3.1.1函数的概念第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1函数的概念（1） 第三章 函数的概念与性质 1 教学目标 学习目标：1.在初中所学函数概念（变量定义法）的基础上，通过数集之间的对应关系进一步的认识函数的概念及其三要素（数学抽象）； 2.认识与理解区间的概念、分类及表示，并能用区间表示数集（数学抽象、直观想象）； 3.能求出已知函数的定义域、值域以及在某一点处的函数值（数学运算、逻辑推理）； 4.掌握判断两个函数是否为同一函数的方法与技巧（逻辑推理）； 教学重点：函数的概念及其三要素；区间的概念、分类及表示；求解函数的定义域、值域以及在某一点处的函数值；判断两个函数是否为同一函数的一般方法； 教学难点：函数的概念；求解函数的定义域、值域以及在某一点处的函数值；判断两个函数是否为同一函数的一般方法； 01 复习导入 初中函数的变量定义法 在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个取值，y都有 ，我们就说y是x的 ，其中x称为 ，y称为 . 函数 唯一确定的值与之对应 自变量 因变量 例 某市中华文具店销售一种单价为2元的铅笔，设文具店销售这种铅笔的数量为x支，铅笔的销售额为y元，则有 自变量 0 1 2 3 4 5 6 7 …… 因变量 …… 0 2 4 6 8 10 12 14 这个例子中的铅笔销售额 y 就是铅笔销售量 x 的函数. 初中函数的变量定义法：具有唯一性的因变量就叫做自变量的函数. 01 复习导入 思 考 进入高中，我们又会从什么角度来定义函数呢？高中关于函数又会有哪些新的概念出现？ 5 伽利略，笛卡尔认为其是：曲线，变量系，无函数 莱布尼茨提出function单词，表示变化的量 十七世纪 5 6 十八世纪 伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化 6 7 十九世纪 柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们初中学习到的函数的定义 7 初中学习的函数概念是什么？ 设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。 8 8 9 二十世纪 康托尔提出了我们今天要学习的函数的概念 9 范围 范围 变量与变量对应 集合与集合对应 自变量的集合 函数值的集合 对应关系 自变量的集合 函数值的集合 对应关系 对应关系 自变量的集合 函数值的集合 自变量的集合 函数值的集合 对应关系 函数值所在的集合 （1)你认为该表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系 数r是年份y的函数吗？为什么？ （1)你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？ 问题5：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？ 对应关系 定义域 值域 函数的三要素 A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 （1） （2） （4） （3） 问题6：如果让你用函数的定义重新认识 一次函数、二次函数与反比例函数，那么 你会怎样表述这些函数？ 答案：D y x o 1 2 2 y x o 2 y x o 2 2 y x o 2 2 答案：D 回顾与小结 （1）与初中的学习过的函数相比， 你对函数又有什么新的认识？ 初中 高中 回顾与小结 （1）结合函数概念的学习，谈谈如何建立数学概念. 具体问题 共同特征 抽象概念 概念表示 运用概念 伽利略（Galileo Galilei） 在17世纪早期，由于天文学和航海事业的发展，科学家以解释地球和天体运动作为研究课题，推动了函数概念的发展.1638年意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）第一个提出了函数或称为变量关系的这一理念. 函数史话 莱布尼茨（Gottfried Leibniz） “function（函数）”作为数学术语，是微积分奠基人之一、德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Leibniz）在他1673年的手稿《切线的逆方法或函数方法》（Methodus tangentium inversa seu de functionibus）中首次使用. 莱布尼茨微分学手稿 函数史话 李善兰(1811-1882) 中文的“函数”一词是1859年中国清代数学家李善兰在翻译《代微积拾级》时，由“function”创译的.他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即“函”为包含之意. 《代微积拾级》 函数史话 伯努利（Johann Bernoulli） 1718年，瑞士数学家伯努利（Johann Bernoulli）在关于等周问题的一篇论文中，把函数定义为：一个变量的函数是指由这个变量和某些常量以任何一种方式组成的量.这是历史上第一个正式发表的明确的函数定义. 伯努利和大数定律 函数史话 欧拉（Leonhard Euler） 1755年，瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler）在《微分学原理》的序言中进一步给出了函数的定义： 当变量以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数. 这就是人们通常称为函数定义的“变量说”. 函数史话 狄利克雷（Dirichlet） 在1837年，德国数学家狄利克雷再次拓展了函数的定义，他指出：“对于在某个区间上的每一个确定的x的值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数”，从依赖到对应，人们认为函数概念、函数本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义. 函数史话 康托尔（Cantor） 函数史话 在19世纪，随着德国数学康托尔创立集合论，美国数学家维布伦用“集合”与“对应”给出了近代函数定义，当然随着物理学等科学研究的需要，函数的概念还在进一步发展，真诚的希望，在座的同学们，也能像这些科学家一样，继续为函数概念的发展做出新的贡献. 1.函数概念本源与哲学中的“运动”. 哲学讲“运动”，指的是宇宙间一切事物、现象的变化和过程.辩证唯物主义认为，运动是物质不可分离的根本属性，物质的任何形态都处于运动中，运动是物质存在最根本的形式.函数是研究自然科学中物质的变化现象的，并试图用量化的方式记录物质运动的存在形式。因此只有承认物质的运动、变化这一现实，函数才有存在的必要，从这个意义上讲，哲学中的运动和物质的辩证关系为函数概念提供了生存土壤. 2.函数三要素与哲学中的“联系”. “联系”是一个普遍的哲学概念，指的是一切事物内部中的各部分，诸多要素之间的相互依存、相互影响和相互制约关系.辩证法认为联系是普遍存在的，世界就是一个普遍存在的有机整体. 函数定义中的定义域、对应关系、值域是函数的三要素，显然，它们相互依赖，缺一不可. 3.函数表示与哲学中的“辩证法”. 本节课给出的前四个问题，代表了函数在中学阶段的三种表示形式. 函数的多种表示形式是丰富多彩的社会实际的需求，体现了人们辩证的观察世界的一种立场、观念和方法. 解析式 图象 表格 解析式能够简明、全面的概括变量间的对应关系，将复杂的变化现象通过一个解析式清晰的表示出来，解析法体现了“现象与本质”的辩证关系，体现了“透过现象看本质”的方法论. 图象能直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，将抽象的函数关系用图形具体的表示出来.图象体现了“具体与抽象”的辩证关系. 表格不需要通过计算就可以直接得到与自变量对应的函数值，在生产实际中应用广泛.列表体现了“动与静”的辩证关系，动态的变量关系，采用静态的数据呈现，变化是绝对的，静止是相对的，动静结合，思想深刻. 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域(domain)；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 1.若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是(　　) 【解析】选D.A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B，C均不满足函数的唯一性，只有D正确． 1．在下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋1，x∈N，g(x)＝2x－1，x∈N B．f(x)＝ eq \r(x－1) · eq \r(x＋1) ，g(x)＝ eq \r(x2－1) C．f(x)＝ eq \f(（x－1）（x＋3）,x－1) ，g(x)＝x＋3 D．f(x)＝x2，g(x)＝ eq \r(x4) 3.下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A．y＝20与y＝ eq \f(x,x) B．y＝±1与y＝ eq \f(x|x|,x) C．y＝ eq \r(x2＋x) 与y＝ eq \r(x) eq \r(x＋1) D．y＝x＋1与y＝ eq \r(3,（t＋1）3) $$