普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷(二)-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷(二) 数 学 (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(本题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 1.设全集U={1,2,3,4},集合A={x∈N|x2-5x+4<0},则∁UA= ( ) A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{1,3,4} 2.在复平面上,复数2+i2 对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.不等式ax2+5x+c>0的解集为 x 13<x< 1 2 ,则a,c的值为 ( ) A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=1 D.a=-1,c=-6 4.直线c、d与异面直线a、b都相交,则c、d的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交于一点或异面 5.下列命题正确的是 ( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>-b,则-a>b C.若ac>bc,则a>b D.若a>b,则a-c>b-c 6.如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是 ( ) A.AB → =DC → B.AD → +AB → =AC → C.AB → -AD → =BD → D.AD → +CB → =0 7.在△ABC中,若AB →·AC → =2且∠BAC=30°,则△ABC的面积为 ( ) A.3 B.2 3 C.33 D. 2 3 3 8.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 9.函数y= 2-xx-1 的定义域为 ( ) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(-∞,1)∪(1,2) D.(-∞,1)∪(1,2] —351— 10.若(a+1)- 1 2<(3-2a)- 1 2,则a的取值范围是 ( ) A. 12,23 B. 23,32 C. 23,2 D. 32,+∞ 11.若α为第二象限角,则|sinα|sinα - cosα |cosα|= ( ) A.1 B.0 C.2 D.-2 12.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30 种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用比例分配的分层 抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 13.若f(x)= 2x,x≤0, log3x,x>0, 则f f 127 为 ( ) A.-18 B. 1 8 C.8 D.-8 14.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为 ( ) A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 15.已知函数y=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2 的部分图象如图所示,则 ( ) A.ω=1,φ= π 6 B.ω=1 ,φ=- π 6 C.ω=2 ,φ= π 6 D.ω=2 ,φ=- π 6 16.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分布直方 图,样本数据分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若用分层抽样的方 法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个,则其中分数在[90,100]范围内的 样本数据有 ( ) A.5个 B.6个 C.8个 D.10个 17.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 ( ) A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.y=x 1 3 —451— 18.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( ) A.12 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 二、填空题(本题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 19.已知a,b表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面. ①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b,则α⊥β; ②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β; ③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,则a⊥b; ④若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β. 上述命题中,正确命题的序号是 . 20.已知两点A(-1,0),B(-1,3).O 为坐标原点,点C 在第一象限,且∠AOC=120°,设 OC → =-3OA → +λOB →(λ∈R),则λ= . 21.下列式子或叙述正确的序号为 . ①cos π2+θ =-sinθ; ②存在α,β满足cos(α-β)=cosα-cosβ; ③对任意α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ; ④cos(α-β)cosβ+sin(α-β)sinβ=cosα. 22.已知函数f(x)= log2x,x>0, 3-x+1,x≤0, 则f(f(1))+f log312 = . 三、解答题(本题共3个小题,共30分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23.(10分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足条件f(0)=0和f(x+2)-f(x)=4x. (1)求函数f(x)的解析式. (2)若函数g(x)=f(x)-2mx+2,当x∈[1,+∞)时,求函数g(x)的最小值. —551— 24.(10分)甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6,且每次试 跳成功与否相互之间没有影响,求: (1)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率. 25.(10分)如图,菱形ABCD 的边长为6,∠BAD=60°,对角线AC,BD 相交于点O,将菱 形ABCD 沿对角线AC 折起,得到三棱锥B-ACD,点 M 是BC 的中点,DM=3 2. 求证:(1)OM∥平面ABD; (2)平面ABC⊥平面 MDO. —651— 23.解:(1)因为函数f(x)=x+b1+x2 为定义在R上的奇 函数,所以f(0)=b=0. (2)由(1)可得f(x)= x1+x2 ,下面证明函数f(x) 在区间(1,+∞)上是减函数. 证明:设x2>x1>1, 则有f(x1)-f(x2)= x1 1+x21 - x2 1+x22 = x1+x1·x22-x2-x2·x21 (1+x21)(1+x22) = (x1-x2)(1-x1x2) (1+x21)(1+x22) . 再根据x2>x1>1,可得1+x21>0,1+x22>0,x1 -x2<0,1-x1x2<0, 所以 (x1-x2)(1-x1x2) (1+x21)(1+x22) >0, 即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减. (3)由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0, 可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x +4)=f[(x-1)2+3]. 再根据函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,可 得1+2x2<x2-2x+4, 求得-3<x<1,故不等式的解集为 {x|-3<x<1}. 24.解:(1)f(x)=sin π2-x sinx- 3cos2x =cosxsinx- 32 (1+cos2x) =12sin2x- 3 2cos2x- 3 2 =sin 2x-π3 - 32, 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2- 32 . (2)当x∈ π6 ,2π 3 时,0≤2x-π3≤π, 从而当0≤2x-π3≤ π 2 , 即π 6≤x≤ 5π 12 时, f(x)单调递增,当π2≤2x- π 3≤π , 即5π 12≤x≤ 2π 3 时,f(x)单调递减.综上可知,f(x) 在 π 6 ,5π 12 上单调递增;在 5π12,2π3 上单调递减. 25.解:(1)由题意可得EF∥AD. 所以AE⊥EF, 又AE⊥CF,EF∩CF=F, 所以AE⊥平面EBCF. 因为AE⊂平面AEFD. 所以平面AEFD⊥平面EBCF. (2)过 点 D 作 DG∥AE 交EF 于点G,连接BG, 则DG⊥平面EBCF, 因为EC⊂平面EBCF, 所以DG⊥EC, 又BD⊥EC,BD∩DG=D, 所以EC⊥平面BDG, 又BG⊂平面BDG, 所以EC⊥BG. 于是可得△EGB∽△BEC, 所以EG EB= EB BC , 所以EB2=EG·BC=AD·BC=8, 所以EB=2 2. 设点F 到平面ABCD 的距离为h, 由VF-ABC=VA-BCF,可得S△ABC·h=S△BCF·AE. 因为BC⊥AE,BC⊥EB,AE∩EB=E, 所以BC⊥平面AEB,所以AB⊥BC. 又AB= AE2+BE2=4=BC, 所以S△ABC= 1 2×4×4=8. 又S△BCF= 1 2×4×2 2=4 2 ,AE=EB=2 2, 所以8h=4 2×2 2=16, 解得h=2.故点F 到平面ABCD 的距离为2. 普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟卷(二) 1.B 解x2-5x+4<0得1<x<4,所以A={2,3}, 所以∁UA={1,4}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —031— 2.A 由题意,复数2+i2 =1+ 1 2i ,所以复数2+i 2 对应 的点的坐标为 1,12 位于第一象限. 3.B 由已知得a<0且13 ,1 2 为方程ax2+5x+c=0 的两根,故1 3+ 1 2=- 5 a ,1 3× 1 2= c a ,解得a= -6,c=-1. 4.D 已知直线a与b是异面直线, 设直线c与直线d 分别与两条异面直线a 与直线b 相交于点A,B,C,D, 当点B 与点C 重合时,两条直线c与d 相交, 当点B 与点C 不重合时,两条直线c与d 异面. 5.D 当c=0时,A选项错误;若a>-b,则-a<b, B错;若c<0时,C错;只有D正确. 6.C A项显然正确;由平行四边形法则知B正确;C 项中AB → -AD → =DB →,故C错误;D项中AD → +CB → = AD → +DA → =0,故选C. 7.C 在△ABC 中,若AB →·AC → =2且∠BAC=30°, 得|AB → ||AC → |cos30°=2,所以|AB → ||AC → |=4 33 , 则△ABC 的面 积 为S=12|AB → ||AC → |sin30°= 1 2× 4 3 3 × 1 2= 3 3. 8.A 因为复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0且b ≠0,所以“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数” 的必要不充分条件. 9.D 要使函数y= 2-xx-1 有意义,则 2-x≥0, x-1≠0, 解得x≤2 且x≠1,所以所求函数的定义域为(-∞,1)∪(1,2]. 10.B 令 f(x)=x- 1 2 = 1 x ,∴f(x)的 定 义 域 是 (0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数,故原不等式 等价于 a+1>0, 3-2a>0, a+1>3-2a. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 2 3<a< 3 2. 11.C ∵α是第二象限角,∴sinα>0,cosα<0, ∴|sinα|sinα - cosα |cosα|= sinα sinα+ cosα cosα=2. 12.C 四类食品的比例为4∶1∶3∶2,则抽取的植 物油类的数量为20×110=2 ,抽取的果蔬类的数 量为20×210=4 ,二者之和为6,故选C. 13.B f 127 =log3 127=-3, f f 127 =f(-3)=2-3=18. 14.A 令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1 +a-a2,对称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上 递减,则有 g(1)>0, a≥1, 即 2-a>0 , a≥1. 解得1≤a<2, 即a∈[1,2). 15.D T=π,所以ω=2,由五点作图法知2×π3+φ =π2 ,φ=- π 6. 16.B 分数段在[80,100]范围内占所有分数段的百 分比为(0.025+0.015)×10=0.4,其中分数在 [90,100]范围内的人数占所有分数段的百分比为 0.015×10=0.15,因此分数在[90,100]范围内占 分数在[80,100]范围内的百分比为0.150.4= 3 8 ,因 此分数在[90,100]范围内的样本数据有16×38 =6. 17.A ∵y=x-1和y=x 1 3都是奇函数,故B、D错误. 又y=x2 虽为偶函数,但在(0,+∞)上为增函数, 故C错误.y=x-2=1x2 在(0,+∞)上为减函数, 且为偶函数,故A满足题意. 18.B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,样本空间为 {(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3, 1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12 个样本点,而事件“2个数之差的绝对值为2”的样 本点只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)共4个,所以 取出的2个 数 之 差 的 绝 对 值 为2的 概 率 为412 =13. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —131— 19.解析:对①可举反例,如图,需b⊥β才能推出α⊥ β;对③可举反例说明,当γ 不与α,β的交线垂直 时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定 义与判定知②④正确. 答案:②④ 20.解析:由题意,得OC → =-3(-1,0)+λ(-1,3)= (3-λ,3λ), 因为∠AOC=120°,所 以 OA →·OC → |OA → ||OC → | =-12 ,即 3-λ (3-λ)2+3λ2 =12 ,解得λ=32. 答案:3 2 21.解析:cos π2+θ =cosπ2cosθ-sinπ2sinθ= -sinθ,①正确. 存在α=π4 ,β= π 2 ,满 足cos(α-β)=cosα- cosβ,②正确. 对任意α,β,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,③ 不正确.cos(α-β)cosβ+sin(α-β)sinβ= cos[(α-β)-β]=cos(α-2β),④不正确. 答案:①② 22.解析:由题意可知f(1)=log21=0, f(f(1))=f(0)=30+1=2, f log312 =3-log3 1 2+1=3log32+1=2+1=3, 所以f(f(1))+f log312 =5. 答案:5 23.解:(1)由题意得,c=0,a(x+2)2+b(x+2)-ax2 -bx=4ax+4a+2b=4x, 即a=1,b=-2, 所以f(x)=x2-2x. (2)g(x)=x2-2x-2mx+2,x∈[1,+∞), 对称轴方程为:x=m+1, ①当 m+1≤1时,即 m≤0,g(x)min=g(1) =1-2m, ②当1<m+1时,即m>0,g(x)min=g(m+1)= -m2-2m+1, 综上,g(x)min= 1-2m,m≤0, -m2-2m+1,m>0. 24.解:记“甲第i次试跳成功”为事件 Ai,“乙第i次 试跳成功”为事件Bi(i=1,2,3), 依题意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi 相 互独立. (1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件A1A2A3, 且这三次试跳相互独立. ∴P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.3×0.3 ×0.7=0.063. (2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成 功”为事件C. P(C)=1-P(A1)P(B1)=1-0.3×0.4=0.88. 25.证明:(1)由题意知,O 为AC 的中点, 因为 M 为BC 的中点,所以OM∥AB. 又OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD. 所以OM∥平面ABD. (2)由题意知,OM=OD=3,DM=3 2, 所以OM2+OD2=DM2, 所以∠DOM=90°,即OD⊥OM. 因为四边形ABCD 是菱形,所以OD⊥AC. 又OM∩AC=O,OM,AC⊂平面ABC, 所以OD⊥平面ABC. 因为OD⊂平面 MDO, 所以平面ABC⊥平面 MDO. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —231—