3.1.1椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新知引入 用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆. 用一个不垂直于 圆锥轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的曲线， 它们分别是椭圆、双曲线、抛物线，统称为圆锥曲线. 3.1.1 第三章 <<< 椭圆及其标准方程 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程(重点). 学习目标 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是 ： 任意一点到圆心的距离都等于半径 . 那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图(1)(2)所示． 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 问题1 思考：改变两钉之间的距离，使之与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？如果绳长小于两钉之间的距离呢？ M F1 F2 椭圆的定义 F1 F2 M 文字表述： 符号表述： （） 我们把平面内与两个定点距离的和等于常数（大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 线段 不存在 注：2a=|F1F2|时，轨迹： 2a＜|F1F2|时，轨迹： 知识梳理 如何求椭圆的方程？ 问题2 思考：求轨迹方程的基本步骤是什么呢？ ①建系：以两定点所在直线为x轴，线段F1F2中垂线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy x O y M F1 F2 y x o F 2 F 1 M ②设点：设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . ③动点的限制条件： ④代入点的坐标：由两点间的距离公式可得: 移项，再平方 整理得 两边再平方，得 ⑤化简： 思考： ①焦点在x轴上 y x o F 2 F 1 M ②焦点在y轴上 椭圆的标准方程 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 知识梳理 【小试牛刀】 1.下列方程哪些表示椭圆？ 若是，则判定其焦点在何轴？并指明. 总结：如何判断椭圆的焦点在哪个轴上？ 2.已知椭圆的方程为：,则a=____，b=___, c=____， 焦点坐标为： ，焦距等于_____; 2 1 (0,-1)、(0,1) 2 13 （1）形式：左边是两个分式的平方和，右边是1; （2）区分焦点位置：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上; （3）a，b，c关系：a2=b2+c2. 【总结】椭圆的标准方程有哪些特征呢？ 知识梳理 14 【例1】 （1）若方程1表示椭圆，则实数m满足的条件是 　 　． （2）方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 　 　． 【例2】根据条件，求出下列椭圆的标准方程,并画出图像。 (4) 两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P ( ，- ) . (2) 经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)两个焦点的坐标分别为(0, －3)和(0, 3) ，且a=5； (1) a=，b=1，焦点在x轴； 解1: (定义法) 是否还有其他方法 (4) 两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P ( ，- ) . 解2: (待定系数法) (4) 两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P ( ，- ) . 求椭圆的标准方程，要先定“位”， 求椭圆标准方程的主要方法有： a, b, c 满足的关系有： 用定义寻找a, b, c的方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： 待定系数法更为常用，是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置； 其次是定“量”， 先定位再定量 归纳总结 【变式】求经过点和点的椭圆标准方程. 解：(分类讨论法) ①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 故所求椭圆的标准方程为 . ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. ∵，∴无解. 可以不分类讨论吗 20 (1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. (2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 反 思 感 悟 21 椭圆的焦点三角形 三 【小试牛刀】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则△MNF2的周长为（ ） A.10 B.20 C.30 D.40 B y o F1 F2 M x N 已知P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 例 3 24 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 延伸探究 已知P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 例 3 25 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a＋2c. (3)利用椭圆定义，结合余弦定理、三角恒等变换等知识可推得焦点三角形的面积S＝ ，其中θ＝∠F1PF2. 椭圆焦点三角形的常用结论 反 思 感 悟 26 归纳总结 椭圆 椭圆的标准方程 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上 . 对于点M(x0,y0)与椭圆=1(a>b>0)的位置关系,有如下结论: （1）点M(x0,y0)在椭圆内⇔<1; （2）点M(x0,y0)在椭圆上⇔=1; （3）点M(x0,y0)在椭圆外⇔>1.  ＋  ＋ b2tan $$