第10章 专题2 事件的相互独立性、频率与概率-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

故所求概率为3 6= 1 2. 答案:1 2 7.解析:总事件数为6×6=36,满足条件的事件有 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种, 则点数和为5的概率为436= 1 9. 答案:1 9 8.解析:记事件 A={甲获胜},事 件 B={甲、乙 平 局},C={甲不输},则C=A+B,而A,B 是互斥事 件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55. 答案:0.55 9.解:(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所 以“甲获胜”的概率P=1-12- 1 3= 1 6. (2)法一:设事件 A 为“甲不输”,可看成是“甲获 胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)= 1 6+ 1 2= 2 3. 法二:设事件A 为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的 对立事件,所以P(A)=1-13= 2 3. 10.解:(1)孩子的一对基因有dd,rr,rd三种可能,其 概率分别为1 4 ,1 4 ,1 2 ,孩子由显性基因决定的特 征是具有dd,rd基因,所以1个孩子由显性基因 决定的特征的概率为1 4+ 1 2= 3 4. (2)2个孩子的两对基因共有16种情况,记事件A 为“2个孩子都无显性基因决定的特征”,则P(A) =116 ,则P(A)=1-P(A)=1516. 专题二 事件的相互独立性、频率与概率 考点整合 考点 1.P(A)·P(B) 2.相互独立 应考训练 1.A 把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立 的,其结果不受先后影响,故A正确;B中是不放回 地摸球,显然A 事件与B 事件不相互独立;对于C, A,B 应为互斥事件,不相互独立;D中事件B 受事 件A 的影响.所以不相互独立. 2.C 因为P(A)=12 ,P(B)=16 , 所以P(A)=12 ,P(B)=56. 又A,B 为相互独立事件,所以P(AB)=P(A)· P(B)=12× 5 6= 5 12. 所以A,B 中至少有一件发生 的概率为1-P(AB)=1-512= 7 12. 3.D “本市明天降雨的概率是90%”即为“本市明天 降雨的可能性为90%”. 4.D 所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷 到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况, 而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性 为1 4. 5.D 游戏1中,取2个球的所有可能情况为(黑1, 黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2, 白),(黑3,白).所以甲胜的可能性为0.5,故游戏 是公平的;游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,游 戏是公平的;游戏3中,取2个球的所有可能情况 为(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),(黑1,白 2),(黑2,白2),(白1,白2).所以甲胜的可能性为 1 3 ,游戏是不公平的. 6.解析:设两个闹钟至少有一个准时响的事件为 A, 则P(A)=1-(1-0.80)×(1-0.90)=1-0.20× 0.10=0.98. 答案:0.98 7.解析:由表中数据知:抽查5次,产品合格的频率依 次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在 0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格 的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品,则950n ≈ 0.95,所以n≈1000. 答案:1000 8.解析:相当于做了30次试验.如果6,7,8,9中恰有2 个或3个数出现,就表示乙获胜,它们分别是738,636, 964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个,所以 采用三局两胜制,乙获胜的概率约为11 30. 答案:11 30 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —811— 9.解析:(1)如题图,方案 A中“是奇数”或“是偶数” 的概率均为5 10=0.5 ; 方案B中“不是4的整数倍数”的概率为810 , “是4的整数倍数”的概率为210=0.2 ; 方案C中“是大于4的数”的概率为610=0.6 ,“不是 大于4的数”的概率为410=0.4. 乙为了尽可能获 胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”. (2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为 方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从 而保证了该游戏是公平的. (3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5 的数”,此方案也可以保证游戏的公平性. 10.解:令事件A,B,C 分别表示A,B,C 三个独立的 研究机构,在一定时期内成功研制出该疫苗,依题 意可知,事件 A,B,C 相互独立,且 P(A)=15 , P(B)=14 ,P(C)=13. (1)他们都研制出疫苗,即事件ABC 同时发生,故 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15× 1 4× 1 3= 1 60. (2)他们都失败即事件ABC 同时发生, 故P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C)) = 1-15 1-14 1-13 =45×34×23=25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失 败”,结合对立事件间的概率关系可得所求事件的 概率P=1-P(ABC)=1-25= 3 5. 第二部分 合格考综合训练 模块检测卷(一) 1.D 因为A 是集合,a是元素,两者的关系应是属于 与否的关系.{a}与A 是包含与否的关系,所以A、 C显然不对,而 11< 13,所以a 是A 的一个元 素,{a}是A 的一个子集,故选D. 2.C x=±5时,必有x2=25,反之也成立,故“x= ±5”是“x2=25”的充要条件. 3.D 当c=0时,A选项错误;若a>-b,则-a<b, B错;若c<0时,C错;只有D正确. 4.D 因为f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0, 设x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)=3. ∴f(x)=-3. ∴f(x)= 3,x>0, 0,x=0 -3,x<0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴f(x)的值域是{-3,0,3}. 5.B 因为函数f(x)对于任意实数x 总有f(-x) =f(x), 所以f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2), 又因为f(x)在区间(-∞,1]上单调递减且-2<-32 <-1, 所以f(-1)<f -32 <f(-2). 即f(-1)<f -32 <f(2). 6.D 因为log23∈(1,2), 所以f(log23)=f(log23+1) =f(log26)=f(log26+1)=f(log212) =f(log212+1)=f(log2 4)= 1 2log224 =124. 7.C 因为f(x)=sinxcosx=12sin2x ,由2x=π2 +2kπ,k∈Z,得x=π4+kπ ,k∈Z,所以当x=kπ+ π 4 ,k∈Z时,f(x)max= 1 2. 8.D T=π,所以ω=2, 由五点作图法知2×π3+φ= π 2 , φ=- π 6. 9.A 由 题 知ω=2,所 以f(x)=sin 2x+π4 = cos π2- 2x+π4 =cos 2x-π4 =cos2 x- π 8 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —911— 专题二 事件的相互独立性、频率与概率 学考考点 􀀋事件的相互独立性 􀀌频率与概率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 事件的相互独立性 1.相互独立事件的概率 对任意两个事件A,B,如果P(AB)= 成立,则称事件A 与事件B 相互独立, 简称独立. 2.相互独立事件的性质 如果事件A 与B 是相互独立事件,则A 与 B,A 与B,A与B也 . 考点二 频率与概率 用频率估计概率 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验 中,一个随机事件A 发生的频率具有随机性. 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概 率的幅度会缩小,即事件A 发生的频率fn(A) 会逐渐稳定于事件A 发生的概率P(A),我们 称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 考点一 事件的相互独立性 (2022·湖南合格考真题)天气预报端午 假期甲地的降雨概率是0.5,乙地的降雨概 率是0.4,假定在这段时间内两地是否降雨 相互之间没有影响,则甲、乙两地都降雨的 概率为 ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.8 【解析】 设甲地降雨为事件A,乙地降雨为 事件B,则P(A)=0.5.P(B)=0.4,两地是 否降雨相互独立.所以甲、乙两地都降雨的 概率为:P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.4 =0.2,故选A. 【答案】 A 判断下列各对事件是否是相互独立事件. (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男 生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同 学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生” 与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8 个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从 剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是 白球”; (3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现 3点或6点”. 【解】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事 件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这 一事件发生的概率没有影响,所以它们是相 互独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白 球”的概率为5 8 ,若这一事件发生了,则“从 剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是 白球”的概率为4 7 ;若前一事件没有发生,则 后一事件发生的概率为5 7 ,可见,前一事件 是否发生,对后一事件发生的概率有影响, 所以二者不是相互独立事件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —98— (3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点, 则A={2,4,6},B={3,6),AB={6}, 所以P(A)=36= 1 2 ,P(B)=26= 1 3 ,P(A∩ B)=16. 所以P(A∩B)=P(A)·P(B),所以事件 A 与B 相互独立. 考点二 频率的稳定性 (2024·湖南合格考真题)某射击运动员 在一天的射击训练中射靶100次,训练成绩 统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数; (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的 概率; (3)如果这名运动员连续射击两次,每次射 击成绩互不影响,请估计他两次命中环数都 大于8环的概率. 【解析】 (1)根据频数分布图得该名运动员 100次射靶中,射中8环的频数最多, 则这名运动员射击成绩的众数为8环. (2)由题意,该运动员在100次训练中,射中 9环的频数为25, 由频率估计概率得该运动员射击一次命中 9环的概率为25100= 1 4. (3)由题意,该运动员在100次训练中,射中 大于8环的频数为25+15=40, 由频率估计概率得该运动员射击一次命中 大于8环的概率为40100= 2 5 , 则根据独立事件的乘法公式得他两次命中 环数都大于8环的概率为25× 2 5= 4 25. 【答案】 (1)8环 (2)14 (3)425 一、选择题 1.下列事件中,A,B 是相互独立事件的是 ( ) A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”, B=“第二次为反面” B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸 两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二 次摸到白球” C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B= “出现点数为偶数” D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50 岁” 2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次, 记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的 点数是3”为事件B,则事件A,B 中至少有 一件发生的概率是 ( ) A.512 B. 1 2 C.712 D. 3 4 3.气 象 台 预 测 “本 市 明 天 降 雨 的 概 率 是 90%”,对此预测的正确理解是 ( ) A.本市明天将有90%的地区降雨 B.本市明天将有90%的时间降雨 C.明天出行不带雨具肯定会淋雨 D.明天出行不带雨具可能会淋雨 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —09— 4.某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐 篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准 时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运 到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是 ( ) A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为34 C.淋雨的可能性为12 D.淋雨的可能性为14 5.下面有三种游戏规则:袋子中分别装有大小 相同的球,从袋中取球. 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个 白球 1个黑球和1 个白球 2个 黑 球 和 2个白球 取1个球,再取 1个球 取1个球 取 1 个 球, 再取1个球 取出的两个球同 色→甲胜 取出的球是黑 球→甲胜 取出的两个 球 同 色 → 甲胜 取出的两个球不 同色→乙胜 取出的球是白 球→乙胜 取出的两个 球不同色→ 乙胜 则其中不公平的游戏是 ( ) A.游戏1 B.游戏1和游戏3 C.游戏2 D.游戏3 二、填空题 6.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为 了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己, 假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟 准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有 一个准时响的概率是 . 7.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据 如下表所示: 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 92 192 285 478 根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的 此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查 件产品. 8.甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的 概率为0.6,若采用三局两胜制举行一次比 赛,现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概 率.先利用计算器或计算机生成0到9之间 取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲 获胜;6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲 获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制, 所以每3个随机数作为一组.假设产生30 组随机数. 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计乙获胜的概率约为 . 三、解答题 9.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份 (如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针 指向的数字即为转出的数字.游戏规则如 下:两个人参加,先确定猜数方案,然后由甲 转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出 的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则 甲获 胜.猜 数 方 案 从 以 下 三 种 方 案 中 选 一种: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —19— A.猜“是奇数”或“是偶数”; B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍 数”; C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”. 请回答下列问题: (1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择 哪种猜数方案,并且怎样猜? 为什么? (2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定 哪种猜数方案? 为什么? (3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证 游戏的公平性. 10.面对非洲埃博拉病毒,各国医疗科研机构 都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研 究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概 率分别是1 5 ,1 4 ,1 3. 求:(1)他们都研制出疫苗的概率; (2)他们都失败的概率; (3)他们能够研制出疫苗的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —29—