第8章 专题5 空间直线、平面的垂直-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

9.解:在三棱柱ABC-A'B'C'中,点 D 是BC 的中点,取B'C'的中点E,连 接A'E,A'B,BE,则平面 A'EB∥ 平面AC'D,A'E,A'B,BE 即为应 画的线. 证明:因为D 为BC 的中点,E 为B' C'的中点,所以BD=C'E, 又因为BC∥B'C',所以四边形BDC'E 为平行四边形, 所以DC'∥BE. 连接DE,则DE􀰿BB',所以DE􀰿AA', 所以 四 边 形 AA'ED 是 平 行 四 边 形,所 以 AD∥ A'E. 又因为A'E∩BE=E,A'E⊂平面A'BE,BE⊂平 面A'BE, AD∩DC'=D,AD⊂平面AC'D,DC'⊂平面AC'D. 所以平面A'EB∥平面AC'D. 10.证明:(1)因为G,H 分别是A1B1,A1C1 的中点, 所以GH 是△A1B1C1 的中位线,所以GH∥B1C1. 又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC, 所以B,C,H,G 四点共面. (2)因为E,F 分别是AB,AC 的中点, 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG, 所以EF∥平面BCHG.因为A1G􀰿EB, 所以 四 边 形 A1EBG 是 平 行 四 边 形,所 以 A1E ∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG. 所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E, 所以平面EFA1∥平面BCHG. 专题五 空间直线、平面的垂直 考点整合 考点 一、 角 0°<θ≤90° 90° a⊥b 二、 1.任意一条直线 垂线 垂面 垂足 2.两条相交直线 3.相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 AQ ∠PAQ 90° 0° 4.平行 a∥b 平行 5.任意一点 相等 三、 1.半平面 棱 面 棱 角 平面角 直角 2.垂线 垂直 3.一个平面内 a⊂α a⊥l 应考训练 1.B ∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别对应 平 行,但方向不能确定是否相同.所以∠PQR=30° 或150°. 2.D 还原成正方体如图, 因为AB∥DE,所以∠CDE 是AB 与CD 所成角, 因为CD=DE=CE,所以∠CDE=60°.所以在原 来的正方体中AB 与CD 所成的角为60°. 3.C 对于①,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,上底 面A1B1C1D1 所在平面是α,下底面ABCD 所在平 面是β,直线A1C1 是m 且直线BD 是n, 则满足α∥β,m⊂α,n⊂β,但直线m,n是异面直线, 得不出m∥n,故①不正确; 对于②,若m∥n且m∥α,则n⊂α或n∥α,故②不 正确; 对于③,因为α∥β且m⊥α,所以m⊥β,结合m∥n, 可得n⊥β.故③正确. 4.B 因为母线BC⊥底面,则AC 与圆柱底面所成角 即为∠CAB,又因为AB 为圆柱底面直径,则BC⊥ AB,因为AB=BC,所以∠CAB=45°.故选B. 5.B 因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ. 又EG 与EF 为相交直线, 所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH. 6.解析:由题意知,点 A 是点 M 在平面ABC 内的 射影, 所以 MA⊥平面ABC,所以 MC 在平面CAB 内的 射影为AC. 所以∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角. 因为在Rt△MBC 中,BM=5,∠MBC=60°, 所以MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5×32= 53 2 . 在Rt△MAB中,MA= MB2-AB2= 52-42=3. 在Rt△MAC 中,sin∠MCA=MAMC= 3 5 3 2 =2 35 . 答案:2 3 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —511— 7.解析:只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB; 故只要VC⊥VA,VC⊥VB 即可. 答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证 VC⊥AB即可) 8.解析:过C 作CM 垂直AB 于M,连接C1M, 则C1M 垂 直AB,因 此∠C1MC 为二面角C1-AB-C 的平面角, 所以cos∠C1MC= 3 2 32 2 +22 = 5719. 答案:57 19 9.解:过点A 作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OB, OC,OD.取OD 中点P,连接QP,CP. 由AO⊥平面BCD,四面体的棱 长都相等知点O 是三角形三边 垂直平分线的交点,也是三角形 角平分线的交点. 设 四 面 体 的 棱 长 为 a,则 OD= 1 2a cos30°= 3 3a , AO= AD2-OD2= a2- 33a 2 = 63a. 因为Q 是AD 中点,P 是OD 中点,所以QP∥AO. 因为AO⊥平面BCD,所以QP⊥平面BCD. 所以∠QCP 就是CQ 与平面BCD 所成的角. 在正三角形ACD中,Q是AD的中点,所以CQ=32a. 又QP=12AO= 6 6a ,所以sin∠QCP=QPCQ= 2 3. 10.解:(1)连接PD,因为PA=PB,D 为AB 的中点, 所以PD⊥AB. 因为DE∥BC,BC⊥AB,所以DE⊥AB. 又因为PD∩DE=D, 所以AB⊥平面PDE, 因为PE⊂平面PDE,所以AB⊥PE. (2)因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面 ABC=AB,PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC. 则DE⊥PD,又ED⊥AB,PD∩AB=D,所以DE ⊥平面 PAB,过 D 作 DF 垂 直PB 于F,连 接 EF,则EF⊥PB, ∠DFE 为所求二面角的平面角, 则DE=32 ,DF= 32 ,则tan∠DFE=DEDF= 3 , 故二面角A-PB-E 的大小为60°. 第九章 统计 考点整合 考点一 一、 1.逐个抽取 概率都相等 放回简单随机抽样 概 率都相等 不放回简单随机抽样 2.很多 破坏性 总体 3.抽签法 随机数法 二、 (1)分层 (2)个体数与总体的个体数 (3)样本容量 考点二 一、 频率 组距 小长方形的面积 1 二、 1.(1)最多 (2)大小 最中间 (3)x= x1+x2+…+xn n 2.(1)平均距离 1 n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] (2)1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] 应考训练 1.B A中总体容量较大,样本容量也较大不适宜用 抽签法;B总体容量较小,样本容量也较小可用抽 签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别, 不能用抽签法;D总体容量较大,不适宜用抽签法. 2. D A 选 项, 甲 的 平 均 产 量 为 1020+958+980+1150+910+1200 6 = 6218 6 ≈ 1036 kg, 乙 的 平 均 产 量 为 1116+1090+1120+1058+1132+1251 6 = 6767 6 ≈1128kg>1036kg,A错误;B选项,甲的最高 产量为1200kg,乙的最高产量为1251kg,B错 误;C、D选项,由折线图可知甲的波动更大,所以 乙的产量更稳定,D正确.故选D. 3.C 由题意知在抽取的10人中,男生6人,女生4 人.故样本平均身高为170×6+160×410 =166 (cm). 估计该校学生的平均身高为166cm.故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —611— 专题五 空间直线、平面的垂直 学考考点 􀀋直线与直线的垂直 􀀌直线与平面的垂直 􀀍平面与平面的垂直 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 空间直线、平面的垂直 一、直线与直线垂直 两异面直线所成的角及空间两条直线垂直见 下表 定义 已知两条异面直线a,b,经过空 间任一点O 分别作直线a'∥a, b'∥b,我们把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b 所成 的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b 所成的角为 θ,则 空间两直 线垂直 当θ= 时,a与b 互相垂直, 记作 二、直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的 都 垂直,我们就说直线l与平面α 互相 垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫作平面α 的 ,平面α叫 作直线l的 ,它们唯一的公共点 P 叫作 图示 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画 成与表示平面的平行四边形的一边 垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直 符号 语言 m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n ⇒l⊥α 图形 语言 3.直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面α ,但不和平面α ,图中 斜足 斜线 和 平 面 的 ,图 中 射影 过斜线上斜足以外的一点向 平面引 ,过 和 的直线叫作斜线在这个平面 上的射影,图中斜线 PA 在 平面α上的射影为直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67— 直线 与平 面所 成的 角 定义:平面的一条斜线和它 在平面上的射影所成的锐 角,图中 . 规定:一条直线垂直于平面, 它们所成的角是 ;一 条直线和平面平行,或在平 面内,它 们 所 成 的 角 是 取值 范围 设直线 与 平 面 所 成 的 角 为θ,则0°≤θ ≤90° 4.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直 线 符号语言 a⊥α b⊥α ⇒ 图形语言 作用 证明两条直线 5.直线到平面的距离,平面到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离,叫作这条直线 到这个平面的距离;如果两个平面平行,那 么其中一个平面内的任意一点到另一个平 面的距离都 ,我们把它叫作这两个 平行平面的距离. 三、平面与平面垂直 1.二面角及其平面角 二 面 角 概念 从一条直线出发的两个 所组成的图形叫作二面角,这条 直线叫作二面角的 ,这两个 半平面叫作二面角的 图示 平 面 角 文字 在二面角的棱上任取一点,以该 点为垂足,在两个半平面内分别 作垂直于 的射线,则这两条 射线构成的 叫作这个二面 角的平面角 图示 符号 OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l, OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB 是二面 角的平面角 范围 0°≤∠AOB≤180° 规定 二面角的大小可以用它的 来度量,二面角的平面角是 多少度,就说这个二面角是多少 度.平面角是 的二面角叫 作直二面角 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个 平 面 过 另 一 个 平 面 的 ,那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 a⊂α,a⊥β⇒α⊥β 作用 判断两个平面 3.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,如果 有一条直线垂直于这 两个平面的交线,那么这条 直线与另一个平面垂直 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —77— 符号语言 α⊥β α∩β=l 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ⇒a⊥β 图形语言 考点一 直线与直线垂直 在空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB 与CD 成30°角,E,F 分别为BC,AD 的中 点,求EF与AB 所成的角. 【解】 取BD 的中点G,连 接EG,FG,因为 E,F 分别 为BC,AD 的中点,所以EG ∥CD 且EG=12CD ,GF∥ AB 且GF=12AB. 所以EG 与GF 所成的角即为AB 与CD 所 成的角或它的补角, 因为AB=CD,所以△EFG 为等腰三角形. 又AB 与CD 所成角的为30°, 所以∠EGF=30°或150°, 因为∠GFE 就是EF 与AB 所成的角, 所以EF 与AB 所成的角为75°或15°. 考点二 直线与平面垂直 (2024·湖南合格考真题)如图,四棱锥 P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面AB- CD,AB=1,PB= 2. (1)求四棱锥P-ABCD 的体积; (2)求证:BD⊥平面PAC. 【解析】 (1)因为PA⊥平面ABCD,AB⊂ 平面ABCD,则PA⊥AB, 所以PA= PB2-AB2= 2 2-12=1, 则VP-ABCD = 1 3PA ·SABCD = 1 3×1×1×1 =13. (2)因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面AB- CD,则PA⊥BD, 因为底面ABCD 为正方形,所以AC⊥BD, 又因为AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. 【答案】 (1)13 (2)证明见解析 考点三 平面与平面垂直 如图,在三棱柱 ABC- A1B1C1 中,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面CDB1; (2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1, AC=BC= 2,求二面角B1-CD-B 的大小. 【解】 (1)连 接 BC1,交 B1C 于 点 E,连 接ED. 因为 ABC-A1B1C1 是三棱柱,所以四边形 BCC1B1 为平行四边形,所以 E 是BC1 的 中点. 因 为 点 D 是 AB 的 中 点,所 以 ED 是 △ABC1 的中位线,所以ED∥AC1,又ED⊂ 平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,所以AC1∥ 平面CDB1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —87— (2)由题可知∠BDB1 是二面角 B1-CD-B 的平面角, 事实上,因为 AA1⊥平面 ABC,CD⊂平面 ABC,所以AA1⊥CD. 在△ABC 中,AC=BC,D 是底边AB 的中 点,所以CD⊥AB. 因为CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A, 所以CD⊥平面ABB1A1. 因 为 DB1 ⊂ 平 面 ABB1A1,DB ⊂ 平 面ABB1A1, 所以DB1⊥CD,DB⊥CD, 所以∠BDB1 是二面角B1-CD-B 的平面角. 在直角三角形B1DB 中,BB1=1, DB=12AB=1 , 所以△B1DB 为等腰直角三角形, 所以∠BDB1=45°. 即所求二面角为45°. 一、选择题 1.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则 ∠PQR 等于 ( ) A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对 2.一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中 ( ) A.AB∥CD B.AB 与CD 相交 C.AB⊥CD D.AB 与CD 所成的角为60° 3.已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面 三个命题,其中正确命题的序号是 ( ) ①α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n; ②m∥n,m∥α⇒n∥α;③α∥β,m∥n,m⊥α ⇒n⊥β. A.①③ B.②③ C.③ D.①② 4.(2024·湖南合格考真题)如图,AB 为圆柱 底面直径,BC 为母线,若 AB=BC,则 AC 与圆柱底面所成角的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α, FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥ GH,则需增加的一个条件是 ( ) A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 二、填空题 6.如图,在Rt△BCM 中,斜边 BM=5,它在平面ABC上的 射影AB 长为4,∠MBC= 60°,则 MC与平面CAB 所成角的正弦值为 . 7.在三棱锥V-ABC 中,当三条侧棱VA,VB, VC 之间满足条件 时,有VC⊥AB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —97— (注:填上你认为正确的一种条件即可) 8.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB=1, AA1=2,则二面角 C1-AB-C 的余弦值为 . 三、解答题 9.已知四面体ABCD 的棱长都相等,Q 是AD 的中点,求CQ 与平面BCD 所成的角的正 弦值. 10.如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=AB= 2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面 BAC,D,E 分别为AB,AC的中点. (1)求证:AB⊥PE. (2)求二面角A-PB-E 的大小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —08—