2.5 解直角三角形实际问题的基本模型 学案 2024-2025学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章 直角三角形的边角关系 解直角三角形实际问题的基本模型 专题学案 必要方法积累：（预习过程中独立完成题目，请勇敢上台展示你的答案。） 1.如何将斜三角形的问题转化成直角三角形问题？(1)∠A=45°∠B=30° (2)∠C=30°， ∠B =135° 2. 2.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB= ， CD= ，如何添辅助线求SABCD. 新知探索 类型一 含有一个直角三角形(独学1min完成题目) 1. 如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i=1:3 的斜坡向上移动了10米.此时滑块上升的高度是______ 类型二 含有直角边在同一直线上的双直角三角形 例题解析：(独学2min完成后小组讨论答案和思路，师友展示。） 任务驱动:①如何将斜三角形转化为直角三角形②完成题目③观察两个三角形是如何排布的④思考两个三角形哪些线和角是解题关键⑤梳理解题思路勇敢上台展示。 例1.某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，桥AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C 处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，桥AB 的长度为_______. 巩固练习:（独学3min完成习题，小组讨论答案和思路，师友展示） 1.(课本48页随堂2改编）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度i=1：，斜坡CD的坡度i=1：1．斜坡AB的长为_______,坝底AD的长度为_______（结果保留根号）； 2.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B 的距离是_______. （1） (2) 例题解析（根据任务驱动独学2min，完成后小组讨论，师友展示.) 任务驱动：①如何将斜三角形转化为直角三角形？②完成题目。③观察两个三角形位置是如何排布的？④思考两个三角形哪些线和角是解题关键？⑤梳理解题思路勇敢上台展示。 例2.我们组为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°．若CD=EF=2m，则旗杆AB的高度为_______m（精确到0.1m）．（参考数据： ）． 巩固练习(独学3min，完成题目，小组订正答案，交流讨论) 1．（2023长沙中考）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C 处的雷达站测得AC的距离是8 km,仰角为30°；10 s后飞船到达B 处，此时测得仰角为45° .点A离地面的高度AO为_____.飞船从A处到B 处的距离为____. 2．如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60，在四楼点处测得旗杆顶部的仰角为30，点C与点B在同一水平线上．已CD=10m知，则旗杆AB的高度为 m． 3．如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且在同一条直线上，此人所在位置点的铅直高度为________．（测倾器高度不计，结果保留根号形式） 点拨提升 思考1：第1题与例题条件有什么区别，解题方式有什么区别？ 思考2：第3题题目设置是如何增加的难度？如何应对？ 课堂小结： 自我评价：（请根据本节课表现给自己评分，从高到低依次为3分，2分，1分） 本节课你是否独立思考，并能利用数学建模，转化，方程等思想解决本节课的题目? 本节课你是否积极回答问题，勇于表达，思路清晰，语言规范，逻辑性强？ 本节课你是否在师友以及小组合作中大声表达，解决老师提出的问题，阐述自己的观点，高效合作？ 优秀师友评选： 当堂检测（独立完成，教师订正答案，学生展示做题方法） A组： 1.（2024•泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，） (1) (2) (3) 2．（2023•泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m（CD＝60m）到D处有一平台，在高2m（DE＝2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为 　 　m．（精确到1m．参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5） 3．（2022•泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2m，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则CP的长度为 　 　（结果精确到0.1m）． B组： 4.2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　） A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米 5． （2020•泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移　 　m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2） （4） （5） 作业： A层：1.整理本节课题目的规范步骤。2.课本55页问题解决。 B层：课本56页联系拓广。 综合实践作业： 测量我校东教学楼高度，你能想出几种方法？就其中一种方法以小组为单位撰写一份活动报告。 课后拓展 例3．（潍坊中考真题）观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m. 1（选做）．如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．在此过程中该登山运动爱好者走过的路程_________. (1) (2) 2（选做）.如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=18m，CD=20 m.AB 和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E 点的俯角为45°，点B,E,D在同一直线上.两幢建筑物之间的距离BD_______ .（结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90 ） 例4（选做）.体育与健康 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造.如图②所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:√3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20 米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4 .1）填空：∠ABE= ____度；（2）斜坡CD 的长为______.（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$