浙江省台州市书生中学2024-2025学年高二上学期数学自主练习（五)

台州市书生中学高二上数学自主练习五 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．两条平行直线l1：3x+4y﹣5＝0与l2：6x+8y﹣5＝0之间的距离是（　　） A．0 B． C．1 D． 2．一直平面内的定点A，B和动点P，则“动点P到两定点A，B的距离之和为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（﹣1，0，0），B（1，2，﹣2），C（2，3，﹣2），则平面ABC的一个法向量为（　　） A．（1，﹣1，0） B．（1，﹣1，1） C．（1，0，﹣1） D．（0，1，1） 4. 圆C1:(x+1)2+(y+1)2=1与圆C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切线有且仅有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足+=0(O为坐标原点),·=0,若椭圆的离心率等于,则直线AB的方程是(　　) A.y=x B.y=-x C.y=-x D.y=x 6．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则（　　） A． B． C． D． 7．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0，O为坐标原点，以OC为直径的圆C'与圆C交于A、B两点，则下列结论错误的是（　　） A．直线AB的方程为3x+4y﹣21＝0 B．|AB| C．OA、OB均与圆C相切 D．四边形CAOB的面积为 8．已知椭圆的右焦点为F（c，0），点P，Q在直线上，FP⊥FQ，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1D1和C1D1的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.A1C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEF C.=+- D.点D与点B1到平面CEF的距离相等 10．已知圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线x+my﹣m﹣2＝0，下列选项正确的是（　　） A．直线过定点（﹣2，1） B．圆的圆心坐标为（1，2） C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 11．已知椭圆Q：，O是坐标原点，P是椭圆Q上的动点，F1，F2是Q的两个焦点 A．若△PF1F2的面积为S，则S的最大值为9 （ ） B．若P的坐标为，则过P的椭圆Q的切线方程为 C．若过O的直线l交Q于不同两点A，B，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则 D．若A，B是椭圆Q的长轴上的两端点，P不与A，B重合，且，，则R点的轨迹方程为9x2+4y2＝81 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知椭圆的左、右焦点分别为点F1、F2，若椭圆上顶点为点B，且△F1BF2为等边三角形，则m是 　　． 13．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为_____________ 14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知，． （1）求与夹角的余弦值；（2）当时，求实数k的值． 16.如图 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是矩形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=2,AC=1,BC=,AA1=. (1)求证:AA1⊥平面ABC. (2)在线段BC1上是否存在一点D,使得AD⊥A1B?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 17．已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半． (1)已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度； (2)经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程． 18.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0),边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,点(-1,1)在边AD所在的直线上. (1)求矩形ABCD的外接圆的方程; (2)已知直线l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),证明直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交,并求出相交的弦最短时的直线l的方程. 19．椭圆（a＞b＞0）离心率为，P是椭圆E上的任意一点，F1、F2分别是椭圆E的左右焦点，且△PF1F2的周长为6． （1）求椭圆E的方程； （2）若Q是椭圆的左顶点，过Q的两条直线l1，l2分别与E交于异于Q点的A、B两点，若直线l1，l2的斜率之和为﹣4，则直线AB是否经过定点？如果是，求出定点，如果不是，说明理由． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.【答案】B 【解】：3x+4y﹣5＝0，即6x+8y﹣10＝0， 故这两平行线l1：3x+4y﹣5＝0与l2：6x+8y﹣5＝0之间的距离为．故选：B． 2．【答案】A 【解】：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|＝2a （a＞0，且a为常数）成立是定值． 若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|＝2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆． ∴“动点P到两定点A，B的距离之和为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的必要不充分条件．故选：A． 3．【答案】A 【解】：根据题意，A（﹣1，0，0），B（1，2，﹣2），C（2，3，﹣2）， 则， 设平面ABC的一个法向量为，∴ 取x＝1，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线．故选：A． 4.D　[解析] 两圆的圆心分别为C1(-1,-1),C2(2,1),半径r1=r2=1,因为|C1C2|==>r1+r2,所以两圆外离,则两圆的公切线有且仅有4条. 5.A　[解析] 设A(x1,y1),因为+=0,所以B(-x1,-y1),又F1(-c,0),F2(c,0),所以=(c-x1,-y1),=(2c,0),又因为·=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,得x1=c,代入椭圆方程得y1=,因为椭圆的离心率e=,所以a=c,b=c,Ac,,所以直线AB的方程是y=x. 6.【答案】A 【解】：因为 ，故选：A． 7．【答案】D 【解】：由圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0的方程可得圆心C（3，4），半径r＝2， 由题意可得以OC为直径的圆C'的圆心C'（，2），半径r'， 所以圆C'的方程为：（x）2+（y﹣2）2，即x2+y2﹣3x﹣4y＝0， 联立，两式相减可得3x+4y﹣21＝0，即直线AB的方程为：3x+4y﹣21＝0，所以A正确； 由题意如图所示：|CA|＝|CB|＝r＝2，圆C'是以OC为直径的圆，所以OA，OB均与圆C的相切，所以C正确； 且|OA|＝OB|，△OAC≌△OBC， 所以四边形CAOB的面积S＝2|BC|•|OB|＝22，所以D不正确； 四边形CAOB的面积S|OC|•|AB|5|AB|， 所以25|AB|，可得|AB|，所以B正确；故选：D． 8．【答案】C 【解】：由已知设，则， 则，又， 两式做差可得，整理得2a2＝4c2，则．故选：C． 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.AC　[解析] 由A1C1∥EF,知A1C1∥平面CEF,A正确.建立空间直角坐标系如图, 设AB=2,则D(0,0,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2).设n=(x,y,z)是平面CEF的法向量,由n⊥得-x+y=0,由n⊥得-y+2z=0,取z=1,得x=2,y=2,因此n=(2,2,1).又=(2,2,2),由n与不平行,得B1D与平面CEF不垂直,B错误.=++=+-,C正确.∵=(0,2,0),设D到平面CEF的距离为d1,则d1===,连接B1C,又=(-2,0,-2),设B1到平面CEF的距离为d2,则d2===2≠,D错误. 10．【答案】BC 【解】：对于A，直线方程x+my﹣m﹣2＝0，即x﹣2+m（y﹣1）＝0， 由，可得，所以直线x+my﹣m﹣2＝0过定点（2，1），故A错误； 对于B，圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标为（1，2），故B正确； 对于C，记圆心C（1，2），直线过定点A（2，1），则， 当直线AC与直线x+my﹣m﹣2＝0垂直时，圆心C到直线x+my﹣m﹣2＝0的距离最大， 此时直线x+my﹣m﹣2＝0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4截得的弦长最小， 此时弦长为，故C正确； 对于D，因为（2﹣1）2+（1﹣2）2＝2＜4，所以点（2.1）在圆内，直线与圆必相交，故D错误． 故选：BC． 11【答案】BD 【解】：由椭圆方程知：，设点P（x0，y0）， A：，当且仅当点P为短轴上的顶点时等号成立，错； B：显然过P处切线的斜率存在，设切线方程为， 联立，消去得， 则，整理得， 解得，故过P处切线方程为，即，对； C：设A（x1，y1），则，则， 两式相减得，则，即，错； D：当R不与A，B重合时，由C知：， 由kARkAP＝﹣1，kBRkBP＝﹣1，则kARkAPkBRkBP＝1，所以， 设R（x，y），则，可得， 整理得9x2+4y2＝81（x≠±3）， 当R与A，B重合时，满足题意，符合上式，综上：R的方程为9x2+4y2＝81，对． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】3． 【解】：由已知得a2＝4，b2＝m，则c2＝4﹣m， 又△F1BF2为等边三角形，则a＝2c，即a2＝4c2，所以4＝4（4﹣m），解得m＝3．故答案为：3． A．3 B．4 C．6 D． 13【答案】3 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为， 所以， 由、两式相减并化简得， 即直线的方程为， 到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积为. 14．【答案】[，]． 【解】：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点， 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 设DA＝2，则E（0，0，1），F（1，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），∴EF＝（1，0，﹣1）， 设（2λ，﹣2λ，2λ），（0≤λ≤1），则（2λ﹣2，﹣2λ，2λ）， 异面直线EF与BM所成的角为θ，则cosθ（0≤λ≤1）， 当时，cosθ取最大值，此时θ取最小值， 当λ＝1时，cosθ取最小值，此时θ取最大值，则θ的取值范围为[，]．故答案为：[，]． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．【答案】（1）；（2）或． 【解】：（1）与夹角的余弦值为cos，； （2）因为，所以，即， 所以14k+6（1﹣k2）﹣9k＝0，整理得6k2﹣5k﹣6＝0，解得或． 16.解:(1)证明:因为侧面AA1C1C是矩形,所以AA1⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,AA1⊂平面AA1C1C,所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由AB=2,AC=1,BC=,得AB⊥AC.如图,以A为坐标原点,AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(0,2,0),A1(0,0,),C1(1,0,),则=(1,-2,),=(0,2,-).假设存在满足题意的点D(x1,y1,z1),则=(x1,y1-2,z1),设=λ(λ∈[0,1]),则(x1,y1-2,z1)=λ(1,-2,),所以x1=λ,y1=2-2λ,z1=λ,所以=(λ,2-2λ,λ).由·=0,得(λ,2-2λ,λ)·(0,2,-)=0,得4-6λ=0,解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在一点D,使得AD⊥A1B,此时=. 17设，， 联立，整理可得，可得，， 所以；      （3）设，，由题意可得，， 将，的坐标代入可得：， 作差整理可得：， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即    18.解:(1)因为直线AB的方程为x-3y-6=0且AD⊥AB,所以kAD=-3.又点(-1,1)在边AD所在的直线上,所以边AD所在直线的方程是y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.由得A(0,-2).所以|AP|==2,所以矩形ABCD的外接圆的方程是(x-2)2+y2=8. (2)直线l的方程可化为k(-2x+y+4)+x+y-5=0,因为k∈R,所以直线l恒过直线-2x+y+4=0与x+y-5=0的交点Q(3,2),由|QP|2=(3-2)2+22=5<8,知点Q在圆P内,所以l与圆P恒相交.设l与圆P的两个交点为M,N,则|MN|=2(d为P到l的距离),设直线PQ与l的夹角为θ,则d=|PQ|sin θ=sin θ,当θ=90°时,d最大,|MN|最小,此时l的斜率为-,故l的方程为y-2=-(x-3),即x+2y-7=0. 19.【答案】（1）；（2）是，定点． 【解】：（1）由题意得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝3， 所以椭圆的方程为， （2）由（1）Q（﹣2，0），由题意得直线AB的斜率存在，设直线AB为y＝kx+t， 由，得3x2+4（kx+t）2＝12， 化简得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0， 由Δ＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，得4k2﹣t2+3＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 所以 ，所以， 所以直线AB：，所以直线AB恒过点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$