第2课时　整式与因式分解 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第一章　数与式 第2课时　整式与因式分解 知识点1 代数式及求值 （1）代数式的概念：用基本的运算符号 （＋、－、×、÷）及乘方、开方等把 数和 ⁠连接而成的式子 叫做代数式.单独的 ⁠ 也是代数式. 表示数的字母　 一个数或一个字 母　 （2）代数式的书写要求： ①数（或字母）与字母相乘时，乘号 “×”通常写作“·”或省略不写； ②数与字母相乘、数与括号相乘，可省 略乘号，但要把数写在前面；当1或－1 与字母相乘时，“1”省略不写，如1×a 直接写成a； ③带分数与字母相乘，应把带分数写成 假分数； ④除法运算时，应写成分数形式. （3）代数式的值：用数值代替代数式里 的字母，按照代数式中的运算关系得出 的结果.进行代数式求值时一般要先进行 化简，再将字母的取值代入. 知识点2 整式的相关概念 内 容 整式 单项式 多项式 定 义 数与字母或字母与字母的 ⁠组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式 几个单项式的 ⁠叫做多项式 乘积　 和　 次 数 一个单项式 中， ⁠ ⁠叫做这 个单项式的次数 多项式 里， ⁠ ⁠ 叫做这个多项 式的次数 系 数 单项式中的 ⁠ ⁠ － 项 － 每个单项式 所有字母的 指数的和　 次数最 高项的次数　 数字 因数　 知识点3 同类项 所含字母相同，并且相同字母 的 也分别相同的项叫做同类项. 同类项只与字母及其指数是否相同有 关，与系数无关，与字母的排列顺序无 关，即两相同，两无关. 合并同类项的法则：系数相加减， 所得的结果作为系数，字母及相同字母 的指数 ⁠. 指数　 不变　 知识点4 整式的运算 类别 法则 整式 加减 整式的加减实质就是去括号后合并同类项 幂的 运算 同底数幂相 乘 am·an＝ ⁠ （m，n都为整数） am＋n　 类别 法则 幂 的 运 算 幂的乘方 （am）n＝ ⁠ （m，n都为整数） 积的乘方 （ab）n＝ ⁠ （n为整数） 同底数幂相除 am÷an＝ ⁠ （a≠0，m，n都为整 数） amn　 anbn　 am－n　 类别 法则 整式 乘法 单项式乘单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式 单项乘多项式 m（a＋b＋c） ＝ ⁠ 多项乘多项式 （m＋n）（a＋b） ＝ ⁠ ma＋mb＋mc　 ma＋mb＋na＋nb 类别 法则 整式 除法 单项式除 以单 项式 把它们的系数、同底数 幂分别相除，对于只在 被除式中含有的字母， 则连同它的指数一起作 为商的一个因式 整 式 除 法 多项式除以单项式 （am＋bm）÷m ＝ ⁠（m≠0） a＋b 类别 法则 乘法 公式 平方差公式 （a＋b）（a－b） ＝ ⁠ 完全平方公式 （a±b）2 ＝ ⁠ a2－b2　 a2±2ab＋b2　 类别 法则 常用 恒等 式 乘法公式变形 a2＋b2＝（a－b）2＋ 2ab＝（a＋b）2－2aba－b）2＝（a＋ b）2 ⁠ （a＋ ）2＝ 　a2＋ ⁠ －4ab　 a2＋ ＋2　 类别 法则 常 用 恒 等 式 二次三项 式 （x＋a）（x＋b）＝ x2＋ ⁠x ＋ ⁠ （a＋b）　 ab　 知识点5 因式分解及常用的方法 1. 定义：把一个多项式化为几个整式 的 的形式就是因式分解.因式分解 要进行到每一个因式都不能再分解为止. 积　 2. 因式分解常用的方法： （1）提公因式法：ma＋mb＋mc ＝ ⁠. （2）公式法： ①a2－b2＝ ⁠； ②a2＋2ab＋b2＝ ⁠； ③a2－2ab＋b2＝ ⁠. m（a＋b＋c）　 （a＋b）（a－b）　 （a＋b）2　 （a－b）2　 （3）十字相乘法： x2＋（p＋q）x＋pq＝ ⁠⁠. （x＋p）（x＋q） 3. 分解因式的一般步骤：一“提”，提取 公因式；二“用”，运用完全平方公式或 平方差公式；三“查”，检查结果是否正 确，分解是否彻底. 名师指津 1. 列代数式注意要准确地理解表示数量 关系的关键词，如“和、差、积、商、 大、小、多、少”等. 2. 求代数式的值主要用代入法，代入法 分为直接代入法、间接代入法和整体代 入法. 3. 整式运算时不要盲目入手，先观察式 子的结构特征，确定解题思路，结合有 效的数学方法，如整体代入、降次、数 形结合、逆向思维等，使解题更加方便 快捷. 考点一　整式的相关概念及其运算 例1　 （1）（2024·西附）下列说法中， 正确的是（　A　） A. 2是整式 B. 多项式2x3＋3xy－5的常数项是5 C. 单项式－xy3z2的次数是5 D. 多项式x3y－3y＋2是三次三项式 A （2）下列计算正确的是（　C　） A. a3·a2＝a6 B. （a2）5＝a7 C. （－2a3b）3＝－8a9b3 D. （－a＋b）（a＋b）＝a2－b2 C （3）若多项式x2＋ax＋9是完全平方 式，则a的值为 ⁠； （4）若（ax＋3）（6x2－2x＋1）中不 含x的二次项，则a的值为 ⁠. ±6　 9　 考点二　代数式求值 例2　 （1）（2024·巴蜀）若当x＝2 时，ax3＋bx＋3＝6，则当x＝－2时， 多项式ax3＋bx＋3的值为（　B　） A. －6 B. 0 C. 1 D. 6 B （2）（2024·一中）如图是一个运算程序 的示意图，如果第一次输入x的值为1024， 那么第2024次输出的结果为（　C　） A. 64 B. 16 C. 4 D. 1 C （3）（2024·广州）若a2－2a－5＝0， 则2a2－4a＋1＝ ⁠； （4）（2024·乐山）已知a－b＝3，ab ＝10，则a2＋b2＝ ⁠. 11　 29　 考点三　因式分解 例3　 （1）（2024·南开）下列从左到右 的变形，是因式分解的是（　C　） A. a（a－b）＝a2－ab B. a2＋ab＋5＝a（a＋b）＋5 C. a2－2a－3＝（a＋1）（a－3） D. 12ab2－27a＝3a（4b2－9） C （2）若多项式x2－6x－m有一个因式 是（x－9），则m的值为 ⁠； （3）因式分解： ①ab2－2ab＋a＝ ⁠； ②2a4－18a2＝ ⁠ ⁠. 27　 a（b－1）2　 2a2（a＋3）（a－ 3） 考点四　整式的化简与求值 例4　（1）（2024·巴蜀）有理数a， b，c在数轴上表示的点如图所示，化简 － －2 ＝ ⁠； －3b－3c （2）化简：（2x＋y）（y－2x）－ （y－4x）（x＋y）； [答案] 解：原式＝y2－4x2－（xy＋y2－ 4x2－4xy） ＝y2－4x2－y2＋4x2＋3xy ＝3xy. （3）先化简，再求值： [（x＋4y）（x－4y）－（x＋2y）2－ 2（x＋2y）（x－5y）]÷x，其中x， y满足x2＋2x＋1＋ ＝0. [答案] 解：原式＝[x2－16y2－（x2＋4xy ＋4y2）－2（x2－3xy－10y2）]÷x ＝（x2－16y2－x2－4xy－4y2－2x2＋ 6xy＋20y2）÷x ＝（－2x2＋2xy）÷x ＝－2x＋2y. ∵x2＋2x＋1＋ ＝0，即（x＋1）2＋ ＝0， ∴x＝－1，y＝2. 此时原式＝－2×（－1）＋2×2＝6. 1. （2024·广安）代数式－3x的意义可以 是（　C　） A. －3与x的和 B. －3与x的差 C. －3与x的积 D. －3与x的商 C 2. （2024·辽宁）下列计算正确的是（　D　） A. a2＋a3＝2a5 B. a2·a3＝a6 C. （a2）3＝a5 D. a（a＋1）＝a2＋a 3. （2024·南开）已知x2＋kx＋6有一个 因式为（x－3），则k的值为 ⁠. D －5　 4. 先化简，再求值： [（x＋2y）2－2（3x＋y）（2x－y） －6y2]÷（－x），其中x2＋y2＋2x＋ 4y＋5＝0. 解：原式＝[x2＋4xy＋4y2－2（6x2－ 3xy＋2xy－y2）－6y2]÷（－x） ＝（6xy－11x2）÷（－x） ＝11x－6y. ∵x2＋y2＋2x＋4y＋5＝0， 即（x＋1）2＋（y＋2）2＝0， ∴x＝－1，y＝－2， ∴原式＝11×（－1）－6×（－2）＝1. $$