第10章 专题1 随机事件与概率-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

第十章 概率 专题一 随机事件与概率 学考考点 􀀋有限样本空间与随机事件 􀀌事件的关系和运算 􀀍古典概型 􀀎概率的基本性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 随机事件与概率 一、有限样本空间与随机事件 1.随机试验及其特点 (1)定义:把对 的实现和对它的观 察称为随机试验,简称试验. (2)表示:常用字母 . (3)特点:①试验可以在 下重复 进行. ②试验的这些可能结果是 的,并且 不止一个. ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中 的一个,但事先 出现哪一个结果. 2.样本点和样本空间 (1)定义:把随机试验E 的每个可能的基本 结果称为样本点,全体样本点的 称 为试验E 的样本空间. (2)表示:样本空间常用大写希腊字母Ω 表 示,用 表示样本点. 3.随机事件 (1)定义:将样本空间Ω 的子集称为随机事 件,简称事件,并把只包含一个样本点的事 件称为基本事件.随机事件一般用大写英文 字母 表示. (2)不可能事件:空集⌀不包含任何样本点, 在每次试验中都 ,我们称⌀为不可 能事件. (3)必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所 有的样本点,在每次试验中总有一个样本点 发生,所以Ω 总会发生,我们称Ω 为必然 事件. 二、事件的关系和运算 1.事件的关系 定义 表示法 图示 事 件 的 关 系 包 含 关 系 若事件A 发生,则事 件B 一定 ,称事 件B 包含事件A(或 事件 A 包含于事件 B) 或 互 斥 事 件 若事件A与事件B不 能同时发生,即A∩B 是一个 ,则 称事件 A 与事件B 互斥 若 , 则 A 与 B 互斥 对 立 事 件 若A∩B 为 件,A∪B 为 , 那么称事件 A 与事 件B 互为对立事件, 事件 A 的对立事件 记作A 若 , 且A∪B= Ω,则 A 与 B 对立 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —58— 2.事件的并、交运算 定义 表示法 图示 事 件 的 运 算 并 事 件 一般地,事件A 与事件B 至少有一个发生,这样的 一个事件中的样本点或 者在事件A 中,或者在事 件B 中,我们称这个事件 为事件A 与事件B 的并 事件(或和事件) 或 交 事 件 一般地,事件A 与事件B 同时发生,这样的一个事 件中的样本点既在事件 A 中,也在事件 B 中,我 们称这样的一个事件为 事件A 与事件B 的交事 件(或积事件) 三、古典概型 1.随机事件概率的定义 对随机事件发生 的度量(数值)称 为事件的概率. 2.古典概型的特点 (1)有限性:样本空间的样本点只有 个. (2)等可能性:每个样本点发生的可能性 . 3.古典概型的概率公式 设试验E 是古典概型,样本空间Ω 包含n 个样本点,事件A 包含其中的k 个样本点, 则定义事件A 的概率P(A)=kn= n(A) n(Ω). 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A 和样本 空间Ω 包含的样本点个数. 四、概率的基本性质 1.对任意的事件A,都有P(A)≥0. 2.P(Ω)=1,P(⌀)=0. 3.若事件A 与事件B 互斥,则有P(A∪B)= P(A)+P(B). 推广:若事件A1,A2,…,An 两两互斥,则有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+ …+P(An). 4.若事件 A 与事件B 互为对立事件,则有 P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 5.若A⊆B,则P(A)≤P(B),由⌀⊆A⊆Ω.得 0≤P(A)≤1. 6.设A,B 是一随机试验中的两个事件,则有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB). 考点一 有限样本空间与随机事件 连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币 出现正面还是反面. (1)写出这个随机试验的样本空间; (2)求这个随机试验样本点的总数; (3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几 个随机试验样本点? 【解】 (1)随机试验的样本空间Ω={(正, 正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反, 反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正), (反,反,反)}. (2)随机试验样本点的总数是8. (3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个随机 试验样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反, 正,正). 考点二 事件的关系和运算 (2023·湖南合格考真题)自2018年国家 实施乡村振兴战略以来,农村电商行业蓬勃 发展,规模不断扩大.农村电商畅通了农产 品进城渠道,加速推进了农业数字化.图1 为我国2018年至2022年农村电商行业农 产品网络零售额的变化情况,图2为 A市 2022年农产品网络零售量占比扇形图. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —68— (1)请根据图1简要描述我国2018年至 2022年农产品网络零售额的变化趋势; (2)从A市2022年网络零售农产品中随机 抽取一件,估计抽取的产品是粮油或茶叶的 概率; (3)已知某农产品带货主播每天零售额超过 1万元的概率为0.6,假定每天的销售情况 互不影响,求该主播任意两天中至少有一天 零售额超过1万元的概率. 【解】 (1)由图可知2018年至2022年农产 品网络零售额逐渐增大. (2)由题意得扇形图中茶叶的占比为:1- (14%+11%+5%+30%+22%)=18%. 故从 A市2022年网络零售产品中随机抽 取一件,估计抽取的产品是粮油或茶叶的概 率为:22%+18%=40%=25. (3)记任意两天中至少有一天零售额超过1 万元为事件A,则A 表示两天零售额都没有 超过1万元. 则P(A)=1-P(A)=1-0.4×0.4=0.84. 考点三 古典概型 (2024·湖南合格考真题)某环保志愿者 计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一 个社区进行“垃圾分类”宣讲,则该志愿者选 择甲社区的概率为 ( ) A.14 B. 1 3 C.12 D. 3 4 【解析】 因为某环保志愿者计划从甲、乙、 丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行 “垃圾分类”宣讲,共有四种选择方法:甲、 乙、丙、丁,所以该志愿者选择甲社区的概率 为1 4. 故选A. 【答案】 A 考点四 概率的基本性质 甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 A,B,C,D 四所需要面试的院校,这四所院 校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只 能在这四所院校中选择一所,假设每位同学 选择各个院校是等可能的,试求: (1)甲、乙选择同一所院校的概率; (2)院校A,B 至少有一所被选择的概率. 【解】 由题意可知,甲、乙都只能在这四所 院校中选择一个的所有可能结果为: (甲A,乙 A),(甲 A,乙B),(甲 A,乙C), (甲A,乙D); (甲B,乙 A),(甲B,乙B),(甲B,乙C), (甲B,乙D); (甲C,乙 A),(甲C,乙 B),(甲C,乙C), (甲C,乙D); (甲D,乙 A),(甲 D,乙B),(甲 D,乙C), (甲D,乙D). 共16种. (1)设“甲、乙选择同一所院校”为事件E,则 事件E 包含4个基本事件, 故概率P(E)=416= 1 4. (2)法一:设“院校A,B 至少有一所被选择” 为事件F,则事件F 包含12个基本事件,故 概率P(F)=1216= 3 4. 法二:设“院校 A,B 至少有一所被选择”为 事件F,则其对立事件F 为“院校A,B 都没 被选择”,且事件F 包含4个基本事件,故概 率P(F)=1-P(F)=1-14= 3 4. 一、选择题 1.下列为随机现象的有 ( ) ①小明参加校学生会主席竞选的结果; ②掷一枚质地均匀的硬币出现的结果; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —78— ③某人购买的彩票号码中奖的结果; ④一个口袋中装有大小和形状都相同的一 个白球和一个黑球,从口袋中任意摸出一个 球的结果. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列事件中,是不可能事件的是 ( ) A.三角形的内角和为180° B.三角形中大角对大边,小角对小边 C.锐角三角形中两内角和小于90° D.三角形中任意两边之和大于第三边 3.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、 乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分 得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对 4.(2023·湖南合格考真题)某中学高二年级 从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳 动实践基地中选择一个进行研学,则选择红 色教育基地的概率是 ( ) A.16 B. 1 4 C.13 D. 1 2 5.抛掷一枚骰子,出现偶数样本点的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑 球,则从中随机摸出两只球,它们的颜色不 同的概率是 . 7.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次,观察向上的点数,则点数和为5的概率 是 . 8.甲、乙两人下围棋,已知甲获胜的概率为 0.45,两人平局的概率为0.1,则甲不输的 概率为 . 三、解答题 9.甲、乙两人下棋,和棋的概率为12 ,乙获胜的 概率为1 3 ,求: (1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率. 10.设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一 对基因所决定的,以d表示显性基因,r表 示隐性基因,则具有dd基因的人为纯显 性,具有rr基因的人为纯隐性,具有rd基 因的人为混合性,纯显性和混合性的人都 表露显性基因决定的某一特征,孩子从父 母身上各得到1个基因,假定父母都是混 合性的,问: (1)1个孩子由显性基因决定的特征的概 率是多少? (2)2个孩子中至少有一个由显性基因决 定的特征的概率是多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —88— 4.D 频率= 3+4+5+42+3+4+5+4+2= 16 20= 4 5=0.8. 5.C 这组数据从小到大依次为:1,1,2,2,3.5×50%= 2.5,则该组数据的第50百分位数是第三个数2,故选C. 6.C 因为数据axi+b(i=1,2,…,n)的方差是数据 xi(i=1,2,…,n)的方差的a2 倍,所以所求数据方 差为102×0.01=1. 7.解析:由图可知人数最多的组别在40~50组.故众 数的估计值为45. 答案:45 8.解析:由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+ y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+ (x-10)2+(y-10)2=(2)2×5=10,得x2+y2- 20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)= -192,所以xy=96. 答案:96 9.解:派甲参加比较合适,理由如下: x甲 =18 (70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2 +1+5+3)=85, x乙 =18 (70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5) =85, s2甲 =18 [(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82 -85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-85)2+(93- 85)2]=35.5, s2乙 =18 [(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83 -85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95 -85)2]=41. 因为x甲 =x乙,s2甲<s2乙, 所以甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适. 10.解:(1)根据频率分布直方图得第一组频率为0.01 ×5=0.05,所以6x=0.05 ,所以x=120. (2)设中位数为a,则0.01×5+0.07×5+(a- 30)×0.06=0.5,所以a=953≈32 ,中位数为32. (3)①5个年龄组的平均数为x1= 1 5× (93+96+ 97+94+90)=94,方差为s21= 1 5× [(-1)2+22 +32+02+(-4)2]=6. 5个职业组的平均数为x2= 1 5× (93+98+94+ 95+90)=94, 方差为s22= 1 5× [(-1)2+42+02+12+(-4)2] =6.8. ②评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方 差来看年龄组的认知程度更好. 第十章 概率 专题一 随机事件与概率 考点整合 考点 一、 1.(1)随机现象 (2)E (3)相同条件 明确可知 不能确定 2.(1)集合 (2)ω 3.(1)A,B,C,… (2)不会发生 二、 1.发生 B⊇A A⊆B 不可能事件 A∩B=⌀ 不可能事 必然事件 A∩B=⌀ 2.A∪B A+B A∩B 或AB 三、 1.可能性大小 2.(1)有限 (2)相等 应考训练 1.D ①为随机现象.因为竞选的结果是不可预知 的;②为随机现象.因为出现的结果可能是正面,也 可能是反面,结果并不确定;③为随机现象.因为彩 票号码是否为中奖号码,本身无法预测,是不可知 的;④为随机现象.因为摸出的可能为黑球也可能 为白球. 2.C 锐角三角形中两内角和大于90°. 3.C “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生, 所以是互斥事件,但分得红牌的还可能是丙或丁, 所以不是对立事件. 4.D 高二年级从甲、乙、丙、丁四个基地中选择一个 有4种选法.选择红色教育基地有2种选法.故所 求概率P=24= 1 2. 故选D. 5.C 因为抛掷一枚骰子出现数字的样本点有6个,它 们分别是1,2,3,4,5,6.故出现偶数的样本点是3个. 6.解析:记3只白球分别为A,B,C,1只黑球为m,则从 中随机摸出两只球的样本空间Ω={(A,B),(A,C), (A,m),(B,C),(B,m),(C,m)},所以n(Ω)=6,其中颜 色不同的样本点为(A,m),(B,m),(C,m),所以n=3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —711— 故所求概率为3 6= 1 2. 答案:1 2 7.解析:总事件数为6×6=36,满足条件的事件有 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种, 则点数和为5的概率为436= 1 9. 答案:1 9 8.解析:记事件 A={甲获胜},事 件 B={甲、乙 平 局},C={甲不输},则C=A+B,而A,B 是互斥事 件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55. 答案:0.55 9.解:(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所 以“甲获胜”的概率P=1-12- 1 3= 1 6. (2)法一:设事件 A 为“甲不输”,可看成是“甲获 胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)= 1 6+ 1 2= 2 3. 法二:设事件A 为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的 对立事件,所以P(A)=1-13= 2 3. 10.解:(1)孩子的一对基因有dd,rr,rd三种可能,其 概率分别为1 4 ,1 4 ,1 2 ,孩子由显性基因决定的特 征是具有dd,rd基因,所以1个孩子由显性基因 决定的特征的概率为1 4+ 1 2= 3 4. (2)2个孩子的两对基因共有16种情况,记事件A 为“2个孩子都无显性基因决定的特征”,则P(A) =116 ,则P(A)=1-P(A)=1516. 专题二 事件的相互独立性、频率与概率 考点整合 考点 1.P(A)·P(B) 2.相互独立 应考训练 1.A 把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立 的,其结果不受先后影响,故A正确;B中是不放回 地摸球,显然A 事件与B 事件不相互独立;对于C, A,B 应为互斥事件,不相互独立;D中事件B 受事 件A 的影响.所以不相互独立. 2.C 因为P(A)=12 ,P(B)=16 , 所以P(A)=12 ,P(B)=56. 又A,B 为相互独立事件,所以P(AB)=P(A)· P(B)=12× 5 6= 5 12. 所以A,B 中至少有一件发生 的概率为1-P(AB)=1-512= 7 12. 3.D “本市明天降雨的概率是90%”即为“本市明天 降雨的可能性为90%”. 4.D 所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷 到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况, 而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性 为1 4. 5.D 游戏1中,取2个球的所有可能情况为(黑1, 黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2, 白),(黑3,白).所以甲胜的可能性为0.5,故游戏 是公平的;游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,游 戏是公平的;游戏3中,取2个球的所有可能情况 为(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),(黑1,白 2),(黑2,白2),(白1,白2).所以甲胜的可能性为 1 3 ,游戏是不公平的. 6.解析:设两个闹钟至少有一个准时响的事件为 A, 则P(A)=1-(1-0.80)×(1-0.90)=1-0.20× 0.10=0.98. 答案:0.98 7.解析:由表中数据知:抽查5次,产品合格的频率依 次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在 0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格 的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品,则950n ≈ 0.95,所以n≈1000. 答案:1000 8.解析:相当于做了30次试验.如果6,7,8,9中恰有2 个或3个数出现,就表示乙获胜,它们分别是738,636, 964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个,所以 采用三局两胜制,乙获胜的概率约为11 30. 答案:11 30 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —811—