精品解析：2024-2025学年人教版九年级上册期中测试数学模拟题

人教版九年级上册期中测试模拟题 考试范围：一元二次方程、二次函数、旋转；考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解. 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，经过变换得到，若点C的坐标为，，则这种变换可以是（　　） A. 将绕点C顺时针旋转，再向下平移4个单位长度 B. 将绕点C顺时针旋转，再向下平移1个单位长度 C 将绕点C逆时针旋转，再向下平移1个单位长度 D. 将绕点C逆时针旋转，再向下平移4个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何变换的类型，旋转变换，平移变换等知识，利用旋转变换，平移变换的性质判断即可． 【详解】解：∵点C的坐标为，， ∴将绕点C顺时针旋转，再向下平移4个单位长度可以得到． 选：A． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）． y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）． 所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5. 某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，则这两个月销售额的月平均增长率为（　　） A. 20% B. 25% C. 30% D. 35% 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知原来的数量为16，平均每次增长百分率为x的话，则4月份的销售额是16（1+x），5月份的销售额是16（1+x）（1+x）即16（1+x）2，据此即可列出方程求解． 【详解】解：设这两个月销售额的平均增长率是x，则可以得到方程 16（1+x）2=25， 解得：x1=0.25；x2=-2.25（不合理舍去）． 即商场这两个月销售额的平均增长率是25%. 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的增长率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“-”． 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，连接BD、EC.下列结论：①△ADE的旋转角为120°；②BD＝EC；③BE＝AD+AC；④DE⊥AC，其中正确的有( ) A. ②③ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由AB＝AC，∠B＝30°，得出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，得出将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△ADE的旋转角为60°，故①错误；由DE∥BC，易证AD＝AE，得出BD＝EC，故②正确；BE＝AE+AB＝AD+AC，故③正确；证明∠DAC＝∠EAC，由AD＝AE，得出DE⊥AC，故④正确；即可得出结果. 【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°， ∴将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△ADE的旋转角为180°﹣120°＝60°，故①错误； ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴BD＝EC，故②正确； BE＝AE+AB＝AD+AC，故③正确； ∵∠BAC＝∠DAE＝120°， ∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝120°﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAC＝∠EAC， ∵AD＝AE， ∴DE⊥AC，故④正确； 故选：B. 【点睛】本题考查了旋转性质，平行线的性质，正确理解其性质是解决本题的关键. 7. 已知点是第二象限内的点，设点A关于x轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标、关于x轴、y轴的对称的点的坐标，画出图像确定是直角三角形即可． 【详解】解：如图所示： ∵点关于x轴的对称点为， ∴轴， ∵点关于原点的对称点为， ∴点与关于轴对称， ∴轴， ∴， 是直角三角形． 故选：B． 8. 在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A. x2+2x﹣3＝0 B. x2+2x﹣20＝0 C. x2﹣2x﹣20＝0 D. x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【解析】 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 9. 如果存在常数M，对于任意函数值y，满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；所有满足条件M中，最小值称为这个函数的上确界．例如，函数，，因此有上确界是2，如果函数上确界是n，且函数最小值不超过2m，则m取值范围(　　) A. m≤ B. m C. D. m 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的上确界和函数增减性得到，函数的最小值为，根据，函数的最小值不超过，列不等式求解集即可． 【详解】解：在中，随的增大而减小， 上确界为，即， 函数的最小值是， 解得，再考虑，解得， 综上所述，的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对定义函数的理解和一次函数的性质的灵活运用；一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降；能够正确理解有界函数和上确界是解决问题的关键． 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为， ∴， ， ∴，故⑤错误，正确的个数为2个． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】由m是方程的一个根，将x=m代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：把x=m代入方程，得： ， ∴， ∴ = = =2024 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中对称点的规律，二次函数的顶点坐标，先根据原点对称的两点横、纵坐标互为相反数得到，，然后对二次函数配方成顶点式，然后得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，得到菱形AEFG．当点E恰好落在AC上时，设EF与CD交于点H，则HE＝_________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1，由直角三角形的性质得出AC＝2，由旋转的性质得出AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，求出CE＝AC−AE＝2−2，证出∠CHE＝90°，由直角三角形的性质得出HE＝−1． 【详解】解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OB＝AB＝1， ∴OA＝OB＝， ∴AC＝2， 由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°， ∴CE＝AC−AE＝2−2， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEH＝∠EAG＝60°， ∴∠CEH＋∠ACD＝90°， ∴∠CHE＝90°， ∴HE＝CE＝−1． 故答案为：−1． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于x的方程的解为_________________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 15. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为， 此时点横坐标为，则， 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，， 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法得出，进而即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得： 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根也都是整数，求m的值 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用十字相乘法把原方程左边分解因式得到，则可解得，再根据m为正整数，方程的两个解都为整数进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴原方程有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵m为正整数，且关于x的一元二次方程的两个根也都是整数， ∴是整数， ∴． 18. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，3），B（3，1），C（1，2），△A1B1C1与△ABC关于原点对称． （1）写出A1，B1，C1的坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出△A1B1C1； （3）若点A（4，3）与点M（a﹣2，b﹣4）关于原点对称，求关于x的方程的解． 【答案】（1）A1，B1，C1的坐标为（﹣4，﹣3）、（﹣3，﹣1）、（﹣1，﹣2）；（2）如图：即为△A1B1C1．见解析；（3）关于x的方程的解为﹣或． 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特点即可求解； （2）根据（1）所得坐标即可画出图形； （3）根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，进一步解方程即可． 【详解】（1）根据题意，得 A1（﹣4，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（﹣1，﹣2）， 答：A1，B1，C1的坐标为（﹣4，﹣3）、（﹣3，﹣1）、（﹣1，﹣2） （2）如图：即为△A1B1C1． （3）a﹣2＝﹣4，b﹣4＝﹣3， 解得a＝﹣2，b＝1． 所以方程为：﹣＝x2 整理，得 6x2﹣7x﹣5＝0， 解得x1＝﹣，x2＝． 答：关于x的方程的解为﹣或． 【点睛】本题考查了旋转变换作图、解一元二次方程，解决本题的关键是关于原点对称的点的坐标特征是横纵坐标都互为相反数． 19. 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米； （1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？ （2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由． 【答案】（1）4米或8米；（2）不能，见解析 【解析】 【分析】（1）设AB为x米，然后表示出BC的长为（36-3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可； （2）把（1）中方程改为方程，再解方程，根据方程的解的情况来回答即可． 【详解】解：（1）设的长为米， 依题意的方程：， 解得：，， 答：当的长度为4米或8米时，长方形的面积为96平方米． （2）假设长方形的面积是110平方米 依题意得：．即， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， ∴假设不成立， ∴长方形的面积是不能为110平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长． 20. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）结合旋转的性质和等边三角形的性质可知，，由“”可证，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，再结合等边三角形的性质可推导，在中由勾股定理即可获得答案． 【小问1详解】 证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， 和中， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ，， ∴是等边三角形， ， 又， ， 在中，． 21. 在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在，令，则有，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明提出的问题： （1），则 ； （2）求出方程的根． 【答案】（1）3 （2），， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、分式方程，注意找出整体是关键． （1）根据材料可设，再解关于的方程，再根据求解即可； （2）设，原方程变形为，再求解即可． 【小问1详解】 解：设，则原方程变形为， 解得，， ， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：设，原方程变形为， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，方程的根为，，． 22. ，均为等腰直角三角形，． （1）如图①所示，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ________；的度数为_______． （2）如图②所示，在图①的基础上，将绕点顺时针旋转到如图②所示的位置，其中，，在一条直线上，为线段的中点．则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论． 【答案】（1）；； （2），；理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应角相等，对应边相等，以及等腰三角形三线合一． （1）根据等腰直角三角形的性质推出，则根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，根据三线合一得出即可得； （2）延长到，使使，连接、、，通过证明，得出，，再推出，得出，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵、为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， 答案为：；； 【小问2详解】 解：，；理由如下： 延长到，使，连接、、， ∵、等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 23. 如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； （3）当的面积等于的面积的时，求的值； （4）在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）的值为； （4）存在，点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（）把、代入列方程组求出的值即可； （）连接交抛物线的对称轴于点，连接，先求得直线的函数表达式为，根据轴对称的性质和两点之间线段最短证明点与点重合时， 的周长最小，求出此时点的坐标即可； （）作轴于点，交于点，求出直线的函数表达式，则 ，再用含的代数式表示的长及 的面积，根据的面积等于的面积的列方程求出的值即可； （）先证明当点的纵坐标与点的纵坐标相等或互为相反数, 且时，以点为顶点的四边形是平行四边形，按点在轴上方或点在轴下方分类讨论，分别求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：把点，代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点，代入关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，且直线垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴当点与点重合时，， 此时，可知的值最小， 在中，的边为定值， ∴当的值最小时，则的周长最小， 由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的值为； 【小问4详解】 解：存在，设， 当时，， 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∵点与点关于抛物线的对称轴直线对称， ∴点， ∵， ∴，； 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∴， 整理得， 解得，， ∴，， 作轴于点，轴于点，轴于点， 则，，，， ∵，，， ∴， ∴， 同理 ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级上册期中测试模拟题 考试范围：一元二次方程、二次函数、旋转；考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 3. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，经过变换得到，若点C的坐标为，，则这种变换可以是（　　） A. 将绕点C顺时针旋转，再向下平移4个单位长度 B 将绕点C顺时针旋转，再向下平移1个单位长度 C. 将绕点C逆时针旋转，再向下平移1个单位长度 D. 将绕点C逆时针旋转，再向下平移4个单位长度 4. 在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 5. 某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，则这两个月销售额的月平均增长率为（　　） A 20% B. 25% C. 30% D. 35% 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，连接BD、EC.下列结论：①△ADE的旋转角为120°；②BD＝EC；③BE＝AD+AC；④DE⊥AC，其中正确的有( ) A. ②③ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 7. 已知点是第二象限内的点，设点A关于x轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 8. 在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A. x2+2x﹣3＝0 B. x2+2x﹣20＝0 C. x2﹣2x﹣20＝0 D. x2﹣2x﹣3＝0 9. 如果存在常数M，对于任意函数值y，满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；所有满足条件M中，最小值称为这个函数的上确界．例如，函数，，因此有上确界是2，如果函数上确界是n，且函数最小值不超过2m，则m取值范围(　　) A. m≤ B. m C. D. m 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 12. 若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为 ____________________． 13. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，得到菱形AEFG．当点E恰好落在AC上时，设EF与CD交于点H，则HE＝_________． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于x的方程的解为_________________． 15. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为_______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根也都是整数，求m的值 18. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，3），B（3，1），C（1，2），△A1B1C1与△ABC关于原点对称． （1）写出A1，B1，C1的坐标； （2）在所给平面直角坐标系中画出△A1B1C1； （3）若点A（4，3）与点M（a﹣2，b﹣4）关于原点对称，求关于x的方程的解． 19. 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米； （1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？ （2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由． 20. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求长． 21. 在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在，令，则有，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明提出的问题： （1），则 ； （2）求出方程的根． 22. ，均为等腰直角三角形，． （1）如图①所示，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ________；的度数为_______． （2）如图②所示，在图①的基础上，将绕点顺时针旋转到如图②所示的位置，其中，，在一条直线上，为线段的中点．则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论． 23. 如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； （3）当的面积等于的面积的时，求的值； （4）在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$