广东省江门市新会华侨中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

24-25学年第一学期高二级期中 数学 试题 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 C A B B C C B D ACD ACD AC 一、选择题： 6．【答案】C 【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解 【详解】因为，所以.又， 所以，即，所以，则. 所以.又，所以. 故选：C. 7．【答案】B【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a1，a2，…，a50， 则a1+a2+…+a50＝50×70，即60+90+a3+…+a50＝50×70， （a1﹣70）2+（a2﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75， 即102+202+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75． 更正后平均分为＝×（80+70+a3+…+a50）＝70； 方差为s2＝×[（80﹣70）2 +（70﹣70）2 +（a3﹣70）2 +…+（a50﹣70）2] ＝×[100+（a3﹣70）2 +…+（a50﹣70）2] ＝×[100+50×75﹣102 ﹣202 ]＝67． 故选B． 8．【答案】D 【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点. 可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以, 又点F距平面的距离为1，所以, 的最小值为.故选：D 9．ACD 【详解】A选项，22出现了3次，出现次数最多，故众数为22，A正确； B选项，将数据从小到大进行排列，20，22，22，22，24，26，26，28，32，78， ，故选取第8个和第9个数的平均数作为80百分位数， 即，B错误； C选项，，故平均数为30，C正确； D选项，前4个数据的平均数为， 故前4个数据的方差为， 最后4个数据的平均数为， 故最后4个数据的方差为， ，故前4个数据的方差比最后4个数据的方差小.故选：ACD 10．【答案】ACD 【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数， 故事件A与事件C互斥，故A正确； 若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误； 对C，，所以C正确； 对D，，所以D正确；故选：ACD． 11．【答案】AC【详解】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有的样本均值为：，故选项C正确； 对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，，总体的平均数为，方差为， 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以， 故选项D不正确；故选：AC 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．【答案】 【详解】已知空间向量和，则在上的投影向量为 .故答案为：. 13． 【详解】（2）以O为原点,以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以， 设是平面的一个法向量，则，令，则. 因此，直线到平面的距离为 14．【答案】 【详解】由题意，满足集合 的基底集可以为： ，，，，，， ，，，，，共有11组； 再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组， 综上可得，共计22组，其中满集合中元素之和小于4的有9组，所以概率为.故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）（5分）由已知得：＝（0，3，3），＝（－1，1，0）， ，所以，向量与的夹角为60°． （2）（5分）， ∵ ， ∴， ∴ k×(－k)＋(3－k)×(3＋k)＋3×3＝0，解得  k＝3或k＝－3 ．∴ 实数k的值是3或－3． （3）（5分）由（1）得 16．【详解】（1）（3分）因为，所以 （2）（6分）由图可得，评分在所占比例为 评分在所占比例为 所以75%分位数一定位于，由 估计该企业的职工对该部门评分的75%分位数约为86.8. （3）（6分）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，记为； 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，记为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，故所求的概率为 17．【详解】（1）（5分）因为平面，平面， 所以，可以建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示， 则，，， B(0,2,0), M(1,1,1)    （2）（5分）所以易知平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为； （3）（5分）易知平面的一个法向量为：， ， 设平面的一个法向量为，所以， 令，可得，即平面的一个法向量为， 显然，平面和平面的夹角，设为， 则，即平面和平面的夹角的余弦值为. 18．【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解； （2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解； 【详解】（1）（7分）根据题意，画出树状图，如图：    所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）： （剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、 （石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、 （布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、 一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率. （2）（8分）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种： ①第一局甲得2分，第二局甲得1分： 则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 此时概率为种情况， ②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分， 则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 此时概率为， 综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率. 19．【详解】（1）（6分）证明：由题意，， ∴，，即，， ∵，是平面内两相交直线，∴平面， ∴平行六面体是直四棱柱； （2）（11分）解：， 由题意，，， ，所以， ，， ∴. ∴， 故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新会华侨中学24-25学年第一学期高二级期中 数学 试题 本试卷共4页，19小题，满分150分. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．以下一些说法，其中正确的有（    ） A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 2．一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 110 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件M发生的概率为（ ） A． B． C． D． 3．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．直线的方向向量，平面的法向量是，则 B．若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底 C．若非零向量满足，则有 D．若是空间的一组基底，且，则四点共面 4．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 5． 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）   A． B． C． D． 6．已知向量，单位向量满足，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（     ） A．70和50 B．70和67 C．75和50 D．75和67 8．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（    ） A．众数是22 B．80百分位数是28 C．平均数是30 D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小 10．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（    ） A．事件A与事件C互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．事件B与事件C相互独立 11．某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（    ） A．男生样本量为 B．每个女生入样的概率均为 C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为 3、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知空间向量和，则在上的投影向量为 (用坐标表示). 13．如图，在棱长为1的正方体中： 直线到平面的距离为 . 14．已知集合 是集合 的真子集且 ， 如果 ， 使得 ， 其中 ， 则称 是集合 的一组有序基底集，记为 .已知 ，且 为 的一组有序基底集，则集合 中的元素之和小于 4 的概率为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知空间三点． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． （3）求的面积. 16．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为    （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的75%分位数（结果精确到0.1）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 17．如图所示，四边形是直角梯形，平面.    (1)若M为SC的中点，求证：SBAM (2)求SC与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. (1)求甲在一局中得2分的概率； (2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； 19．已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. (1)证明：平行六面体是直四棱柱； (2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$