第9章 统计-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

7.解析:只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB; 故只要VC⊥VA,VC⊥VB 即可. 答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证 VC⊥AB即可) 8.解析:过C 作CM 垂直AB 于M,连接C1M, 则C1M 垂 直AB,因 此∠C1MC 为二面角C1-AB-C 的平面角, 所以cos∠C1MC= 3 2 32 2 +22 = 5719. 答案:57 19 9.解:过点A 作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OB, OC,OD.取OD 中点P,连接QP,CP. 由AO⊥平面BCD,四面体的棱 长都相等知点O 是三角形三边 垂直平分线的交点,也是三角形 角平分线的交点. 设 四 面 体 的 棱 长 为 a,则 OD= 1 2a cos30°= 3 3a , AO= AD2-OD2= a2- 33a 2 = 63a. 因为Q 是AD 中点,P 是OD 中点,所以QP∥AO. 因为AO⊥平面BCD,所以QP⊥平面BCD. 所以∠QCP 就是CQ 与平面BCD 所成的角. 在正三角形ACD中,Q是AD的中点,所以CQ=32a. 又QP=12AO= 6 6a ,所以sin∠QCP=QPCQ= 2 3. 10.解:(1)连接PD,因为PA=PB,D 为AB 的中点, 所以PD⊥AB. 因为DE∥BC,BC⊥AB,所以DE⊥AB. 又因为PD∩DE=D, 所以AB⊥平面PDE, 因为PE⊂平面PDE,所以AB⊥PE. (2)因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面 ABC=AB,PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC. 则DE⊥PD,又ED⊥AB,PD∩AB=D,所以DE ⊥平面 PAB,过 D 作 DF 垂 直PB 于F,连 接 EF,则EF⊥PB, ∠DFE 为所求二面角的平面角, 则DE=32 ,DF= 32 ,则tan∠DFE=DEDF= 3 , 故二面角A-PB-E 的大小为60°. 第九章 统计 考点整合 考点一 一、 1.逐个抽取 概率都相等 放回简单随机抽样 概 率都相等 不放回简单随机抽样 2.很多 破坏性 总体 3.抽签法 随机数法 二、 (1)分层 (2)个体数与总体的个体数 (3)样本容量 考点二 一、 频率 组距 小长方形的面积 1 二、 1.(1)最多 (2)大小 最中间 (3)x= x1+x2+…+xn n 2.(1)平均距离 1 n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] (2)1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] 应考训练 1.B A中总体容量较大,样本容量也较大不适宜用 抽签法;B总体容量较小,样本容量也较小可用抽 签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别, 不能用抽签法;D总体容量较大,不适宜用抽签法. 2. D A 选 项, 甲 的 平 均 产 量 为 1020+958+980+1150+910+1200 6 = 6218 6 ≈ 1036 kg, 乙 的 平 均 产 量 为 1116+1090+1120+1058+1132+1251 6 = 6767 6 ≈1128kg>1036kg,A错误;B选项,甲的最高 产量为1200kg,乙的最高产量为1251kg,B错 误;C、D选项,由折线图可知甲的波动更大,所以 乙的产量更稳定,D正确.故选D. 3.C 由题意知在抽取的10人中,男生6人,女生4 人.故样本平均身高为170×6+160×410 =166 (cm). 估计该校学生的平均身高为166cm.故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —611— 4.D 频率= 3+4+5+42+3+4+5+4+2= 16 20= 4 5=0.8. 5.C 这组数据从小到大依次为:1,1,2,2,3.5×50%= 2.5,则该组数据的第50百分位数是第三个数2,故选C. 6.C 因为数据axi+b(i=1,2,…,n)的方差是数据 xi(i=1,2,…,n)的方差的a2 倍,所以所求数据方 差为102×0.01=1. 7.解析:由图可知人数最多的组别在40~50组.故众 数的估计值为45. 答案:45 8.解析:由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+ y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+ (x-10)2+(y-10)2=(2)2×5=10,得x2+y2- 20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)= -192,所以xy=96. 答案:96 9.解:派甲参加比较合适,理由如下: x甲 =18 (70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2 +1+5+3)=85, x乙 =18 (70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5) =85, s2甲 =18 [(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82 -85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-85)2+(93- 85)2]=35.5, s2乙 =18 [(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83 -85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95 -85)2]=41. 因为x甲 =x乙,s2甲<s2乙, 所以甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适. 10.解:(1)根据频率分布直方图得第一组频率为0.01 ×5=0.05,所以6x=0.05 ,所以x=120. (2)设中位数为a,则0.01×5+0.07×5+(a- 30)×0.06=0.5,所以a=953≈32 ,中位数为32. (3)①5个年龄组的平均数为x1= 1 5× (93+96+ 97+94+90)=94,方差为s21= 1 5× [(-1)2+22 +32+02+(-4)2]=6. 5个职业组的平均数为x2= 1 5× (93+98+94+ 95+90)=94, 方差为s22= 1 5× [(-1)2+42+02+12+(-4)2] =6.8. ②评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方 差来看年龄组的认知程度更好. 第十章 概率 专题一 随机事件与概率 考点整合 考点 一、 1.(1)随机现象 (2)E (3)相同条件 明确可知 不能确定 2.(1)集合 (2)ω 3.(1)A,B,C,… (2)不会发生 二、 1.发生 B⊇A A⊆B 不可能事件 A∩B=⌀ 不可能事 必然事件 A∩B=⌀ 2.A∪B A+B A∩B 或AB 三、 1.可能性大小 2.(1)有限 (2)相等 应考训练 1.D ①为随机现象.因为竞选的结果是不可预知 的;②为随机现象.因为出现的结果可能是正面,也 可能是反面,结果并不确定;③为随机现象.因为彩 票号码是否为中奖号码,本身无法预测,是不可知 的;④为随机现象.因为摸出的可能为黑球也可能 为白球. 2.C 锐角三角形中两内角和大于90°. 3.C “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生, 所以是互斥事件,但分得红牌的还可能是丙或丁, 所以不是对立事件. 4.D 高二年级从甲、乙、丙、丁四个基地中选择一个 有4种选法.选择红色教育基地有2种选法.故所 求概率P=24= 1 2. 故选D. 5.C 因为抛掷一枚骰子出现数字的样本点有6个,它 们分别是1,2,3,4,5,6.故出现偶数的样本点是3个. 6.解析:记3只白球分别为A,B,C,1只黑球为m,则从 中随机摸出两只球的样本空间Ω={(A,B),(A,C), (A,m),(B,C),(B,m),(C,m)},所以n(Ω)=6,其中颜 色不同的样本点为(A,m),(B,m),(C,m),所以n=3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —711— 第九章 统计 学考考点 􀀋随机抽样 􀀌用样本估计总体 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 随机抽样 一、简单随机抽样 1.简单随机抽样的定义 一般地,设一个总体含有 N(N 为正整数) 个个体,从中 n(1≤n<N)个个体 作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取 时总体内的各个个体被抽到的 ,我 们把这样的抽样方法叫作 ;如果抽 取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入 样本的各个个体被抽到的 .我们把 这样的抽样方法叫作 .放回简单随 机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单 随机抽样. 2.抽样的必要性 第一,要考查的总体中个体数往往 , 而且在时刻变化,逐一调查不可能.第二,考 查往往具有 ,所以逐一调查也不可 取.这就需要抽查一部分,以此来估计 . 3.简单随机抽样的两种常用方法: 和 . 二、分层抽样 分层随机抽样的实施步骤 (1)将总体按一定的标准 ; (2)计算各层的 的比; (3)按各层个体数占总体的个体数的比确定 各层应抽取的 ; (4)在每一层进行抽样组成样本. 考点二 用样本估计总体 一、总体取值规律的估计,总体百分位数的估 计,频率分布表与频率分布直方图 一般地,频数指某组中包含的个体数,各组频 数和=样本容量;频率= 频数 样本容量 ,各组频率 和等于1. 在频率分布直方图中,纵轴表示 ,数 据落在各小组内的频率用 来表示,各 小长方形的面积的总和等于 . 二、总体集中趋势的估计,总体离散程度的 估计 1.对众数、中位数、平均数的理解 (1)众数:在一组数据中,出现次数 的数据叫作这一组数据的众数. (2)中位数:将一组数据按 依次排 列,把处在 位置的一个数据(或两 个数据的平均数)叫作这组数据的中位数. (3)平均数:假设样本数据是x1,x2,…,xn. x表示这组数据的平均数,则 . 2.对标准差、方差的理解 (1)标准差 标准差是样本数据到平均数的一种 , 一般用s表示, s= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —18— (2)方差 标准差的平方s2 叫作方差. s2= . 考点一 随机抽样 下列关于简单随机抽样的叙述不正确 的是 ( ) A.可以放回抽取,也可以不放回抽取 B.它是一种最简单、最基本的抽样方法 C.总体中的个数必须是有限的 D.先被抽取的个体被抽到的可能性要大 【解析】 由简单随机抽样的特点可以判断 A,B,C都正确,并且在抽样过程中,每个个 体被抽到的可能性都相等,不分先后. 【答案】 D 某校为了解高一年级学生的视力情况,特 别是近视率的问题,抽测了其中300名同学 的视力情况,在这个过程中,300名同学的 视力情况(数据)是 ( ) A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量 【解析】 300名学生的视力情况(数据)是 从总体中抽取的一部分个体所组成的集合, 所以是总体的一个样本. 【答案】 C 考点二 分层抽样 (2024·湖南合格考真题)已知某班有男 生25人,女生20人.为了解该班学生的体 质健康情况,按性别进行分层,采用分层随 机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进 行调查.若样本按比例分配,则抽取的男生 人数为 . 【解析】 由比例分配的分层抽样得:男生应 该抽取的人数为:25× 925+20=5. 故答案为5. 【答案】 5 (2022·湖南合格考真题)一支游泳队有 男运动员20人,女运动员12人,按性别进 行分层,用分层随机抽样的方法从全体运动 员中抽出一个容量为8的样本.如果样本按 比例分配,那么抽取的女运动员人数为 . 【解析】 设抽取女运动员x人,则 820+12= x 12 ,所以x=3. 【答案】 3 考点三 用样本估计总体 某校从参加高一年级期末考试的学生中 抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成 六组[40,50),[50,60),…,[90,100]后,画 出部分频率分布直方图.观察图形的信息, 回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分 布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60分及其以上 为及格)和平均分. 【解】 (1)因为各组的频率和等于1,所以 第四组的频率为1-(0.025+0.015×2+ 0.01+0.005)×10=0.3. 补全的频率分布直方图如图所示. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —28— (2)依题意,60分及其以上的分数在第三、 四、五、六组,这四组频率之和为(0.015+ 0.03+0.025+0.005)×10=0.75.则抽样 学生成绩的及格率是75%,利用组中值估 计抽样 学 生 的 平 均 分 为45×0.1+55× 0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+ 95×0.05=71(分).因此,估计这次考试的 平均分是71分. 一、选择题 1.下列抽样实验中,用抽签法方便的是( ) A.从某厂生产的3000件产品中抽取600 件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽 取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产 品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件 进行质量检验 2.(2024·湖南合格考真题)2023年袁隆平 “超级稻”突破亩产1200kg,再次刷新了杂 交水稻单季亩产世界纪录.已知甲、乙两种 杂交水稻在面积相等的两块试验田中连续 6年的产量如图所示,则 ( ) A.甲的平均产量高于乙的平均产量 B.甲的最高产量高于乙的最高产量 C.甲的产量更稳定 D.乙的产量更稳定 3.(2023·湖南合格考真题)某中学有男生 600人,女生400人.为了调查学生身高情 况,按性别进行分层,用分层随机抽样的方 法抽取一个容量为10的样本,样本按比例 分配,得到男生、女生的平均身高分别为 170cm和160cm.用样本估计总体,则该校 学生的平均身高是 ( ) A.162cm B.164cm C.166cm D.168cm 4.一个容量为20的样本数据,分组及各组的 频数如下:[10,20),2;[20,30),3;[30, 40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2. 则样本在区间[20,60)上的频率是 ( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 5.(2022·湖南合格考真题)某学生2022年前 5个月参加社会实践活动的次数依次为3, 2,2,1,1.则该组数据的第50百分位数是 ( ) A.3 B.2.5 C.2 D.1 6.设一组样本数据x1,x2,…,xn 的方差为 0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn 的方差为 ( ) A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 二、填空题 7.(2023·湖南合格考真题)为了解中学生的 体育锻炼情况,现从某学校随机抽取了部分 学生,对他们每天的体育锻炼时间进行统计 分析,得到如图所示的频率分布直方图,估 计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —38— 8.已知样本9,10,11,x,y 的平均数是10,标 准差为 2,则xy= . 三、解答题 9.某大学有甲、乙两位航模运动员参加了国家 队集训,现分别从他们在集训期间参加的若 干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 现要从中派一人参加国际比赛,从平均成绩 和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加 合适? 请说明理由. 10.某市为了解人们对“一带一路”的认知程 度,对不同年龄和不同职业的人举办了一 次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90 分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽 取了x人,按年龄分成5组,第一组:[20, 25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第 四组:[35,40),第五组:[40,45].得到如图 所示的频率分布直方图,已知第一组有 6人. (1)求x; (2)求抽取的x人年龄的中位数(结果保留 整数); (3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、 个体户五种人中用分层随机抽样的方法依 次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分 别记为1~5组,从这5个按年龄分的组和 5个按职业分的组中每组各选派1人参加 知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组 中1~5组的成绩分别为93,96,97,94, 90,职业组中1~5组的成绩分别为93, 98,94,95,90. ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的 平均数和方差; ②以上述数据为依据,评价5个年龄组和 5个职业组对“一带一路”的认知程度. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —48—