专题03 数列通项公式的求法（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题03 数列通项公式的求法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、观察法 3 题型二、利用与的关系 4 题型三、累加法 5 题型四、累乘法 6 题型五、构造法 6 压轴能力测评（16题） 7 一、数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 二、an与Sn的关系 数列的前项和和通项的关系：则 三、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 四、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 五、构造法 1.第一种形式：形如（其中均为常数且）型的递推式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.第二种形式：形如型的递推式 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为第一种形式便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型第一种形式的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 【题型一 观察法】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列式子： ； ； ； … 根据规律，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 【题型二 利用与的关系】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知数列的前项和，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二下·广东广州·期末）若数列满足，，则 . 6．（2024高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 7．（23-24高二下·江西景德镇·期中）若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 8．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的前项和，则 ． 【题型三 累加法】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知数列中，，，则 ， ． 4．（2024高二上·全国·专题练习）在数列中，， ，则通项公式 ． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 【题型四 累乘法】 一、单选题 1．（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列的前n项和为，且为常数列，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高二上·福建宁德·期中）已知，则数列的通项公式是 ． 5．（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【题型五 构造法】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 3．（23-24高二下·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 二、填空题 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则 . 6．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和 ． 一、单选题 1．（2023·四川·模拟预测）数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B．129 C． D．130 3．（23-24高二上·湖北·期末）1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．161 B．171 C．181 D．191 4．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足：，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．38 B．39 C．20 D． 9．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 11．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，，则 13．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 15．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 16．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，，，则的最小值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列通项公式的求法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、观察法 3 题型二、利用与的关系 6 题型三、累加法 9 题型四、累乘法 12 题型五、构造法 14 压轴能力测评（16题） 18 一、数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 二、an与Sn的关系 数列的前项和和通项的关系：则 三、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 四、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 五、构造法 1.第一种形式：形如（其中均为常数且）型的递推式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.第二种形式：形如型的递推式 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为第一种形式便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型第一种形式的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 【题型一 观察法】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构. 【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列式子： ； ； ； … 根据规律，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规律可得答案. 【详解】由规律可得， 所以 ． 故选：B. 3．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过规律即可求解. 【详解】由，可得的一个通项公式为. 故选：D. 4．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除选项即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 5．（22-23高二下·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 【答案】B 【分析】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得. 【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为， 第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为， 则第个“拐角数”为． 对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意； 对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是， 则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意； 对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意． 故选：B. 【题型二 利用与的关系】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知数列的前项和，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D 2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的关系式，利用累乘法即可求得（）. 【详解】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即（）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 3．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可. 【详解】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 4．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列递推式考虑赋值作差，即可求出，需要检测首项是否符合. 【详解】由 ① 知， 当时，； 当时， ②， 由① ② ：，即得， 当时，符合题意，故. 故选：A. 二、填空题 5．（23-24高二下·广东广州·期末）若数列满足，，则 . 【答案】 【分析】当时，，当时，由与的关系可得，即可求解. 【详解】当时，， 当时，①， ②， ①②得，即， 所以. 6．（2024高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据可求，再根据可求通项. 【详解】因为， 所以，所以． 当时，． 而也符合该式，故数列的通项公式为． 故答案为：. 7．（23-24高二下·江西景德镇·期中）若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由条件取，可求，结合关系，求，由此可得结论. 【详解】当时，, 又，所以； 当时，， 因为，也满足关系， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的前项和，则 ． 【答案】 【分析】利用可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，因此，. 故答案为：. 【题型三 累加法】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知数列的前n项和为，做差法计算数列的通项公式，代入，累加法求出数列的通项公式，裂项相消即可求出数列的前2024项和. 【详解】解：，， 当时，，符合， 所以数列的通项公式为. ，， 即， ， …… ，又，累加法可得：， 即， 设数列的前项和为，则. 故选：D 二、填空题 3．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知数列中，，，则 ， ． 【答案】 11 【分析】应用累加法求通项公式，进而求第5项即可. 【详解】依题意，，，，而， 则 ，也满足该式， 所以，． 故答案为：11； 4．（2024高二上·全国·专题练习）在数列中，， ，则通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用累加法即可求解. 【详解】∵， ∴， ， ， … . 以上个等式相加，得． ． 检验：当时，也成立. 所以，数列的通项公式. 故答案为：. 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 【答案】， 【分析】利用累加法可求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以. 所以，，…， 以上各式相加，得： 所以 又也符合上式， 所以，. 故答案为：， 【题型四 累乘法】 一、单选题 1．（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【详解】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以， 故选：B 2．（22-23高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列的前n项和为，且为常数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后可得，然后用累乘法求出答案即可. 【详解】因为数列是常数列，所以， 因为，所以，即， 所以当时， 时也满足上式，所以. 故选：B 3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 二、填空题 4．（22-23高二上·福建宁德·期中）已知，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】由已知递推式可得，然后利用累乘法可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，，，……，（）， 所以， 所以，因为，所以， 因为也满足上式， 所以， 故答案为： 5．（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可. 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 【题型五 构造法】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 2．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 3．（23-24高二下·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，当时，，两式相减化简得到，得到数列是等比数列，求得，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以当时，， 两式相减得，即， 可得， 当时，可得，即，解得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，所以. 故选：C. 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】将式子变形为,可得为常数列，即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 二、填空题 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 6．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和 ． 【答案】 【分析】利用构造法可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为， 假设存在实数，使得， 即，则，解得， 即，且， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 可得，即， 所以． 故答案为：. 一、单选题 1．（2023·四川·模拟预测）数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 【答案】B 【分析】根据递推公式求和偶数项之间的递推关系，然后由累加法可得. 【详解】由题意得，因为，， 所以， 所以． 故选：B． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B．129 C． D．130 【答案】C 【分析】根据递推公式化简构造数列，得出数列是等比数列，应用通项公式得出，代入即可得出. 【详解】因为，所以， 则，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以． 故选：C. 3．（23-24高二上·湖北·期末）1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．161 B．171 C．181 D．191 【答案】B 【分析】由题意可知是10的倍数，则，代入求值即可. 【详解】由题意可知既是2的倍数，也是5倍数， 即是10的倍数，则， 故. 故选：B. 4．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 5．（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 【答案】C 【分析】由给定的勾股弦数组序列中，，，得，由，得. 【详解】因为，所以． 在给定的勾股弦数组序列中，，所以． 易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为， 所以， 故“弦”的通项公式为． 所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于． 故选：C． 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足：，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【详解】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故选：C 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．38 B．39 C．20 D． 【答案】B 【分析】当时，由，因式分解后化简可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，再验证时成立，最后求出即可； 【详解】当时，，即. 由数列为正项数列可知，，又， 即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则， 当时，； 当时，成立， 所以， 故选：B. 9．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 二、填空题 10．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 【答案】 【分析】利用构造法构造数列，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 11．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，，则 【答案】 【分析】根据已知式子应用得出等差数列，最后应用等差数列通项公式计算即可. 【详解】因为,则,整理得, 又因为则, 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则, 所以. 故答案为：. 13．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】当时，有，当时，不满足上式，故可得该数列的通项公式. 【详解】当时，， 当时，有， 当时，不满足上式，所以. 故答案为： 14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 15．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】借助待定系数法构造等比数列后可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得解. 【详解】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. 16．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】借助累加法可得数列的通项公式，再表示出后利用对勾函数性质计算即可得. 【详解】由题意可得当时， ， 当时，，满足上式， 则， 因为，所以， 则，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$