1）2或 （2）15或 【解析】 【分析】对于（1），根据相反数的性质得，倒数的性质得，绝对值的性质得，再代入求值； 对于（2）先根据绝对值的性质得，再分情况讨论，并计算即可． 【小问1详解】 解：∵a，b互为相反数， ∴ ∵m，n互为倒数， ∴． ∵x的绝对值是4， ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵a，b同号，b，c异号， ∴；， 则或． 【点睛】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的理解，求代数式的值，注意多种情况讨论，不能丢解． （2024七年级上·全国·专题练习） 18. （1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1）原式的化简结果与b的取值无关，结果为29；（2）①；②1 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先把所求式子去括号，然后合并同类项化简得到，据此可得化简的结果与b的取值无关，在代入a的值计算即可； （2）①先根式整式的加减计算法则求出的结果，再代值计算即可； ②先根式整式的加减计算法则求出的结果，再根据的值与y的取值无关，即化简结果含y的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； ∴无论b取何值，的化简结果都与b的值结果无关； （2）①∵ ∴ ， 当时，原式； ②∵， ∴ ， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． （23-24七年级上·浙江杭州·期中） 19. 一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ （2）在第 次记录时快递小哥距公司地最远； （3）如果每千米耗油升，每升汽油需元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 【答案】（1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的西边的千米处 （2）五 （3）快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费元 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的性质，正负数的意义，有理数的混合运算的应用； （1）有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离； （3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． 【小问1详解】 解：（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米； 【小问2详解】 （千米） （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， 第五次快递小哥距公司最远． 故答案为：五； 【小问3详解】 (元)， 即快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费元． （23-24七年级上·湖北孝感·期中） 20. 观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； （1）按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【小问1详解】 解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式 ， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． （24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习） 21. 小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． （1）直接写出计算结果： ， ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． （3）小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． （4）请利用（3）的推导公式计算：． 【答案】（1），2 （2）② （3）推导过程见解析， （4） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，有理数乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键． （1）根据“除方”的定义，直接计算即可； （2）根据“除方”的定义，可判定①②；分别取与，计算出结果，两者的结果不相等，则可判定③与④均错误； （3）分当与考虑，根据“除方”的定义，把除法转化为乘法运算，即可得到乘方的运算结果； （4）利用（3）的结论计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：；2； 【小问2详解】 解：， 而，即， 故①错误； ， 故②正确； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误， 故③错误； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误； 故④错误； 综上，说法正确的是②； 故答案为：②； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； 【小问4详解】 解： ． （24-25七年级上·浙江金华·阶段练习） 22. 我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）填空：__________，若，则__________； （2）填空：使得成立的x是__________； （3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． （4）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 【答案】（1）9，6或 （2）或3 （3）有最小值，原式最小值为7 （4）有，当时，最小值为3 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的知识，综合性比较强，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示，能够结合数轴确定式子的最小值是解决本题的关键． （1）直接运算得到的值，根据，则与1的距离等于5，进行解答即可； （2）由题可知，为表示x的点到表示到和2的点的距离和为8，据此进行分情况解答即可； （3）为表示x的点到表示和5的点的距离和，由图可知，当x处于和5之间时，根据两点之间线段最短，式子有最小值； （4）为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和，先观察1和3两数，x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近，则当时，以上条件均符合． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 若，则与1的距离等于5，则或； 故答案为：9，6或 【小问2详解】 表示在数轴上x到和2的距离之和为8， 当时，，解得， 当时，，x不存在， 当时，，解得， 综上可知，使得成立的x是或， 故答案为：或 【小问3详解】 有最小值，最小值为7，理由是： 当时，根据两点之间线段最短，得到有最小值，最小值为； 【小问4详解】 有最小值， 为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和， 由题可得，先观察1和3两数， ∴x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近， 则当时，以上条件均符合， 当时，为最小值， 有最小值，当的时，最小值为3． （24-25七年级上·陕西西安·阶段练习） 23. 如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． （1）当时，点对应的数是______，点对应的数是______； （2）当何值时，两点之间相距个单位长度； （3）当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）或； （3）当或秒时，此时的距离为或． 【解析】 【分析】（）由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，然后求解即可； （）根据题意得点对应的数是，点对应的数是，再根据两点之间相距个单位长度列出绝对值方程，然后求解即可； （）由题意知点对应的数是，点对应的数是，设再运动秒后，则得出平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分当线段和线段相遇前，当线段和线段相遇后两种情况，列出方程，然后求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示数，数轴两点间的距离，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， 当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵两点之间相距个单位长度， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或； 【小问3详解】 存在，理由如下： 当时，点对应的数是，点对应的数是， 由题意知点对应的数是，点对应的数是， 设再运动秒后， ∴平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数， 当线段和线段相遇前， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 当线段和线段相遇后， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离； 综上可知：当或秒时，此时的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$