精品解析：上海市嘉定区德富路中学（交大集团）2022—-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2023—1交中德富九年级数学学科质量评估试卷 （考试时间：100分 钟满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列各组线段中，成比例的一组线段是（ ） A. 2，3，4，6 B. 2，3，4，7 C. 2，3，4，8 D. 2，3，4，9 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例线段的定义，分别计算选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积，若相等，则四条线段成比例，反之不成比例． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2. 如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（ ） A. 点G为的重心 B. C. 当为等边三角形时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D． 【详解】解：A、∵的中线相交于点G， ∴点G为的重心，故选项A正确，不符合题意； B、∵点G 为的重心， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； C、∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、∵， ∴，则， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 3. 在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案． 【详解】A、,不可证明DE∥BC,故本选项正确； B、,可证明DE∥BC,故本选项错误； C、,不可证明DE∥BC,故本选项不正确； D、不可证明DE∥BC,故本选项不正确． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行． 4. 如图，在中，D、E分别在边、上，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形性质即可解决问题． 【详解】解：，， ， ， ，故D错误，不合题意； ，故A错误，不合题意； ，故B错误，不合题意； ，故C正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形解决问题，学会用转化的首先思考问题． 5. 如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可． 【详解】解：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=CF，DF=CE， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴△ADE∽△ABC，△BFD∽△BAC， ∴，故A错误； ，即，故B错误； ∵DF∥AC，∴，故C正确； ∵DE∥BC，∴，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键． 6. 如果，点A、B、C的对应点分别是D、E、F，的三边长为3、4、6，的一边长为12，那么的周长不可能是（ ） A. 26 B. 39 C. 52 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，根据边长为12的对应边分三种情况求解即可． 【详解】解：设的周长为， ∵，的三边长为3、4、6，的一边长为12， ∴若12和3是对应边，则，∴； 若12与4对应边，则，∴； 若12与6是对应边，则，∴， 综上，选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解答的关键是注意对应边不确定，需分类讨论求解，防止漏解． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 如果在比例尺为的地图上，A、B两地的图上距离是厘米，那么A、B两地的实际距离是_______千米． 【答案】18 【解析】 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离求解即可． 【详解】解：设实际距离为x厘米， 根据题意，得， 解得：， ∴A、B两地的实际距离是18千米， 故答案为：18． 【点睛】本题考查比例性质，熟知比例尺=图上距离：实际距离是解答的关键． 8. 已知点P是线段的黄金分割点，且，如果厘米，那么_______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金比是进行计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， 厘米． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 9. 已知点D、E分别是的、边上的点，，交于点F，如果，那么的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再分别证明、，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图， ∵, ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质、平行线的性质，利用相似三角形的性质探究线段间的数量关系是解答的关键． 10. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为______米. 【答案】4.8 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：设高度为h， 因为太阳光可以看作是互相平行的， 由相似三角形：， 得：h＝4.8米， 故答案为：4.8. 【点睛】本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答． 11. ，且点A与D，B与E是对应顶点，如果，，那么______． 【答案】70 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：与相似，且点与点是对应点，点与点是对应点， ，， ， ，， ， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12. 边长为2的等边中，点D、E分别为、边中点，则四边形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，，可得，可求，即可求解． 【详解】解：是等边三角形，， ， 点、分别为、边中点， ，， ， ， ， 四边形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，证明是本题的关键． 13. 如图，，如果，，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， 经检验，满足所列方程， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应． 14. 如图，在中，，，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，则，证明，得到，则，得到，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 16. 如图，是内一点，且，如果，，，那么______ 【答案】 【解析】 【分析】首先由，得到，又由，易证得，然后似三角形的对应边成比例，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ：：， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 如图，是三条角平分线的交点，过点作的垂线交边、于点、，已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识． 先证明，同理可得，则则,证明，则，得到，则，即可得到． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴，， ∵过点作的垂线交边、于点、， ∴， ∴, ∴， 又∵ ∴， 同理可得， ∴, ∴, ∵，,， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为： 18. 将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米． 【答案】或 【解析】 【分析】先由勾股定理求得厘米，再分情况讨论，利用三角形相似求解即可． 【详解】解：连接， ∵，厘米，厘米，厘米， ∴即， ∴厘米， 如下图，延长，相交于点N，设厘米， ∵，，厘米， ∴， ∴即， ∴厘米，厘米， 平方厘米； 如下图，延长，相交于点M，设厘米， ∵，，厘米， ∴， ∴即， ∴厘米， 平方厘米， 故答案为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，共78分） 19. 已知：线段，且． （1）求的值； （2）如果线段，满足，求的值． 【答案】（1） （2），，． 【解析】 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 设， 则，，， ， ， ， ，，． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键． 20. 在梯形中，，，，，为边上的任意一点，，且交于点． （1）当，，时，______． （2）当时，请用合，和的代数式表示出的长．（写出过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用三角形相似和平行四边形的性质解答． （1）过A作，与交于G，与交于H，证明四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，再根据，将已知关系代入化简，再把字母的值代入即可； （2）同（1）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过A作，与交于G，与交于H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， ∴； 当，时， ， 故答案为： 【小问2详解】 过A作，与交于G，与交于H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 21. 已知面积为30平方厘米的锐角三角形中，边厘米，正方形的顶点F、G在边上，顶点E、H分别在边和上，求：正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】过A作于M，交于N，则，先由三角形的面积公式求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过A作于M，交于N，则， ∵面积为30平方厘米的锐角三角形中，边厘米， ∴，则厘米， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，则， ∴，解得， 故正方形的边长为 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质求线段长是解答的关键． 22. 如图，在中，是上一点，，边上的中线交于点，如果，，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过相似得到线段的比，通过全等得到相等线段． 过B作交的延长线于点G，得到，则有，进一步推出，再证明，可得，等量代换即可得到线段之比． 【详解】解：如图，过B作交的延长线于点G， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 23. 如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，再用等角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而判断出，得出． 【小问1详解】 证明：是菱形的对角线， ， 点是菱形的两条对角线的交点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知，， 是菱形的对角线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求直线的解析式； （2）若点C为直线上第一象限的点，且，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点Q，使得与相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入直线中求解即可； （2）过C作轴交x轴于D，证明得到，进而求得、，利用坐标与图形性质可求解； （3）先判断出点Q在的延长线上，且，再利用两点间距离坐标公式求得，，然后分两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴，则， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过C作轴交x轴于D， 则， ∴， 对于直线，令，则， ∴，则； 令，由得， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C坐标为； 【小问3详解】 解：在直线上存在点Q，使得与相似． 如图， ∵， ∴， ∴，，又， ∴满足题意的点Q在的延长线上，且， 设点，则， ∵，， ∴， 当时，，则， ∴，则； 当时，，则， ∴则， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、两点间距离坐标公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 25. 在梯形中，，，，点P是射线上一动点，连接，且，． （1）当点P在边上，如图所示． ①证明：； ②求线段的长； （2）当时，求的值． 【答案】（1）①见解析；②8 （2）或 【解析】 【分析】（1）①先利用平行线的性质和垂直定义得到，再由已知得到，然后根据斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证明可得结论； ②过D作于E，并交于F，连接，证明四边形是矩形得到，利用四边形的内角和为和等角的补（余）角相等得到，则有，根据等腰三角形的判定得到，设点O为的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到点F与点O重合，连接，则，根据等腰三角形的三线合一性质可求解； （2）当点P在边上时，，过D作于H，证明平分，利用角平分线的性质得到，利用三角形的面积公式求得，进而求得 ，设，由列方程求解即可；同理，当点P在延长线上时求解即可． 【小问1详解】 ①证明：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ②解：过D作于E，并交于F，连接，则， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，又， ∴，由①知， ∴， ∴， 设点O为的中点，连接，则， ∴点F与点O重合， 连接，则， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点P在边上时，过D作于H，连接，则， 由②知，， ∴垂直平分， ∴，则； ∵， ， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，又 则， 设， ∵， ∴，即， 解得，， 当时， ∵，即，故舍去； 当时，满足， ∴； 当点P在延长线上时，如图，过D作于H，过D作于E，连接， 同理可得，，，，， 则， 设，由求得，， ∵，∴舍去， 当时，满足， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—1交中德富九年级数学学科质量评估试卷 （考试时间：100分 钟满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列各组线段中，成比例的一组线段是（ ） A. 2，3，4，6 B. 2，3，4，7 C. 2，3，4，8 D. 2，3，4，9 2. 如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（ ） A. 点G为的重心 B. C. 当等边三角形时， D. 3. 在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，D、E分别在边、上，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，点A、B、C的对应点分别是D、E、F，的三边长为3、4、6，的一边长为12，那么的周长不可能是（ ） A. 26 B. 39 C. 52 D. 65 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 如果在比例尺为的地图上，A、B两地的图上距离是厘米，那么A、B两地的实际距离是_______千米． 8. 已知点P是线段黄金分割点，且，如果厘米，那么_______厘米． 9. 已知点D、E分别是的、边上的点，，交于点F，如果，那么的值为_______． 10. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为______米. 11. ，且点A与D，B与E是对应顶点，如果，，那么______． 12. 边长为2等边中，点D、E分别为、边中点，则四边形的面积为______． 13. 如图，，如果，，，那么______． 14. 如图，在中，，，如果，，那么______． 15. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是______． 16. 如图，是内一点，且，如果，，，那么______ 17. 如图，是三条角平分线的交点，过点作的垂线交边、于点、，已知，，则的长为______． 18. 将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米． 三、解答题（本大题共7小题，19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，共78分） 19. 已知：线段，且． （1）求的值； （2）如果线段，满足，求的值． 20. 在梯形中，，，，，为边上的任意一点，，且交于点． （1）当，，时，______． （2）当时，请用合，和的代数式表示出的长．（写出过程） 21. 已知面积为30平方厘米锐角三角形中，边厘米，正方形的顶点F、G在边上，顶点E、H分别在边和上，求：正方形的边长． 22. 如图，在中，是上一点，，边上的中线交于点，如果，，求的值． 23. 如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证： （1）； （2）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求直线的解析式； （2）若点C为直线上第一象限的点，且，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点Q，使得与相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在梯形中，，，，点P是射线上一动点，连接，且，． （1）当点P在边上，如图所示． ①证明：； ②求线段的长； （2）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$