第7章 锐角三角函数（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版，江苏专用）

第七章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·中考真题）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川南充·中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2024·甘肃武威·一模）在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 10．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024·天津滨海新·模拟预测）的值是 ． 12．（2023·四川成都·一模）已知，则的值约为 ． 13．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 m． 14．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 15．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．    16．（2022·湖南湘西·中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA b2＝a2＋c2﹣2accosB c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ． 17．（2024·江苏盐城·三模）如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是 ． 18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（2023·江西南昌·一模）在中，，，求的度数． 20．（8分）（2024·天津红桥·一模）如图，在中， ，求的值． 21．（8分）（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 22．（8分）（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 23．（8分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 在中， 于D， 若 求 24．（10分）（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 25．（10分）（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 26．（12分）（2024·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 27．（12分）（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 28．（14分）（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 (1)当点与点重合时，求的长； (2)设直线与直线相交于点，当时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 2．（2024·云南·中考真题）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵在中，，，， ∴ ， 故选：B． 3．（2023·四川南充·中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 4．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】解 ：， 故选：B． 5．（2024·甘肃武威·一模）在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴ ∴， 故选：D． 6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】解：由题意，得：在中，，， ∴； 计算器的按键为  ； 故选A． 7．（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，， ∴， 故选：D. 8．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 9．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【解析】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 10．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024·天津滨海新·模拟预测）的值是 ． 【解析】解：， ∴的值是． 故答案为： 12．（2023·四川成都·一模）已知，则的值约为 ． 【解析】 ∴ 故答案为： 13．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 m． 【解析】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝， ∴， ∵BC＝30m， ∴， 解得：AB=50m， 即迎水坡面AB的长度为50m． 故答案为：50 14．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【解析】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 15．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．    【解析】解：由题意得，，，， ∴， ∴    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为， 故答案为：． 16．（2022·湖南湘西·中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA b2＝a2＋c2﹣2accosB c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ． 【解析】解：由题意可得， BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA ＝32＋42﹣2×3×4cos60° ＝13， ∴BC＝， 故答案为：． 17．（2024·江苏盐城·三模）如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是 ． 【解析】如图所示，连接 设正方形网格中每个小正方形的边长为1 ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 故答案为：． 18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 【解析】解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（2023·江西南昌·一模）在中，，，求的度数． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴． 20．（8分）（2024·天津红桥·一模）如图，在中， ，求的值． 【解析】解：由勾股定理得，， ∴， ∴． 21．（8分）（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【解析】解：∵， ． 由知：， 由知，． ∴，，． 22．（8分）（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【解析】（1）解：由题意可得，； （2）解：证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． 23．（8分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 在中， 于D， 若 求 【解析】解：，于， ，， ． ， 即． ， 设为，则为． ． 在中，， ． 24．（10分）（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【解析】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴． （2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下： 在中，． 25．（10分）（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 【解析】（1）如图，过C作于点D , 即 （2），，, 在中，设，则 在中， 即: 解得：（不符题意，舍） . 26．（12分）（2024·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【解析】（1）如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴； ∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； （2）如图，设与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中， ，，， ∴， ∴． 故小星下降的高度为168米． 27．（12分）（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【解析】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 28．（14分）（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 (1)当点与点重合时，求的长； (2)设直线与直线相交于点，当时，求的长． 【解析】（1）解：如图1，过点C作， 则，， ∴， ∴ ， ， 当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有， 设，则， ∵ ∴在中， 解得：， 故 （2）如图2，当点F在上时，如下图： 由(1)可知， ∵ ∴， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，． ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 则， 解得：， 如图3，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 在中， ， 则 解得， 则， 综上：的值为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$