精品解析：2024--2025学年北师大版九年级上册 数学期中试卷 （A）

九年级上册数学期中检测卷 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共10道，每道3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝ ，则下列等式不成立（　　） A B. C. D. 5. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 为执行“均衡教育”政策，某区年投入教育经费万元，预计到年底三年累计投入亿元．若投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 无实数根 D. 无法确定 8. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A. 5 B. C. D. 9. 如图，已知，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 4 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（共5道，每道3分） 11. 一元二次方程x2+3x=0解是_____． 12. 在一次数学活动课上，老师将全班同学分成5个小组进行摸球试验，试验规则如下：在一个不透明的盒子中装有6个黄球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，这样连续摸球200次．试验结束后，5个小组分别计算出摸出黄球的频率（如下表所示）．由此估计，盒子中红球的个数为__．  组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 摸出黄球的频率 0.19 0.22 0.20 0.19 0.20 13. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________． 14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为点E，过点P作PF⊥DC，交DC的延长线于点F，则PE-PF=___________． 15. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长__________． 三、解答题（共8道，共计75分） 16. 解下列方程. (1)x(x-2)-3x2=-1； (2)(x+3)2=(1-2x)2 17. 小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，6个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)的试验， （1）他们共做了50次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为1”的频率是　　　　.  ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 18. 如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N， 求证：＝． 19. 已知：矩形的两边，的长是关于方程的两个实数根． （1）当m为何值时，矩形是正方形？求出这时正方形的边长； （2）若的长为2，那么矩形的周长是多少？ 20. 某商店以40元/千克价格新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系式为y=-2x+240(40≤x≤120) (1)该商店想在销售成本不超过3 000元的情况下，使销售利润达到2 400元，销售价格应定为多少? (2)在(1)条件下，该商店为了国庆期间促销，经过两次降价将销售价格定为81元/千克且全部售完，求平均每次降价的百分比． 21. 如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状； （3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由． 22. 如图，中，点在线段上，点在线段延长线上，且，交直线于点，交直线于点，． （1）图1中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）若将“点在线段上，点在线段延长线上”改为“点在线段延长线上，点在线段延长线上”，其他条件不变（如图）．当，，时，求线段的长． 23. 如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____； （2）探究证明 把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学期中检测卷 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共10道，每道3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看第一层有两个小正方形，第二层右边有一个小正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 3. 如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为， 即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故选：B． 4. 如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝ ，则下列等式不成立（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴，故A正确 ∴，故B正确 ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是利用平行线分线段成比例定理解答． 5. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 所以共4种情况：其中满足题意的有两种， 所以两次记录的数字之和为3的概率是 故选C． 【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键． 6. 为执行“均衡教育”政策，某区年投入教育经费万元，预计到年底三年累计投入亿元．若投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】投入教育经费的年平均增长百分率为，根据年投入教育经费万元，到年底三年累计投入亿元，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意得， , 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根． 【详解】△=(k-3)2-4(1-k) =k2-6k+9-4+4k =k2-2k+5 =(k-1)2+4， ∴（k-1）2+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 8. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】∵AB=6，BC=8， ∴AC=10（勾股定理）； ∴AO=AC=5， ∵EO⊥AC， ∴∠AOE=∠ADC=90°， ∵∠EAO=∠CAD， ∴△AEO∽△ACD， ∴， 即 ， 解得，AE=， ∴DE=8﹣=， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 9. 如图，已知，是正方形对角线上的两点，，，则四边形的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简．利用正方形的性质先证明，，，再证明，再利用勾股定理分别求解四边形的四条边长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于O， 正方形，， ，，， ， ， ， 同理：， 四边形的周长是． 故选：B． 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】P点是正方形的边上的动点，我们可以先求PE+PF的最小值，然后根据PE+PF=9判断得出其中一边上P点的个数，即可解决问题. 【详解】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H ∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12， ∴EC=8，FC=4=AE， ∵点M与点F关于BC对称 ∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45° ∴∠ACM=90° ∴EM= 则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9 在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=12 ∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12 在点H左侧，当点P与点B重合时，BF= ∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF ∴△ABE≌△CBF（SAS） ∴BE=BF=2 ∴PE+PF=4 ∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4 ∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9， 同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9． 即共有8个点P满足PE+PF=9， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键. 二、填空题（共5道，每道3分） 11. 一元二次方程x2+3x=0的解是_____． 【答案】0，-3 【解析】 【分析】利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可. 【详解】x2＋3x＝0 x（x+3）=0 x=0或x+3=0 解得x1＝0，x2＝－3. 故答案为x1＝0，x2＝－3. 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式. 12. 在一次数学活动课上，老师将全班同学分成5个小组进行摸球试验，试验规则如下：在一个不透明的盒子中装有6个黄球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，这样连续摸球200次．试验结束后，5个小组分别计算出摸出黄球的频率（如下表所示）．由此估计，盒子中红球的个数为__．  组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 摸出黄球的频率 0.19 0.22 0.20 0.19 0.20 【答案】24 【解析】 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黄球的概率，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 【详解】解：由题中表格可知：摸出黄球的频率稳定在0.20左右， 所以估计摸一次球，摸出黄球的概率为0.2， 所以盒子中小球约有 （个）， 所以估计红球的个数为， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 13. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据即可得． 【详解】点，点分别是中点 是的中位线 四边形ABCD是平行四边形 又 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是熟记三角形中位线定理． 14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为点E，过点P作PF⊥DC，交DC的延长线于点F，则PE-PF=___________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】延长BC交PE于G，由菱形的性质得出AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由对顶角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面积的两种计算方法求出EG，由角平分线的性质定理得出PG=PF，得出PE-PF=PE-PG=EG即可． 【详解】解：延长BC交PE于G，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD， ∴AD==5，∠PCF=∠PCG， ∵菱形的面积=AD•EG=AC•BD=×6×8=24， ∴EG=4.8， ∵PE⊥AD， ∴PE⊥BG， ∵PF⊥DF， ∴PG=PF， ∴PE-PF=PE-PG=EG=4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出PG=PF是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质可得，，设，从而可得，再根据直角三角形的定义分和两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形，， 由折叠的性质可知， 设，则 由题意，分以下两种情况： （1）如图1，当时，为直角三角形 在和中， ，即 解得 ， 在中，，即 解得 即 （2）如图2，当时，为直角三角形 ， ，即 在和中， ，即 解得 ，即 解得 即 综上，DP的长为或1 故答案为：或1． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，依据题意，正确画出图形，并分两种情况讨论是解题关键． 三、解答题（共8道，共计75分） 16. 解下列方程. (1)x(x-2)-3x2=-1； (2)(x+3)2=(1-2x)2 【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=-，x2=4． 【解析】 【分析】（1）根据公式法计算即可； （2）根据因式分解的方法计算即可； 【详解】(1)原方程可化为2x2+2x-1=0， 其中a=2，b=2，c=-1，b2-4ac=22-4×2×(-1)=12， 所以x=， 即原方程根为x1=，x2=； (2)移项，得(x+3)2-(1-2x)2=0， 因式分解，得(3x+2)(-x+4)=0， 所以3x+2=0，或-x+4=0，解得x1=-，x2=4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 17. 小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，6个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)的试验， （1）他们共做了50次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为1”的频率是　　　　.  ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 【答案】（1）①0.2；②不正确，因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率；（2）小亮获胜的可能性大,理由见解析； 【解析】 【分析】（1）①根据概率计算即可；②根据概率和频率的不同判断即可； （2）根据列表法计算即可； 【详解】(1)①； ②不正确，因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率． (2)小亮获胜的可能性大，理由如下． 列表如下： 第2枚骰子掷得第1枚的点数骰子掷得的点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 1 12 由表格可知,所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同． 所以P(点数之和超过6)=，P(点数之和不超过6)=． 因为，所以小亮获胜的可能性大． 【点睛】本题主要考查了概率的计算及根据列表法判断，准确计算是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N， 求证：＝． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由DN∥AF可得：，，结合FB＝FC即可证明． 【详解】证明：∵直线DN∥AF， ∴＝，＝， ∵在△ABC中，AF是BC边上的中线， ∴FB＝FC， ∴＝． 【点睛】根据平行线分线段成比例定理和三角形中线的定义，熟练应用平行线分线段成比例是解答本题的关键. 19. 已知：矩形的两边，的长是关于方程的两个实数根． （1）当m为何值时，矩形是正方形？求出这时正方形的边长； （2）若的长为2，那么矩形的周长是多少？ 【答案】（1），矩形是正方形，边长是 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据题意把代入方程求解m，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ∴． 又∵，的长是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴，此时四边形为正方形； 当时，原方程为， 解得：， ∴正方形的边长是． 【小问2详解】 ∵的长为2， ∴把代入原方程，得， 解得． 将代入原方程，得， 解得 ∴方程的另一根， ∴矩形的周长是． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键． 20. 某商店以40元/千克的价格新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系式为y=-2x+240(40≤x≤120) (1)该商店想在销售成本不超过3 000元的情况下，使销售利润达到2 400元，销售价格应定为多少? (2)在(1)条件下，该商店为了国庆期间促销，经过两次降价将销售价格定为81元/千克且全部售完，求平均每次降价的百分比． 【答案】（1）销售价格应定为100元/千克.（2）平均每次降价的百分比是10%. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出方程即可得出结论． 【详解】解：(1)根据题意得,(x-40)(-2x+240)=2 400, 整理得,x2-160x+6 000=0, 解得x1=60,x2=100. 当x=60时,销售价格为60元/千克,销售量为120千克,则销售成本为40×120=4 800(元),超过了3 000元,不合题意,舍去; 当x=100时,销售价格为100元/千克,销售量为40千克,则销售成本为40×40=1 600(元),低于3 000元,符合题意. 答:销售价格应定为100元/千克. (2)设平均每次降价的百分比是x, 根据题意得,100(1-x)2=81, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). 答:平均每次降价的百分比是10%. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出方程是解题的关键． 21. 如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状； （3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明； （3）根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明． 【详解】解：（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠BDE=∠A， ∵∠DEF=∠A， ∴∠DEF=∠BDE， ∴AD∥EF，又∵DE∥AC， ∴四边形ADEF为平行四边形； （2）解：□ADEF的形状为菱形， 理由如下：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE∥AC， ∴∠DEB=∠C ∴∠DEB=∠B ∴DB=DEd ∵点D为AB中点， ∴DB=AD ∴AD=DE， ∴平行四边形ADEF为菱形， （3）四边形AEGF是矩形， 理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形， ∴AF∥DE，AF=DE， ∵EG=DE， ∴AF∥DE，AF=GE， ∴四边形AEGF平行四边形， ∵AD=AG，EG=DE， ∴AE⊥EG， ∴四边形AEGF是矩形． 【点睛】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，解题的关键是掌握它们的判定定理． 22. 如图，中，点在线段上，点在线段延长线上，且，交直线于点，交直线于点，． （1）图1中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）若将“点在线段上，点在线段延长线上”改为“点在线段延长线上，点在线段延长线上”，其他条件不变（如图）．当，，时，求线段的长． 【答案】（1），见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，再结合，利用相似三角形的性质即可求解； （2）根据等角对等边证明，再根据平行证明是的中位线，同理证明是的中位线，即可求解． 【小问1详解】 解：；证明如下： ∵， ∴， 又∵， ， ∴①， ∵， ∴，② 由①②可得，， ∵， ； 【小问2详解】 解：，， ∴， ，， //， ∴， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴，即为的中点， 又//， ∴，即， 是的中点， ∴是的中位线， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ，即为的中点， 又//， ∴， 为的中点， 是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理的综合运用；证明三角形相似是解决问题的关键，解题时注意相似三角形的对应边成比例；在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半． 23. 如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____； （2）探究证明 把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 【答案】（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出． （2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解． （3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值． 【详解】由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点， ∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC ∴MN=NP 又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC， ∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C= 根据三角形外角和定理， 得∠ENP=∠NBP+∠NPB ∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB， ∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE， ∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C =∠ABC+∠C =． 是等边三角形． 理由如下： 如图，由旋转可得 在ABD和ACE中 ． 点分别为的中点， 是的中位线， 且 同理可证且 ． 在中 ∵∠MNP=，MN=PN 是等边三角形． 根据题意得: 即，从而 的面积． ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了三角形中点性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$