第8章 专题1 基本立体图形、立体图形的直观图-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

6.解析:复数z1=-2+i,z2=1-3i, 对应的点分别为A(-2,1),B(1,-3), 则向量AB → =(3,-4),所以|AB → |=5. 答案:5 7.解析:因为z=4+3i1+2i= (4+3i)(1-2i) (1+2i)(1-2i)= 10-5i 5 = 2-i,所以z=2+i. 答案:2+i 8.解析:设z=a+bi(a,b∈R), |z|= a2+b2,代 入 方 程 得a+bi+ a2+b2=2 +8i, 所以 a+ a2+b2=2, b=8, 解得 a=-15 , b=8. 所以z=-15+8i. 答案:-15+8i 9.解:(1)由题意可得m2-m-2=0. 解得m=-1或2; (2)由题意可得:m2+m-6=0,且m2-m-2≠0, 所以m=2或-3,且m≠-1且m≠2, 所以m=-3. 10.解:依题意,设y=bi(b∈R,b≠0),代入关系式(2x +1)+i=y+(y-1)i,整理得(2x+1)+i=-b+ (b-1)i, 根据复数相等的充要条件, 可得 2x+1=-b, 1=b-1, 解得 x=-32 , b=2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则有 x=-32 , y=2i. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 第八章 立体几何 专题一 基本立体图形、立体图形的直观图 考点整合 考点一 一、 1.(1)平面多边形 (2)公共边 2.(1)一条定直线 (2)这条定直线 3.(1)平行 四边形 四边形 平行 4.多边形 有一个公共顶点 公共顶点 侧面 公 共顶点 5.截面 底面 公共边 公共顶点 二、 1.矩形 轴 底面 侧面 平行 母线 2.直角 直角边 3.圆锥 底面 截面 4.直径 一周 球面 圆心 球心 5.(1)由简单几何体组合而成的几何体 (2)拼接 截去或挖去 考点二 (1)垂直 (2)平行 不变 一半 应考训练 1.B 余下部分是四棱锥A'-BCC'B'. 2.D 棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形,所以排 除A、B.棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱 的底面,例如底面为正六边形的棱柱的相对侧面互 相平行,排除C.对于D,只要这个平面与底面平行 就能够得到两个棱柱. 3.A 关键是把握棱台的特点.①中的平面不一定平 行于底面,故①错;②③可举反例去检验,如图,故 ②③错. 4.C ①②正确;③它们的底面为圆面,不正确;④用 平行于圆锥底面的平面截圆锥,可以得到一个圆锥 和一个圆台.综上知选C. 5.B 圆台的母线延长线交于一点,则 A项不正确; 圆台的母线大于高,则C项不正确;圆台的母线与 底面相交,则D项不正确;很明显B项正确. 6.解析:因为圆锥的底面直径AB=8. 所以圆锥的底面半径R=OA=4, 又因为SA=5, 所以圆锥的高h=SO= 52-42=3. 答案:3 7.解析:根据斜二测的原理可得△ABO 是直角三角 形,两直角边BO=O'B'=1,AO=2A'O'=2 2,故 原△ABO 的面积是12×2 2×1= 2. 答案:2 8.解析:画出轴截面,如图,过点A 作AM⊥BC 于点 M,则BM=5-2=3, AM= AB2-BM2=9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —111— 所以S四边形ABCD= (4+10)×9 2 =63 (cm2). 答案:63cm2 9.解:将三棱锥沿侧棱VA 剪开, 并将其侧面展开平铺在一个平面上, 如图所示, 线段AA1 的长为所求△AEF 周长的 最小值. 因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°, 所以∠AVA1=90°. 又VA=VA1=4,所以AA1=4 2. 所以△AEF 周长的最小值为4 2. 10.解:如图,将圆台恢复成圆锥后作 其轴截面,设圆台的高为hcm,截 得该圆台的圆锥的母线为xcm, 由条 件 可 得 圆 台 上 底 半 径r'= 2cm,下底半径r=5cm. (1)由勾股定理得h= 122-(5-2)2=3 15(cm). (2)圆锥的母线长为x,由三角形相似得:x-12x = 2 5 ,解得x=20(cm). 专题二 简单几何体的表面积与体积 考点整合 考点 一、 1.围成多面体的各个面 围成它们的各个面 2.Sh 13Sh 1 3 (S'+ S'S+S)h 二、 1.底面半径 母线长 底面半径 母线长 上底面 半径 下底面半径 母线长 2.Sh 13Sh 1 3h (S+ SS'+S') 13πh (r2+rr'+r'2) 3.(1)43πR 3 (2)4πR2 应考训练 1.A 设长方体长、宽、高分别为a,b,c,不妨令ab=2,ac =6,bc=9,相乘得(abc)2=108,所以V=abc=63. 2.D 正四棱锥的斜高h'= 52-32=4,S侧 =4×12 ×6×4=48. 3.D 如图,去掉的一个棱锥的体积是13× 12×12 ×12 ×12=148. 剩余几何体的体积是1-8×148= 5 6. 4.A 由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几 何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的, 故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是4π3×1 3 =4π3. 5.C 法 一:如 图,设 球 的 半 径 为 r1,则在Rt△CDE 中,DE=2r1, CE=R-r,DC=R+r. 由勾股定理得4r21=(R+r)2- (R-r)2,解得r1= Rr. 故球的表面积为S球 =4πr21=4πRr. 法二:如法一中图,设球心为O,球的半径为r1,连 接OA,OB, 易得∠AOB=90°,则在Rt△AOB 中,OF 是斜边 AB 上的高. 由相似三角形的性质得OF2=BF·AF=Rr, 即r21 =Rr,故 r1 = Rr,故 球 的 表 面 积 为 S球 =4πRr. 6.解析:设米堆所在圆锥的底面半径为r尺, 则1 4×2πr=8 ,解得r=16π , 所以米堆的体积为V=14× 1 3×πr 2×5=3203π≈ 320 9 (立方尺), 所以堆放的米约有320 9 立方尺. 答案:320 9 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —211— 第八章 立体几何 专题一 基本立体图形、立体图形的直观图 学考考点 􀀋基本几何体的结构特征 􀀌立体图形的直观图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 基本立体图形 一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1.多面体的有关概念 (1)定义 一般地,由若干个 围成的几何体叫 作多面体. (2)各部分名称: ①面:围成多面体的各个多边形; ②棱:相邻两个面的 ; ③顶点:棱与棱的公共点. 2.旋转体的有关概念 (1)定义:一条平面曲线(包括直线)绕它所 在平面内的 旋转所形成的曲面叫 作旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫作 旋转体. (2)轴: . 3.棱柱的有关概念 定义:一般地,有两个面互相 ,其余 各面都是 ,并且相邻两个 的 公共边都互相 ,由这些面所围成的 多面体叫作棱柱. 4.棱锥的有关概念 定义 有一个面是 ,其余各面都是 的三角形,由这些面所围成 的多面体叫作棱锥 图形 及有 关概 念 底面:多边形面 侧面:有 的各个三角形面 侧棱:相邻 的公共边 顶 点:各 侧 面 的 分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四 棱锥…… 5.棱台的有关概念 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥,底面和截面之间那部分多面体 图形 及有 关概 念 上底面: 下底面:原棱锥的 侧面:除 上、下 底 面以外的面 侧棱:相邻侧面的 顶 点:侧 面 与 上 (下)底面的 分类 由几棱锥截得即为几棱台:如三棱 台、四棱台 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26— 二、圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构 特征 1.圆柱的结构特征 以 的一边所在直线为旋转轴,其余 三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫 作圆柱. 旋转轴叫作圆柱的 ;垂直于轴的边 旋转而成的圆面叫作圆柱的 ;平行 于轴的边旋转而成的曲面叫作圆柱的 ;无论旋转到什么位置, 于轴 的边都叫作圆柱侧面的 . 2.圆锥的结构特征 以 三角形的一条 所在直 线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所 围成的旋转体叫作圆锥. 3.圆台的结构特征 用平行于 底面的平面去截圆锥, 与 之间的部分叫作圆台. 4.球 半圆以它的 所在直线为旋转轴,旋 转 形成的曲面叫作 ,球面 所围成的旋转体叫作球体,简称球. 半圆的 叫作球的球心;连接 和球面上任意一点的线段叫作球的半径;连 接球面上两点并且经过球心的线段叫作球 的直径. 5.简单组合体 (1)概念: . (2)两种基本形式:一种是由简单几何体 而成,一种是由简单几何体 一 部分而成. 考点二 立体图形的直观图 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直 观图的步骤 (1)在已知图形中取互相 的x轴和 y 轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们 画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O'.且 使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平 面表示水平面. (2)在已知图形中平行于x 轴或y 轴的线 段,在直观图中分别画成 于x'轴或 y'轴的线段. (3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直 观图中保持原长度 ,平行于y轴的 线段,长度变为原来的 . 考点一 基本立体图形 下列关于棱锥、棱台的说法,其中不正确 的是 ( ) A.棱台的侧面一定不会是平行四边形 B.棱锥的侧面只能是三角形 C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是 棱锥 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36— 【解析】 选项A正确,棱台的侧面 一定是梯形,而不是平行四边形; 选项B正确,由棱锥的定义知棱锥 的侧面只能是三角形;选项C正确,由四个 面围成的封闭图形只能是三棱锥;选项 D 错误,如图所示,四棱锥被平面截成的两部 分都是棱锥. 【答案】 D 由5个面围成的多面体,其中上、下两个 面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并 且这些梯形的腰延长后能相交于一点,则该 多面体是 ( ) A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥 D.四棱锥 【解析】 根据棱台的定义可判断该多面体 为三棱台. 【答案】 B 考点二 基本立体图形的直观图 如图所示,ABCD 是一个平面图形的斜 二测直观图,则该平面图形是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 【解析】 斜二测直观图中,BC∥AD,且平 行于x'轴, AB 平行 于y'轴,所 以 平 面 图 形 中,BC∥ AD,且平行于x 轴,AB 平行于y 轴,故四 边形为直角梯形. 【答案】 C 如图,△O'A'B'是水平 放置的△OAB 的直观图,则 △OAB 的面积是 ( ) A.6 B.3 2 C.6 2 D.12 【解析】 由斜二测画法的规则可得△OAB 为直角三角形,且∠AOB=90°,OA=6,OB =4,所以△OAB 的面积为S△OAB= 1 2×4× 6=12. 【答案】 D 一、选择题 1.如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC 中,截去 三棱锥A'-ABC,则剩余部分是 ( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 2.下列说法正确的是 ( ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱 的底面 D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 3.有下列三个说法. ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之 间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形 的多面体是棱台; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46— ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰 梯形的六面体是棱台. 其中正确的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.下列叙述中正确的个数是 ( ) ①圆柱的母线与高相等; ②圆锥的高小于母线; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一 个圆台. A.0 B.1 C.2 D.3 5.关于圆台的母线,下列描述正确的是( ) A.都平行 B.都相等 C.与高相等 D.与底面平行 二、填空题 6.已知圆锥SO 的母线长为5,底面直径为8, 则圆锥SO的高h= . 7.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是 等腰直角三角形A'B'O',若O'B'=1,那么 原△ABO的面积是 . 8.圆台两底面半径分别是2cm和5cm,母线 长3 10cm,则它的轴截面的面积为 . 三、解答题 9.如图,在三棱锥V-ABC 中,VA=VB=VC =4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点 A 作截面△AEF,求△AEF周长的最小值. 10.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积 分别为4πcm2 和25πcm2.求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56—