模块检测卷(四)[范围：必修第二册]-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

模块检测卷(四) [范围:必修第二册] (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(本题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 1.在四边形ABCD 中,BC → +DA → +CD → = ( ) A.BD → B.AC → C.AB → D.BA → 2.复数z=1-ii 在复平面上对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( ) A.b=10,A=45°,B=60° B.a=60,c=48,B=120° C.a=7,b=5,A=75° D.a=14,b=16,A=45° 4.如图所示,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥B1-ABC1 的体积为 ( ) A.312 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 5.某种球的总数量为 M,其中带有标记的有N 个,现用简单随机抽样的方法从中抽出一个 容量为m 的样本,则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为 ( ) A.N·mM B.m ·M N C.N ·M m D.N 6.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1= 3,则异面直线AD1 与DB1 所成角 的余弦值为 ( ) A.15 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 7.先后抛掷两枚骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,则 ( ) A.P1=P2<P3 B.P1<P2<P3 C.P1<P2=P3 D.P3=P2<P1 8.某市刑警队对警员进行技能测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级,测试结果如 下表:(单位:人) 性别 优秀 良好 合格 男 40 105 25 女 a 15 5 —541— 若按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取40人成绩为良好的有24人,则a等于 ( ) A.10 B.15 C.20 D.30 9.一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平 相当,每局甲胜、乙胜的概率都为1 2 ,则这场比赛的甲、乙取胜的概率比(甲∶乙)应为 ( ) A.6∶1 B.7∶1 C.3∶1 D.4∶1 10.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角θ的余弦值等于 ( ) A.865 B.- 8 65 C. 16 65 D.- 16 65 11.若△ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是 ( ) A.(1,5) B.(13,5) C.(5,13) D.(1,5)∪(13,5) 12.在△ABC 中,角 A,B,C 的 对 边 分 别 为a,b,c.若△ABC 为 锐 角 三 角 形,且 满 足 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 13.在△ABC中,sinA=sinB+sinCcosB+cosC ,则△ABC的形状为 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 14.钝角△ABC的面积为12 ,AB=1,BC= 2,则AC= ( ) A.5 B.5 C.2 D.1 15.某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时,运动 员到篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计结果 绘制如下频率分布直方图. 依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数为 ( ) A.4 B.4.25 C.4.3 D.4.12 第15题图 第16题图 16.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分 (十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为m0,平均值为􀭺x,则 ( ) A.me=m0=􀭺x B.me=m0<􀭺x C.me<m0<􀭺x D.m0<me<􀭺x —641— 17.下面有三种游戏规则:袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球. 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球,再取1个球 取1个球 取1个球,再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取 出 的 两 个 球 同 色 → 甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→ 乙胜 则其中不公平的游戏是 ( ) A.游戏1 B.游戏1和游戏3 C.游戏2 D.游戏3 18.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发 生的概率相同,则事件A 发生的概率P(A)等于 ( ) A.29 B. 1 18 C. 1 3 D. 2 3 二、填空题(本题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 19.已知a=(2,-2),b=(x,2),若a·b=6,则x= . 20.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图 (如图所示). 若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方 法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 . 21.箱子中装有十张卡片,分别写有1到10的十个整数;从箱子中任取一张卡片,记下它的 读数x,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的读数y,则x+y 是10的倍数的概率为 . 22.已知两点A(-1,0),B(-1,3).O 为坐标原点,点C 在第一象限,且∠AOC=120°,设 OC → =-3OA → +λOB →(λ∈R),则λ= . —741— 三、解答题(本题共3个小题,共30分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23.(10分)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时, (1)ka+b与a-3b垂直? (2)ka+b与a-3b平行? 平行时它们是同向还是反向? 24.(10分)如图,在多面体ABCDEF 中,AD∥BC,AB⊥AD,FA⊥平面 ABCD,FA∥DE,且AB=AD=AF=2BC=2DE=2. (1)若 M 为线段EF 的中点,求证:CM∥平面ABF; (2)求多面体ABCDEF的体积. 25.(10分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位:米)进行整理,分成以下6个小组: [5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05.7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),[9.75,10.65], 已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数 是7. 规定:投掷成绩不小于7.95米的为合格. (1)求这次铅球投掷成绩合格的人数; (2)你认为参加这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组? 请说明理由; (3)若参加这次铅球投掷的学生中,有5人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中, 随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会,已知a,b两位同学的成绩均为优秀,求 a,b两位同学中至少有1人被选到的概率. —841— 模块检测卷(四) 1.D 在四边形ABCD 中,BC → +DA → +CD → =BC → +CD → +DA → =BD → +DA → =BA → . 2.C 因为复数z=1-ii = i-i2 i2 =-1-i,所以复数在 复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限. 3.D 若b=10,A=45°,B=60°. 则由正弦定理可得 a sin45°= 10 sin60° , 求得a=10 63 ,故△ABC 有一解; 若a=60,c=48,B=120°,则由余弦定理可得b2= a2+c2-2ac·cosB=8784.求得b只有一解,故 △ABC 有一解; 若a=7,b=5,A=75°, 则由正弦定理可得 7 sin75°= 5 sinB , 求得sinB=5 (6+ 2) 28 , 再根据b<a,可得B 为锐角,故角B 只有一个,故 △ABC有一解;若a=14,b=16,A=45°,则由正弦 定理可得 14 sin45°= 16 sinB ,求得sinB=4 27 ,再根据 b>a,可得B>A,所以B 可能是锐角也可能是钝 角,即角B 有2个值,故△ABC 有两解.故选D. 4.A 三棱锥B1-ABC1 的体积等于三棱锥A-B1BC1 的体积,三棱锥 A-B1BC1 的高为 3 2 ,底面积为1 2 , 故其体积为1 3× 1 2× 3 2= 3 12. 5.A 根据样本中带标记所占比例与总体中带标记 的比例近似相等. 设m 个个体中带标记的为x 个, 则有x m= N M⇒x= mN M . 6.C 用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体 的前面,如图,则B1P∥AD1,连接DP,易求得DB1 =DP= 5,B1P=2,则∠DB1P 是异面直线AD1 与DB1 所成的角, 由余弦定理可得cos∠DB1P= DB21+B1P2-DP2 2DB1·PB1 =5+4-5 4 5 = 55. 7.B 先后抛掷两枚骰子的点数共有36个样本点: (1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6).并且每个样本点都 是等可能发生的.而点数之和为12的只有1个: (6,6);点数之和为11的有2个:(5,6),(6,5);点 数之和为10的有3个:(4,6),(5,5),(6,4),故P1 <P2<P3. 8.A 设该市刑警队共n人, 由题意得40 n= 24 105+15 ,解得,n=200; 则a=200-(40+105+15+25+5)=10. 9.B 甲前2局已胜,甲胜有三种情况:①甲第3局胜 为A1,P(A1)= 1 2 ;②甲第3局负、第4局胜为A2, P(A2)= 1 2× 1 2= 1 4 ;③第3局、第4局甲负,第5 局甲胜为A3,P(A3)= 1 2× 1 2× 1 2= 1 8. 故甲胜的 概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)= 7 8 ,乙胜的概率 则为1 8. 10.C 设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y) =(3,18), 所以 8+x=3, 6+y=18, 解得 x=-5 , y=12. 故b=(-5,12), 所以cosθ= a ·b |a||b|= 16 65. 11.D 在钝角△ABC 中,假设2,3,x所对的角为A, B,C. 当 x 为 最 大 边 时,则 它 对 的 角cosC=2 2+32-x2 2×2×3 <0 , ∴x> 13.又 ∵ 三 角 形 任 意 两 边 之 和 大 于 第 三边, ∴x<5,可得x∈(13,5); 同理当3为最长边时,可得x∈(1,5).故选D. 12.A ∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosA· sinC, ∴sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C), 又sinB=sin(π-B)=sin(A+C), ∴2sinBcosC=sinAcosC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —621— ∵△ABC 为锐角三角形, ∴cosC≠0,∴2sinB=sinA. 由正弦定理得2b=a. 13.A 法一:∵sinA=sinB+sinCcosB+cosC , 又A+B+C=π, ∴sin AcosB +sin AcosC =sin(A +C) +sin(A+B), ∴sinAcosB+sinAcosC=sinAcosC+cosA· sinC+sinAcosB+cosAsinB, ∴cosA(sinC+sinB)=0, 又sinC+sinB≠0,∴cosA=0, 又0<A<π,∴A=π2 ,∴△ABC 为直角三角形. 法二:由正弦定理、余弦定理及题设条件可得 a= b+c a2+c2-b2 2ac + a2+b2-c2 2ab , 化简得(b+c)(b2+c2-a2)=0, 又b+c≠0, ∴b2+c2-a2=0, ∴b2+c2=a2, ∴△ABC 为直角三角形. 14.B ∵S△ABC= 1 2AB ·BC·sinB=12 ,∴sinB= 2 2 ,又B 为△ABC 的内角,∴B=45°或B=135°, 若B=45°,由 余 弦 定 理 得 AC2=AB2+BC2- 2AB·BC·cosB=1+2-2× 2× 22 =1 , ∴△ABC 为 直 角 三 角 形,不 合 题 意,舍 去, ∴B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB· BC·cosB=1+2-2×1× 2× - 22 = 5,∴AC= 5. 15.B 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x. ∵0.20×1=0.2<0.5,(0.20+0.40)×1=0.6>0.5, ∴x∈[4,5). 由0.40×(5-x)+0.20×1=0.5,解得x=4.25 (米), ∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数为4.25. 16.D 由图可知,30名学生的得分情况依次为:2个人 得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分, 3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得 10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均 数,即me=5.5,5出现次数最多,故m0=5, x=2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×1030 =5.97. 于是m0<me<x.故选D. 17.D 游戏1中,取2个球的所有可能情况为:(黑 1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑 2,白),(黑3,白). 所以甲胜的可能性为0.5,故游戏是公平的; 游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,游戏是公 平的; 游戏3中,取2个球的所有可能情况为: (黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),(黑1,白 2),(黑2,白2),(白1,白2). 所以甲胜的可能性为1 3 ,游戏是不公平的. 18.D 由题意,P(A)·P(B)=19 ,P(A)·P(B)= P(A)·P(B). 设P(A)=x,P(B)=y,则 (1-x)(1-y)=19 , (1-x)y=x(1-y), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 1-x-y+xy=19 , x=y. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴x2-2x+1=19 , ∴x-1=-13 ,或x-1=13 (舍去),∴x=23. 19.解析:因为a=(2,-2),b=(x,2),所以a·b=2x -4,又因为a·b=6,所以2x-4=6,解得x=5. 答案:5 20.解析:由10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)= 1,得a=0.03,从而这三组的频数之比为0.03∶ 0.02∶0.01=3∶2∶1,故从身高在[140,150]内的学 生中选取的人数应为18×16=3. 答案:3 21.解析:先后两次取卡片,形成的有序数对有(1,1), (1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共计100 个.因为 x+y 是10的 倍 数,这 些 数 对 应 该 是 (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3), (8,2),(9,1),(10,10)共10个,故x+y 是10的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —721— 倍数的概率为P=10100= 1 10. 答案:1 10 22.解析:由题意,得OC=-3(-1,0)+λ(-1,3)= (3-λ,3λ). 因为∠AOC=120°,所以 OA →·OC → |OA → ||OC → | =-12 , 即 3-λ (3-λ)2+3λ2 =12 , 解得λ=32. 答案:3 2 23.解:由a=(1,2),b=(-3,2),得 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2). a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), (1)(ka+b)⊥(a-3b),得(ka+b)·(a-3b) =10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解 得k =19. (2)(ka+b)∥(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2), 解得k=-13 ,此时ka+b= -103,43 =-13 (10,-4). 所以方向相反. 24.解:(1)取AD 的中点N,连接CN,MN, 因为AD∥BC 且AD=2BC, 所以AN∥BC 且AN=BC. 所 以 四 边 形 ABCN 为 平 行 四 边 形,所 以 CN ∥AB. 因为 M 是EF 的中点,所以 MN∥AF. 又CN∩MN=N,AB∩AF=A, 所以平面CMN∥平面ABF. 又CM⊂平面CMN, 所以CM∥平面ABF. (2)因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥AB. 又AB⊥AD,且 FA∩AD=A,所以 AB⊥平面 ADEF,所以CN⊥平面ADEF.连接AC,则多面 体ABCDEF 的体积VABCDEF =VF-ABC +VC-ADEF = 1 3× 1 2×2×1×2+ 1 3× 1 2× (1+2)×2×2=83. 25.解:(1)因为第6小组的频率为1-(0.04+0.10+ 0.14+0.28+0.30)=0.14. 所以参加这次铅球投掷的总人数为 7 0.14=50. 根据规定,第4、5、6组的成绩均为合格,人数为 (0.28+0.30+0.14)×50=36. (2)因为成绩在第1、2、3组的人数为(0.04+0.10 +0.14)×50=14.成 绩 在 第5、6组 的 人 数 为 (0.30+0.14)×50=22,参加这次铅球投掷的总 人数为50,所以参加这次铅球投掷的同学的成绩 的中位数在[7.95,8.85)内,即第4组. (3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a,b, c,d,e,则选出2人的所有可能的情况为:ab,ac, ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.共10种,其中a,b至 少有1人的情况为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be.共有 7种,所以a,b两位同学中至少有1人被选到的概 率为P=710. 普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟卷(一) 1.C 由题意得 N={x|-2<x<3}, 则 M∩N={x|-2<x<2}. 2.D 因为z=1-i1+i= (1-i)2 (1+i)(1-i)= -2i 2 =-i ,所以 z=i. 3.B (x+y) 1x+4y =x·1x+4xy +yx +y·4y= 1+4+4xy + y x≥5+2 4x y ·y x =9. 4.C ∵a+b=(1,3),① a-b=(3,-3),② ∴①+②得:a=(2,0). ①-②得:b=(-1,3). 5.A 由题意可知a=1,b=-1,此时①不对,③中, 此时a-b=2,有 1a-b< 1 a ,故③不对,令a=-1,b =-2,此时②不对,故选A. 6.D 从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任 意抽取3件,则必然事件是至少有1件正品. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —821—