4.3.2　对数的运算-2024-2025学年高一数学上学期必修第一册同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

4.3.2　对数的运算（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】对数运算性质的应用 2 【题型二】换底公式的应用 3 【题型三】对数与指数的综合应用 4 【题型四】实际问题中的对数运算 5 【当堂温习】 6 【分层练习】 7 考试要求： 1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算. 2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 素养要求：　 通过本节课的学习，掌握对数的运算性质及换底公式，会用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 一、对数的运算性质 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 二、换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 题型研析 【题型一】对数运算性质的应用 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知，，则 ； . 6．（24-25高三上·全国·阶段练习）设正实数满足，则 ． 解题策略： 1.对数式的化简、求值的求解方式一般是正用或逆用公式. 2.化简同底的对数常用的方法： (1)“收”，将两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将两对数的积(商)拆成和(差)的对数. 【题型二】换底公式的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．2 2．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 3．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 4．（2024·广东·二模）已知，且，则下列不等式中成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知，则的最小值为 . 6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，则的值为 . 解题策略： 1.在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底. 2.注意公式：logab·logba＝1，logab·logbc＝logac，loganbm＝logab等的活用. 【题型三】对数与指数的综合应用 一、单选题 1．（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·河北衡水·期中）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足，则 ． 6．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知，则= 解题策略： 1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. 2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 【题型四】实际问题中的对数运算 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 2．（23-24高三上·河南·期中）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 二、多选题 3．（22-23高三下·广东茂名·阶段练习）历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·重庆·期末）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件.  恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一. 已知，,， 则下列说法中正确的是 （   ） A．若正实数x，y，z满足 则 B．若一个正整数n的20次方是一个13位整数，则 C．是位数为6692的正整数 D．将无理数写成小数形式后，其小数点后第一位数字为4 三、填空题 5．（22-23高一上·河北邢台·期末）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则 . 6．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 解题策略： 1.对数在实际中的应用十分广泛，解决此类问题的关键在于理解题意，提炼出对数的相关知识，以及认真分析题目中给出的相关数据. 2.将相关数据代入，准确利用对数运算性质、换底公式进行计算，必要时注意指数与对数的灵活转化. 当堂温习 一、单选题 1．（22-23高三上·海南·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）以下运算中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 三、填空题 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 . 6．（24-25高二上·上海·开学考试）已知，则 . 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知定义在上的函数对任意的实数都有，则 （    ） A． B．- C． D． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 4．（19-20高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 二、多选题 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·宁夏固原·阶段练习）下列运算结果为1的有（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知偶函数满足：当时，，则 . 9．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则 ． 10．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知，，则用，表示 四、解答题 11．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）化简求值： (1)； (2). (3)若，求的值． 12．（23-24高一下·全国·单元测试）化简求值： (1) (2) (3)，，试用a，b表示. 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 四、解答题 4．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）（1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.2　对数的运算（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】对数运算性质的应用 2 【题型二】换底公式的应用 5 【题型三】对数与指数的综合应用 8 【题型四】实际问题中的对数运算 11 【当堂温习】 15 【分层练习】 17 考试要求： 1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算. 2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 素养要求：　 通过本节课的学习，掌握对数的运算性质及换底公式，会用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 一、对数的运算性质 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 二、换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 题型研析 【题型一】对数运算性质的应用 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知，，则 ； . 6．（24-25高三上·全国·阶段练习）设正实数满足，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D D BCD AB 1．D 【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可. 【详解】因为，所以， 故得，化简得， 所以，故，故D正确. 故选：D. 2．D 【分析】根据指数与对数的运算性质，合理运算、化简即可得到结果. 【详解】当时，，，， 故A,B,C都不成立， 因为，故D正确. 故选：D. 3．BCD 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 4．AB 【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断. 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 故选：AB. 5． ； . 【分析】利用对数的运算性质化简即可得答案. 【详解】 ； . 故答案为：；. 6． 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 解题策略： 1.对数式的化简、求值的求解方式一般是正用或逆用公式. 2.化简同底的对数常用的方法： (1)“收”，将两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将两对数的积(商)拆成和(差)的对数. 【题型二】换底公式的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．2 2．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 3．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 4．（2024·广东·二模）已知，且，则下列不等式中成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知，则的最小值为 . 6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，则的值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D BD ABC 1．A 【分析】根据对数运算公式，即可求解. 【详解】， 得. 故选：A 2．D 【分析】将指数式化成对数式，再利用换底公式和对数的运算性质计算即得. 【详解】由化成对数式，可得， 则. 故选：D. 3．BD 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 4．ABC 【分析】对于A，直接利用基本不等式判断；对于B，利用三角函数解出最值；对于CD，由函数的单调性判断； 【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，因为，， 令，， 令 令令， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 又，， 的时，取最小值，所以B正确； 对于C，，因为，所以在上最小值为，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 5． 【分析】根据对数的换底公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， ，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 6． 【分析】首先，将所给指数幂形式化为，，结合对数的运算性质及换底公式可得答案． 【详解】， ，， ，， ． 故答案为： 解题策略： 1.在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底. 2.注意公式：logab·logba＝1，logab·logbc＝logac，loganbm＝logab等的活用. 【题型三】对数与指数的综合应用 一、单选题 1．（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·河北衡水·期中）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足，则 ． 6．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知，则= 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B A AD BC 1．B 【分析】对于ACD通过反例即可判断，对于B可通过的单调性判断. 【详解】对于A：取，满足，而，故错误； 对于C：取满足，而，故错误； 对于D：取，满足，而，故错误； 对于B：因为，所以，又函数单调递增，所以， 即，故正确 故选：B 2．A 【分析】先求出，再利用坐商法结合换底公式及绝对值不等式即可得解. 【详解】由， ， 因为， 所以，所以， ， 所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 3．AD 【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解. 【详解】由根与系数的关系，得，， ， . 故选：. 4．BC 【分析】由对数定义求出，再根据不等式的性质判断．作差并利用二次函数性质得出结论． 【详解】由题意得，， ，而，∴，A错误； ∵，，， ∴，B正确； ， 又， ∴，C正确； ， 又，即，， ∴，∴，D错误. 故选：BC． 5．3 【分析】设，利用同构结合二次方程的解可得，故可求的值. 【详解】设，则， 故即， 整理得到：， 故为方程的正根， 故，故，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理, 6．1 【分析】根据指数式和对数式的互化可得，结合对数运算性质可得的值，化简为，即可得答案. 【详解】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 解题策略： 1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. 2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 【题型四】实际问题中的对数运算 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 2．（23-24高三上·河南·期中）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 二、多选题 3．（22-23高三下·广东茂名·阶段练习）历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·重庆·期末）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件.  恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一. 已知，,， 则下列说法中正确的是 （   ） A．若正实数x，y，z满足 则 B．若一个正整数n的20次方是一个13位整数，则 C．是位数为6692的正整数 D．将无理数写成小数形式后，其小数点后第一位数字为4 三、填空题 5．（22-23高一上·河北邢台·期末）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则 . 6．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D ABD BCD 1．C 【分析】根据题意，建立含指数方程，后指数对数互化，结合对数性质和参考数据可解. 【详解】由题知，所以，可得， 所以. 即某物体的温度从下降到以下，至少大约需要35分钟. 故选：C. 2．D 【分析】结合题意，利用对指数互化与指数运算进行计算即可得解． 【详解】由题意得，，， 从而，， 因此． 故选：D． 3．ABD 【分析】根据对数的运算法则逐个判断即可 【详解】由对数运算规律可知，，所以A正确； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D正确. 故选ABD. 4．BCD 【分析】利用对数的运算性质，把指数式化为对数式进行计算，即可得到判断. 【详解】对于A，令，则 所以， 故A是错误的； 对于B，设， 则当时，，此时，因为，所以不符合题意， 则当时，，此时，因为，所以符合题意， 则当时，，此时，因为，所以不符合题意， 当时，位数一定超14位，故B是正确的； 对于C，设， 因为，所以， 则，同理， 所以是位数为6692的正整数，故C是正确； 对于D，， 故D是正确的； 故选：BCD. 5．2 【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以，, 所以，， 所以， 故答案为：. 6．2 【分析】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，，时，， ∴，， ∴ . 故答案为：2. 解题策略： 1.对数在实际中的应用十分广泛，解决此类问题的关键在于理解题意，提炼出对数的相关知识，以及认真分析题目中给出的相关数据. 2.将相关数据代入，准确利用对数运算性质、换底公式进行计算，必要时注意指数与对数的灵活转化. 当堂温习 一、单选题 1．（22-23高三上·海南·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）以下运算中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 三、填空题 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 . 6．（24-25高二上·上海·开学考试）已知，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A A ACD CD 1．A 【分析】由对数的运算求出，再结合对数和指数的运算化简即可. 【详解】由题得， 所以. 故选：A. 2．A 【分析】根据指对互化的运算可得，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应用即可求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 3．ACD 【分析】根据对数运算判断A；根据根式性质以及指数运算判断B；指数和对数的运算判断C；对数的运算性质和换底公式判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确， 故选：ACD. 4．CD 【分析】依题意写出时间与该物质剩余质量的函数关系，逐一判断ABC；令，将指数式转化为对数式，利用换底公式求解可判断D. 【详解】依题意，该物质每经过1年，所剩质量为上一年的， 记t年后该物质的质量为y，则， 对于A，10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.9倍，故A错误； 对于B，2年后，这种放射性物质的质量为（g），故B错误； 对于C，t年后，这种放射性物质的质量为，故C正确； 对于D，令，即，故D正确． 故选：CD 5． 【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 所以. 故答案为： 6．1 【分析】由条件结合指数式与对数式关系求，根据换底公式及对数运算法则求结论. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为：. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知定义在上的函数对任意的实数都有，则 （    ） A． B．- C． D． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 4．（19-20高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 二、多选题 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·宁夏固原·阶段练习）下列运算结果为1的有（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知偶函数满足：当时，，则 . 9．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则 ． 10．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知，，则用，表示 四、解答题 11．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）化简求值： (1)； (2). (3)若，求的值． 12．（23-24高一下·全国·单元测试）化简求值： (1) (2) (3)，，试用a，b表示. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A B BD CD AC 1．D 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用. 【详解】由题意，. 故选：D. 2．C 【分析】先用赋值法求出，结合对数运算性质可解. 【详解】赋值法知道，，解得. . 故选：C. 3．A 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：A． 4．B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 5．BD 【分析】根据指数幂、对数的运算法则逐项判断即可. 【详解】对于A：，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，故错误； 对于D：，正确. 故选：BD 6．CD 【分析】根据指对幂的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, ，故A错误， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D正确， 故选：CD 7．AC 【分析】根据对数的运算性质计算逐项计算. 【详解】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立. 故选：AC 8．18 【分析】根据偶函数的定义求值． 【详解】因为为偶函数，所以 故答案为：18. 9． 【分析】利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】易知； 故答案为： 10． 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解； （2）利用对数的性质、运算法则直接求解． （3）利用指数的性质、运算法则和完全平方公式求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3）若， 则， 所以， 所以. 12．(1)4 (2)7 (3) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的概念化简求值即可. （2）利用对数的运算性质化简求值即可. （3）根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由，，则. 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 四、解答题 4．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）（1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 参考答案： 题号 1 2 答案 B BCD 1．B 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 2．BCD 【分析】利用基本不等式求出的范围，即可判断A；利用基本不等式及指数的运算法则判断B；利用乘“1”法及基本不等式判断C；利用立方和公式及的范围判断D. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； ，当且仅当，即时取等号，故B正确； ， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； ， 因为，所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 3． 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 4．（1）；（2） 【分析】（1）利用对数运算性质、对数换底公式变换给定等式，联立求出即可计算得解. （2）令，利用指数、对数的互化关系，结合对数运算法则求出充要条件. 【详解】（1）由，得， 则，于是， 整理得，即，解得，即， 所以. （2）令，依题意，且，则， 于是，， 所以的充要条件是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$