第03讲 实际问题与反比例函数（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（人教版）

第03讲 实际问题与反比例函数 课程标准 学习目标 ①李用反比例函数解决实际问题 ②利用反比例函数解决与几何图形有关的问题 ③利用反比例函数解决与物理相关的问题 1. 掌握利用反比例函数解决实际问题的具体步骤，结合反比例函数的图象和性质，能熟练解决与反比例函数相关的问题。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 【即学即练1】 1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于 　　m3． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将V＝0.8代入（1）中的函数式求p即可； （3）将p＝144代入（1）中的函数式求V即可解答． 【解答】解：（1）设这个函数的解析式， 由函数图象可知，k＝1.6×60＝96， ∴这个函数的解析式为； （2）当V＝0.8时，（千帕）， 答：气球内的气压是120千帕； （3）根据题意，当p≤144时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 故答案为：． 【即学即练2】 2．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？ （3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？ 【分析】（1）根据题意即可知装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，则可求得答案； （2）由x＝5，代入函数解析式即可求得y的值，即求得平均每天至少要卸的货物； （3）由10名工人，每天一共可卸货50吨，即可得出平均每人卸货的吨数，即可求得答案． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝， 根据题意得：50＝， 解得k＝400， ∴y与x之间的函数表达式为y＝； （2）∵x＝5，∴y＝400÷5＝80， 解得：y＝80； 答：平均每天至少要卸80吨货物； （3）∵每人一天可卸货：50÷10＝5（吨）， ∴80÷5＝16（人），16﹣10＝6（人）． 答：码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务． 知识点02 利用反比例函数解决几何图形问题 1. 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 【即学即练1】 3．图中有一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算沿墙围成一个面积为120m2的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边长AB＝x（m），与墙垂直的一边长为y（m）． （1）求y关于x的函数表达式，并指出自变量的取值范围． （2）若想使花圃长是宽的7.5倍，则花圃至少需要围栏多少米？ 【分析】（1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据题意得到x＝7.5y，然后代入求出y＝4，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵设花圃与墙平行的一边长AB＝x（m），与墙垂直的一边长为y（m），面积为120m2， ∴xy＝120， ∴， ∵可利用的最大长度为100m， ∴0＜x≤100， ∴y关于x的函数表达式为； （2）∵使花圃长是宽的7.5倍， ∴x＝7.5y， ∴代入得，， ∴7.5y2＝120， ∴y＝4或﹣4（舍去）， ∴x＝7.5y＝30， ∴x+2y＝30+2×4＝38（m）， ∴花圃至少需要围栏38m米． 知识点03 利用反比例函数解决物理问题 1. 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 【即学即练1】 4．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）当R＝1375Ω时，求I的值； （3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式； （2）将R＝1375Ω，代入解析式，求出I的值即可得解； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【解答】解：（1）设，由图象可知， 当R＝1100Ω时，I＝0.2A， ∴k＝0.2×1100＝220， ∴I＝； （2）当R＝1375Ω时，I＝＝0.16（A）； （3）当I＝0.1A，R＝＝2200（Ω）， 当I＝0.25A，R＝＝880（Ω）， ∴该台灯的电阻R的取值范围为880Ω≤R≤2200Ω． 题型01 反比例函数的实际应用——工程、行程问题 【典例1】某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点（30，40），如图． （1）求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程？ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出y与x之间的函数表达式； （2）将x＝24及x＝30代入（1）中求得的解析式，求出y值，作差后即可得出答案． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为， ∵经过点（30，40）， ∴， ∴k＝1200， ∴表达式为； （2）当x＝30时，， 当x＝24时，， ∵50﹣40＝10， ∴工程队提前10天完成此项工程． 【变式1】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若汽车从上午8：00从A市出发，如果汽车在当天12：48到14：00之间到达B市，求汽车行驶速度的范围． 【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）8：00至12：48时间长为小时，8：00至14：00时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v关于t的函数表达式为； （2）8：00至12：48时间长为小时，8：00至14：00时间长为6小时， 将t＝6代入得v＝80； 将代入得v＝100． ∴汽车行驶速度v的范围为80≤v≤100． 【变式2】某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【分析】（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当y＝20时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为， ∵点（24，50）在函数图象上， ∴， ∴k＝1200， ∴所求函数关系式为． （2）当y＝20时，， ∴x＝60， 60÷15＝4， 答：需要4台这样的挖掘机． 【变式3】元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【分析】（1）根据路程，速度，时间的关系，先求出从甲地到乙地路程，再列出函数关系式； （2）结合（1），把v＝60代入求出t的值即可． 【解答】解：（1）由题意可得从甲地到乙地路程为：100×1.5＝150（km）， ∴v与t的关系式为：v＝； （2）当小汽车匀速行驶的速度为60km/h，即v＝60km/h， 在v＝中，令v＝60得60＝， 解得t＝2.5， 答：小汽车速度为60km/h时，从乙地到甲地需要2.5h． 【变式4】设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人． 【分析】（1）根据每个工人一天能做工艺品的个数×工人总数＝工艺品厂每天生产工艺品的总个数，可得xy＝60，再将等式两边除以x即可求解． （2）根据6≤x≤8，列不等式解出可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：xy＝60， y＝， （2）∵x＝， ∴， ∴7≤y≤10， 答：估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人． 题型02 反比例函数与几何图形问题 【典例1】已知一个矩形的面积为12，长为x，宽为y． （1）y与x之间的函数关系式为 　y＝（x＞0）　； （2）在图中画出该函数的图象； ①填表； x … 1 2 3 4 5 6 … y … 12 　 　 　 　 2 … ②描点； ③连线． 【分析】（1）利用面积公式即可解答； （2）把x＝2，3，4，5分别代入y＝，求出y，描点连线即可画出图象即可． 【解答】解：（1）∵xy＝12， ∴y＝（x＞0）， 故答案为：y＝（x＞0）； （2）把x＝2，3，4，5分别代入y＝，y＝6，4，3，2.4， 故答案为：6，4，3，2.4； 描点：在平面直角坐标系中描出相应的点， 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到的函数的图象如图所示； 【变式1】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为60m2，设与墙垂直的边长为x m，与墙平行的边长为y m． （1）直接写出y与x的函数关系式为 　y＝　； （2）现有两种方案x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x＝5和x＝6时的y值，结合墙长11m，即可得出应选x＝6的设计方案，再将其代入2x+y中即可求出此栅栏的总长． 【解答】解：（1）依题意得：xy＝60， ∴y与x的函数关系式为y＝． 故答案为：y＝． （2）当x＝5时，y＝＝12， ∵12＞11， ∴不符合题意，舍去； 当x＝6时，y＝＝10， ∵10＜11， ∴符合题意，此栅栏总长为2x+y＝2×6+10＝22． 答：应选择x＝6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【变式2】市煤气公司要在地下挖一个容积为1000立方米的圆柱形煤气储存室，若储存室的底面积为S平方米，深度为d米． （1）求S与d之间的函数表达式； （2）据勘探，储存室深度的最大值为16米，求储存室的底面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由容积＝底面积×深度可列出底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系； （2）把d＝16代入S、d之间的函数关系式，即可求得储存室的底面积至少为多少平方米． 【解答】解：（1）由容积＝底面积×深度，可得： ∴S＝（d＞0）； （2）当深为16m，即d＝16时， 将之代入第一问的函数关系式可得： S＝＝（平方米）． 答：储存室的底面积至少为平方米． 【变式3】某学校准备修建一个面积为100m2的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为x m，相邻的另一边长为y m． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若矩形的一边长x满足x＞50，求另一边长y的取值范围； （3）杭杭在实践后得到如下结论：在面积为100m2的情况下，不存在周长为30m的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【分析】（1）由矩形花圃的面积为100m2，可得出xy＝100，变形后即可得出结论； （2）由k＝100＞0，利用反比例函数的性质，可得出当x＞0时，y随x的增大而减小，再结合x＞50，可求出y的取值范围，再结合y＞0，即可得出结论； （3）假设存在周长为30m的矩形，利用矩形的周长公式，可得出关于x的分式方程，整理后可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣175＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即杭杭的说法正确． 【解答】解：（1）根据题意得：xy＝100， ∴y＝； （2）∵k＝100＞0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∵x＞50， ∴y＜，即y＜2， 又∵y＞0， ∴0＜y＜2； （3）杭杭的说法正确，理由如下： 假设存在周长为30m的矩形， 根据题意得：2（x+y）＝30，即2（x+）＝30， 整理得：x2﹣15x+100＝0， ∵Δ＝（﹣15）2﹣4×100＝﹣175＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即杭杭的说法正确． 【变式4】如图，三角形ABC底边BC上的高为AD，设BC的长为x（cm），AD的长为y（cm），三角形的面积为S（cm2）． （1）如果三角形的高AD不变，即y＝6cm，则S与线段BC的长x之间的关系式为 　S＝3x　； （2）如果三角形的底边BC不变，即x＝8cm，当高从3cm增加到10cm时，三角形的面积将增加 　28　cm2； （3）如果三角形的底边BC和高AD都发生变化，但BC与AD的和为4cm保持不变，即始终满足BC+AD＝4： ①请求出此时S与x的关系式； ②根据①中的关系式完成表格，并分析当0＜x＜4时，S随x变化的情况为：　先增加后减少　． BC的长x（cm） … 1 2 3 … 三角形面积S（cm2） … 2 … 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式列式即可； （2）分别将y＝3cm和y＝10cm代入S＝4y，求出x的值即可； （3）①求得y＝4﹣x，利用三角形的面积公式列式即可； ②分别将x＝1和x＝3代入①所求解析式，求出y的值，再观察表格即可得解． 【解答】解：（1）∵y＝6cm， ∴， 故答案为：S＝3x； （2）∵x＝8cm，， 当y＝3cm，S1＝4×3＝12； 当y＝10cm，S2＝4×10＝40； ∵40﹣12＝28， ∴当高从3cm增加到10cm时，三角形的面积将增加28cm2； 故答案为：28； （3）解：①∵BC+AD＝4，即x+y＝4， ∴y＝4﹣x， ∴； ②当x＝1，； 当x＝3，； 填表如下， BC的长x（cm） … 1 2 3 … 三角形面积S（cm2） … 2 … 观察表格知，当0＜x≤2时，S随x的增加而增加；当2＜x＜4时，S随x的增加而减少； 故答案为：先增加后减少． 题型03 反比例函数与物理问题 【典例1】在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，当电阻R＝5Ω时，电流I＝2A． （1）求I与R之间的函数关系式； （2）当电流I＝0.5A时，求电阻R的值． 【分析】（1）R＝5，I＝2满足解析式I＝； （2）将I＝1代入I＝中计算可得答案． 【解答】解：（1）根据电压U（V），电流I（A）与电阻R（Ω）之间的关系可得：I＝． 将R＝5，I＝2代入，2＝， ∴U＝10， ∴I＝； （2）将I＝0.5代入I＝中，得R＝20． 【变式1】为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强p（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过800kPa，为安全起见，则其体积V要控制在什么范围？ 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把p＝800kPa代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【解答】解：（1）设，由题意知， ∴k＝6000，即； （2）当p＝800kPa时，． ∵在第一象限，p随V的增大而减小， ∴当p≤800kPa时，V≥7.5mL， ∴为了安全起见，气体的体积应不小于7.5mL， 答：气体的体积应不小于7.5mL． 【变式2】如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将x＝2入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据0＜x≤2.5）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：xy＝1600×0.5， 则y＝， 即y关于x的函数表达式为y＝； （2）∵y＝， ∴当x＝2时，y＝＝400， 故当动力臂长为2动石头至少需要400N的力； （3）他不能撬动这块石头，理由如下： ∵y＝， ∴x＝， ∵0＜x≤2.5， ∴0＜≤2.5， ∴y＝320， ∵320＞300， ∴不能撬动这块石头． 【变式3】如图，是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和“木海马”对滩涂的压力F（单位：N），“木海马”底面面积S（单位：m2）与人和木板对滩涂的压强p（单位：Pa）满足关系：F＝pS，若人和木板对滩涂的压力F合计为700N． （1）用含S的代数式表示p； （2）当“木海马”底面面积为1.4m2时，人和木板对滩涂的压强是多少Pa； （3）若要人和木板对滩涂的压强不超过2500Pa，则“木海马”底面面积至少需要多少m2． 【分析】（1）根据F＝PS，得出结论； （2）把s＝1.42代入（1）中解析式即可； （3）根据反比例函数的性质得出结论． 【解答】解：（1）∵F＝PS， ∴P＝， ∵F＝700， ∴P＝； （2）当S＝1.4时，， 答：人和木板对滩涂的压强是500Pa； （3）∵k＝700＞0 ∴当S＞0时，p随S的增大而减小， ∴当p≤2500时，S≥0.28， 答：“木海马”底面面积至少需要0.28m2． 题型04 反比例函数与一次函数的综合应用 【典例1】某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： （1）该企业4月份的生产数量为多少万支？ （2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可； （2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数． 【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝， ∵点（1，180）在该函数图象上， ∴180＝，得k＝180， ∴y＝， 当x＝4时，y＝＝45， 即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支； （2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b， ∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15， ， 解得2≤x≤7 ∵x为正整数， ∴x＝2，3，4，5，6，7， 答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【变式1】某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，令y＝3，分别代入（1）中解析，求得x的值，由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克，即可求解． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 将（24，8）代入解析式得k＝xy＝24×8＝192， ∴反比例函数解析式为， 将y＝12代入解析式得，， 解得：x＝16， 故A点坐标为（16，12）， ∴反比例函数解析式为， 设正比例函数解析式为y＝nx 将A（16，12）代入得：， ∴正比例函数解析式为； （2）由可得：当y＝3时，， 由可得：当y＝3时，x＝4， 由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克， ∵64﹣4＝60分钟， ∴师生至少在60分钟内不能进入教室． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点A（n，3），与x轴交于点B，连结AO并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）当直线AC对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）先求出点A的坐标（﹣1，3），然后代入反比例函数解析式，求出k的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点B的坐标，利用反比例函数的对称性求得点C的坐标，然后根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC即可求解； （3）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）∵A（n，3）在一次函数y＝﹣x+2的图象上， ∴3＝﹣n+2， 解得n＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣1，3）， ∴k＝1×（﹣3）＝﹣3， ∴反比例函数的对应的函数关系为； （2）当y＝0时，0＝﹣x+2， 解得x＝2， ∴点B的坐标为（2，0）． ∵点C在反比例函数的图象上， ∵A（﹣1，3），根据对称性， ∴点C的坐标为（1，﹣3）， ∴； （3）由图象可得， 当x＜﹣1或0＜x＜1时，直线AC的图象在反比例函数的图象的上面， ∴当直线AC对应的函数值大于反比例函数的函数值时，x＜﹣1或0＜x＜1． 【变式3】某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元）与年销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值； （3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本，决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x＞8）．当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，直接写出x的取值范围 　11≤x≤21　． 【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； （2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出W的最大值，进而求解； （3）由（2）及题意得：w＝（﹣x+28）（x﹣4）﹣16≥103，进而求解． 【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝， 将A（4，40）代入得，k＝4×40＝160， ∴y与x之间的函数关系式为y＝； 当8＜x≤28时，设y＝k'x+b， 将B（8，20），C（28，0）代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28， 综上所述，y＝； （2）由（1）及题意得： w＝， 当4≤x≤8时，w＝﹣， ∵﹣640＜0， ∴w随x的增大而增大， ∴故当x＝8时，w取得最大值为﹣80； 当8＜x≤28时，w＝﹣x2+32x﹣272＝﹣（x﹣16）2﹣16， ∵﹣1＜0，故函数有最大值， ∴当x＝16时，Smax＝﹣16； ∵﹣16＞﹣80， ∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元，此时亏损16万元； （3）由（2）及题意得：w＝（﹣x+28）（x﹣4）﹣16＝﹣x2+32x﹣128＝﹣（x﹣16）2+128， 当x＝8时，y＝64； 当x＝16时，y＝128； 当x＝28时，y＝16， 如图所示： 当w＝103时，则﹣x2+32x﹣128＝103， 解得x1＝11，x2＝21， 由函数图象和性质可知，当11≤x≤21时，w≥103， ∴x的取值范围为11≤x≤21， 答案为：11≤x≤21． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤﹣的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝﹣的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3）， ∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6， 解得m＝6，n＝2， ∴A（﹣1，6），B（2，﹣3）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3． （2）观察图象，不等式kx+b≤﹣的解集为：﹣1≤x＜0或x≥2． （3）连接OA，OB，由题意C（0，3）， S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×2＝， 设P（m，0）， 由题意•|m|•3＝×2， 解得m＝±6， ∴P（6，0）或（﹣6，0）． 【变式5】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，进而把D代入计算即可求出m的值； （2）利用待定系数法可求出一次函数的解析式，进而求出A点坐标，可得OA的长，再根据S△DOC＝S△OCA﹣S△DOA计算即可求解； （3）由C（1，4），D（4，1）可得，当点P在∠COD的平分线上时，∠COP＝∠POD，可证△POC≌△POD（SAS），得到S△POC＝S△POD，延长OP交抛物线于点M，可得OM⊥CD，又由OA＝OB可得OP平分∠AOB，可得点P在直线y＝x上，最后联立函数解析式解方程组即可求解． 【解答】解：（1）把C（1，4）代入得，， ∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为，把D（4，m）代入得，； （2）∵m＝1， ∴D（4，1）， 把C（1，4）、D（4，1）代入一次函数y＝ax+b得， ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+5，把y＝0代入y＝﹣x+5得，0＝﹣x+5， ∴x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， ∴； （3）双曲线上存在点P（﹣2，﹣2）或（2，2），使得S△POC＝S△POD，理由如下： ∵C点坐标为（1，4），D点坐标为（4，1）， ∴， 当点P在∠COD的平分线上时，∠COP＝∠POD，在POC和POD中， ， ∴△POC≌△POD（SAS）， ∴S△POC＝S△POD， 延长OP交直线AB于点M， ∵OD＝OC，OM平分∠COD， ∴OM⊥CD， 把x＝0代入y＝﹣x+5得，y＝5， ∴B（0，5）， ∴OB＝5， ∴OA＝OB， ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝∠BOM， ∴OP平分∠AOB， ∴点P在直线y＝x上， 由，解得或， ∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（2，2）， 即双曲线上存在点P（﹣2，﹣2）或（2，2），使得S△POC＝S△POD． 1．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系．小明原来佩戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小明的眼镜度数（　　） A．下降了150度 B．下降了250度 C．下降了350度 D．不变 【分析】设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的反比例函数关系为y＝，把（0.5，200）代入求得k，当x＝0.4米，求得y＝250，于是得到结论． 【解答】解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的反比例函数关系为y＝， ∵双曲线经过（0.5，200）， ∴k＝0.5×200＝100， ∴近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的反比例函数关系为y＝， 当x＝0.4米， ∴y＝＝250， ∴400﹣250＝150（度）， 答：小明的眼镜度数下降了150度， 故选：A． 2．当作用于一个物体的压力F（N）一定时，这个物体所受的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）的函数表达式为，则下列描述不正确的是（　　） A．当压力F＝5N，受力面积S为1m2时，物体所受压强为5Pa B．图象位于第一、三象限 C．压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小 D．图象不可能与坐标轴相交 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论． 【解答】解：A．当压力F＝5N，受力面积S为1m2时，p＝＝5pa，故本选项不符合题意； B．结合实际意义可知S＞0，即函数图象位于第一象限，故本选项符合题意； C．压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小，故本选项不符合题意； D．根据题意可知，S≠0，又F≠0，由此可得p≠0，故图象不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积S（m2）与其深度H（m）成反比例，S关于H的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积S定为400m2，当施工队按计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少10m，相应地，储存室的底面积应（　　） A．减少100m2 B．增加100m2 C．减少200m2 D．增加200m2 【分析】先求出反比例函数解析式，再计算H＝20时的S值，再用H＝10的函数值减去H＝20时的S值即可得到答案． 【解答】解：设反比例函数解析式为S＝，当H＝10时，S＝400， ∴k＝4000， ∴反比例函数解析式为S＝， 当H＝20时，S＝＝200， ∴增大的底面积S为：400﹣200＝200． 故选：C． 4．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为（min），故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上， ∴， 解得：k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令y＝20，则， ∴x＝20， ∴从开机加热到水温降至20℃需要20min，即一个循环为20min， 水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为， 上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10， ∴当x＝10时，y＝＝40， 即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40， 解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，， 解得：x＝10， ∵10﹣1＝9， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同． 【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数， ∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两学校的优秀人数相同， ∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， ∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少， 故选：C． 6．若一个矩形的面积为10，长为x，宽为y，则y与x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据矩形的面积等于长与宽的积列关系式即可求解． 【解答】解：∵一个矩形的面积为10，长为x，宽为y， ∴xy＝10，则， 故选：A． 7．某学校采用药薰消毒法对教室进行消毒．现测得不同时刻的含药量y（毫克）与时间x（分钟）的数据如下表所示，则最可能表示y与x的函数关系的是（　　） x 0 2 4 6 8 10 12 16 20 y 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 A． B． C． D． 【分析】通过表格可知，0∼8分钟，每2分钟，含药量y增加1.5毫克，y与x成正比例关系，8分钟以后，xy为定值，为反比例关系，即可得出结果． 【解答】解：由表格可知：0∼8分钟，每2分钟，含药量y增加1.5毫克，y与x成正比例关系，8分钟以后，xy为定值48，为反比例关系，故最可能表示y与x的函数关系的是： ； 故选：B． 8．已知电功率P（W）与电压U（V）、电阻R（Q）的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为220V的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比＝（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】由题意得，经过两个电阻的电压相同，进而求解． 【解答】解：由题意得，经过两个电阻的电压相同， 故， 即． 所以它们的电阻的比为． 答：所以它们的电阻的比为． 故选：C． 9．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点（150，10）．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据解析式判断各个选项即可． 【解答】解：设y＝， 把（150，10）代入y＝得，10＝， ∴k＝1500， ∴y与x的函数表达式为y＝． A．当录字时间y（分钟）与录字速度x的乘积为1500字，即这篇文章一共1500字，故本选项不符合题意； B．当录字速度x＝75时，y＝＝20（字/分），故本选项不符合题意； C．当录字时间y＝35﹣20＝15时，x＝＝100， ∵k＞0， 在第一象限内，y随x的增大而减小， 即小丽每分钟至少应录入100字，故本选项符合题意； D．当x＝12时，y＝＝12（分钟）， 当x＝125×（1+12%）＝150时，y＝＝10， 实际用的时间是＝9.6（分钟）， 12﹣10＝2（分钟）， 比原计划提前2分钟，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h 【分析】先利用待定系数法求出AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）的函数解析式，再将v＝120，v＝60分别代入求出对应的t值，进而求解即可． 【解答】解：由题意可设v＝， 将（0.3，80）代入得，k＝0.3×80＝24， ∴v＝． 当v＝120时，t＝＝0.2， 当v＝60时，t＝＝0.4， ∴通过该限速区间AB段的时间不超过0.4h，不低于0.2h，综观各选项，只有B符合题意． 故选：B． 11．京沪铁路全程为1463km，某列车的平均速度vkm/h与全程运行时间th之间的函数表达式为　　． 【分析】根据平均速度＝总路程÷总时间可列出关系式，即可求解． 【解答】解：由题意得， 平均速度v（单位km/h）与全程运行时间t的关系为：． 故答案为：． 12．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝　4.5　m/s． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m＝80代入计算即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为v＝， ∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s； ∴k＝60×6＝360， ∴反比例函数解析式为v＝， 当m＝80kg时，v＝＝4.5（m/s）， 故答案为：4.5． 13．如图，某药剂在空气中的浓度y（mg/m3）与时间x（min）之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当x＝12时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 　8或18　． 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值． 【解答】解：设x＜12时，正比例函数的表达式为y＝k1x， 则a＝12k1， 解得， ∴正比例函数的表达式为． 设x＞12时，反比例函数的表达式为， 则， 解得k2＝12a， ∴反比例函数的表达式为． 当x＜12时，把代入得，， 解得x＝8． 当x＞12时，把代入得， ， 解得x＝18． 综上，当时，x的值是8 或18． 故答案为：8或18． 14．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力x阻力臂＝动力x动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，关于动力F和动力臂L：①F随L的增大而减小；②F关于L的函数图象位于第一、第三象限；③当L为1.5m时，抙动石头至少需要400N的力；④当抙动石头需要400N的力，L至少为1.5m；上面四种说法正确的是 　①③④　．（只填序号） 【分析】由题意知，Fl＝1200×0.5＝600，则F＝，根据反比例函数的图象与性质，反比例函数的实际应用对各说法进行判断即可． 【解答】解：由题意知，FL＝1200×0.5＝600，则F＝，L＞0， ∵600＞0， ∴F随L的增大而减小， 故①正确，符合要求； 由题意知，F关于L的函数图象位于第一象限， 故②错误，不符合要求； 当L＝1.5时F＝＝400， 故③正确，符合要求； 当F＝400时，L＝＝1.5， 故④正确，符合要求； 故答案为：①③④． 15．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 　50　℃． 【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y＝20代入该函数关系式中求出x值即可，由56﹣40＝16＞8，将x＝16代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论． 【解答】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：y＝10x+20； 在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：， 依据题意，得：， 解得：m＝800， ∴， 当y＝20时，， 解得：t＝x＝40， ∵56﹣40＝16＞8， ∴当x＝16时，． 故答案为：50． 16．为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行5min的药物喷洒，接着封闭教室10min，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． （1）求药物喷洒后（x≥5）空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）的函数表达式； （2）如果室内空气中的含药量达到5mg/m3及以上且持续时间不低于20min，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【分析】（1）分5≤x＜15和x≥15两种情况讨论，当5≤x＜15时，y与x成一次函数，利用待定系数法，即可得出一次函数解析式；当x≥15时，y与x为反比例函数关系式，利用待定系数法即可得出反比例函数解析式； （2）先求出正比例函数解析式，再计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于5mg/m3的持续时间，然后与20min比较大小即可判断此次消毒是否有效． 【解答】解：（1）当5≤x＜15时， 设y＝kx+b， ∵其图象过点（5，10），（15，8）， ∴， 解得， ∴y＝﹣0.2x+11， 当x≥15时， 设， ∵图象过点（15，8）， ∴k＝8×15＝120， ∴， 综上，函数表达式为：y＝； （2）此次消毒有效． 理由：当0≤x＜5时， 设y＝kx，将（5，10）代入， 则10＝5k，解得：k＝2， ∴y＝2x； 当y＝5时，5＝2x，解得， 当y＝5时，，解得x＝24， ∵， ∴此次消毒有效． 17．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（a，80）两点（如图）． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）求a的值，并解释它的实际意义； （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长． 【分析】（1）直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）中所求进而得出a的值，得出其实际意义； （3）利用S＝0.8求出y的值即可得出答案． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为：y＝（S＞0）， 将（4，32）代入可得：k＝128， ∴y与S之间的函数表达式为：y＝（S＞0）； （2）将（a，80）代入y＝可得a＝1.6， 实际意义：当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m； （3）∵厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2， ∴y≥＝160， 故面条的总长度至少为160m． 18．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【分析】（1）从图象上看，AB表示的函数为一次函数，BC是平行于x轴的线段，CD为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （3）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 【解答】解：（1）设yAB＝k1x+b，把（0，20），（10，50）代入函数解析式解得： yAB＝3x+20（0≤x≤10）， 由图象直接得到yBC＝50（10≤x≤30）； 设yCD＝，把（30，50）代入函数解析式解得yCD＝（30≤x≤45）； （2）把x＝4代入yAB＝3x+20，得yAB＝32， 把x＝35代入yCD＝，得yCD＝， 因为yAB＜yCD， 所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）不合理．理由如下： 因为10+30＝40分钟，把x＝40代入yCD＝， 解得yCD＝＜40， 所以这样的课堂学习安排不合理． 19．根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y＝100x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． （1）根据上述数学模型计算：当x＝5时，y＝45，求k的值． （2）若依据甲的生理数据显示，当y≥80时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ （3）假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 【分析】（1）直接将x＝5，y＝45代入，进行求解即可； （2）求出y＝80时的时间，进行求解即可； （3）求出早上7：00时的酒精浓度，进行判断即可． 【解答】解：（1）把x＝5，y＝45代入，得：， 解得：k＝225； （2）由（1）知：， ∴当时，； 当y＝100x＝80时，， ∴当y≥80时，肝部被严重损伤持续小时． （3）不能，理由如下： 当第二天早上7：00时，经过了24﹣20+7＝11个小时， ∴， ∵， ∴不能驾车． 20．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R1＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R、RL之间关系为，通过得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝　2　，b＝　1.5　； （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　不断减小　． （3）请结合函数图象分析，当x≥0时，的解集为 　x≥2或x＝0　． 【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a，b的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意，3＝，b＝， ∴a＝2，b＝1.5； 故答案为：2，1.5； （2）①根据表格数据描点：（1，4），（2，3），（3，2.4），（4，2），（6，1.5），在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象如下： ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）如图： 由函数图象知，当x≥2或x＝0时，≥﹣x+6， 即当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0， 故答案为：x≥2或x＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实际问题与反比例函数 课程标准 学习目标 ①李用反比例函数解决实际问题 ②利用反比例函数解决与几何图形有关的问题 ③利用反比例函数解决与物理相关的问题 1. 掌握利用反比例函数解决实际问题的具体步骤，结合反比例函数的图象和性质，能熟练解决与反比例函数相关的问题。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 【即学即练1】 1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于多少m3． 【即学即练2】 2．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？ （3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？ 知识点02 利用反比例函数解决几何图形问题 1. 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 【即学即练1】 3．图中有一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算沿墙围成一个面积为120m2的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边长AB＝x（m），与墙垂直的一边长为y（m）． （1）求y关于x的函数表达式，并指出自变量的取值范围． （2）若想使花圃长是宽的7.5倍，则花圃至少需要围栏多少米？ 知识点03 利用反比例函数解决物理问题 1. 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 【即学即练1】 4．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）当R＝1375Ω时，求I的值； （3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 题型01 反比例函数的实际应用——工程、行程问题 【典例1】某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点（30，40），如图． （1）求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程？ 【变式1】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若汽车从上午8：00从A市出发，如果汽车在当天12：48到14：00之间到达B市，求汽车行驶速度的范围． 【变式2】某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【变式3】元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【变式4】设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人． 题型02 反比例函数与几何图形问题 【典例1】已知一个矩形的面积为12，长为x，宽为y． （1）y与x之间的函数关系式为 　 　； （2）在图中画出该函数的图象； ①填表； x … 1 2 3 4 5 6 … y … 12 　 　 　 　 2 … ②描点； ③连线． 【变式1】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为60m2，设与墙垂直的边长为x m，与墙平行的边长为y m． （1）直接写出y与x的函数关系式为 　 　； （2）现有两种方案x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【变式2】市煤气公司要在地下挖一个容积为1000立方米的圆柱形煤气储存室，若储存室的底面积为S平方米，深度为d米． （1）求S与d之间的函数表达式； （2）据勘探，储存室深度的最大值为16米，求储存室的底面积至少为多少平方米？ 【变式3】某学校准备修建一个面积为100m2的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为x m，相邻的另一边长为y m． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若矩形的一边长x满足x＞50，求另一边长y的取值范围； （3）杭杭在实践后得到如下结论：在面积为100m2的情况下，不存在周长为30m的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【变式4】如图，三角形ABC底边BC上的高为AD，设BC的长为x（cm），AD的长为y（cm），三角形的面积为S（cm2）． （1）如果三角形的高AD不变，即y＝6cm，求S与线段BC的长x之间的关系式； （2）如果三角形的底边BC不变，即x＝8cm，当高从3cm增加到10cm时，三角形的面积将增加多少cm2； （3）如果三角形的底边BC和高AD都发生变化，但BC与AD的和为4cm保持不变，即始终满足BC+AD＝4： ①请求出此时S与x的关系式； ②根据①中的关系式完成表格，并分析当0＜x＜4时，S随x变化的情况为：　 　． BC的长x（cm） … 1 2 3 … 三角形面积S（cm2） … 2 … 题型03 反比例函数与物理问题 【典例1】在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，当电阻R＝5Ω时，电流I＝2A． （1）求I与R之间的函数关系式； （2）当电流I＝0.5A时，求电阻R的值． 【变式1】为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强p（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过800kPa，为安全起见，则其体积V要控制在什么范围？ 【变式2】如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【变式3】如图，是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和“木海马”对滩涂的压力F（单位：N），“木海马”底面面积S（单位：m2）与人和木板对滩涂的压强p（单位：Pa）满足关系：F＝pS，若人和木板对滩涂的压力F合计为700N． （1）用含S的代数式表示p； （2）当“木海马”底面面积为1.4m2时，人和木板对滩涂的压强是多少Pa； （3）若要人和木板对滩涂的压强不超过2500Pa，则“木海马”底面面积至少需要多少m2． 题型04 反比例函数与一次函数的综合应用 【典例1】某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： （1）该企业4月份的生产数量为多少万支？ （2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【变式1】某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点A（n，3），与x轴交于点B，连结AO并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）当直线AC对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【变式3】某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元）与年销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值； （3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本，决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x＞8）．当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，直接写出x的取值范围 　 ． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤﹣的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 【变式5】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等，请直接写出点P的坐标． 1．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系．小明原来佩戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小明的眼镜度数（　　） A．下降了150度 B．下降了250度 C．下降了350度 D．不变 2．当作用于一个物体的压力F（N）一定时，这个物体所受的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）的函数表达式为，则下列描述不正确的是（　　） A．当压力F＝5N，受力面积S为1m2时，物体所受压强为5Pa B．图象位于第一、三象限 C．压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小 D．图象不可能与坐标轴相交 3．长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积S（m2）与其深度H（m）成反比例，S关于H的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积S定为400m2，当施工队按计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少10m，相应地，储存室的底面积应（　　） A．减少100m2 B．增加100m2 C．减少200m2 D．增加200m2 4．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．若一个矩形的面积为10，长为x，宽为y，则y与x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 7．某学校采用药薰消毒法对教室进行消毒．现测得不同时刻的含药量y（毫克）与时间x（分钟）的数据如下表所示，则最可能表示y与x的函数关系的是（　　） x 0 2 4 6 8 10 12 16 20 y 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 A． B． C． D． 8．已知电功率P（W）与电压U（V）、电阻R（Q）的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为220V的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比＝（　　） A．2 B．4 C． D． 9．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点（150，10）．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 10．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h 11．京沪铁路全程为1463km，某列车的平均速度vkm/h与全程运行时间th之间的函数表达式为　 　． 12．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝　 　m/s． 13．如图，某药剂在空气中的浓度y（mg/m3）与时间x（min）之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当x＝12时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 　 　． 14．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力x阻力臂＝动力x动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，关于动力F和动力臂L：①F随L的增大而减小；②F关于L的函数图象位于第一、第三象限；③当L为1.5m时，抙动石头至少需要400N的力；④当抙动石头需要400N的力，L至少为1.5m；上面四种说法正确的是 　 　．（只填序号） 15．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 　 　℃． 16．为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行5min的药物喷洒，接着封闭教室10min，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． （1）求药物喷洒后（x≥5）空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）的函数表达式； （2）如果室内空气中的含药量达到5mg/m3及以上且持续时间不低于20min，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 17．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（a，80）两点（如图）． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）求a的值，并解释它的实际意义； （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长． 18．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 19．根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y＝100x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． （1）根据上述数学模型计算：当x＝5时，y＝45，求k的值． （2）若依据甲的生理数据显示，当y≥80时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ （3）假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 20．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R1＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R、RL之间关系为，通过得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　． （3）请结合函数图象分析，当x≥0时，的解集为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$