精品解析：上海市上海师范大学附属中学闵行分校2025届高三上学期第三次半月考数学试题

2025届上师大闵分高三第三次半月考数学试卷 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的定义域________. 2. 已知向量，，若，则实数________ 3. 已知复数，其中是虚数单位，，则__________. 4. 已知的展开式中各项系数的和为32，则_______. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是___________. 6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）. 7. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________. 8. 若函数的值域为则实数的取值范围是________. 9. 某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为______. 10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 11. 如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 12. 已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是______． 二､单选题（本大题共4题，满分20分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 16. 已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 三､解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 18. 已知函数. （1）当时，是否存在实数，使得是奇函数； （2）对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围. 19. 如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切. （1）若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； （2）若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？ 20. 如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点. （1）若，求的面积的大小； （2）的大小是否是定值？证明你的结论； （3）如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值. 21. 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”. （1）给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）； （2）若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”； （3），写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届上师大闵分高三第三次半月考数学试卷 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的定义域________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数有意义的条件得到不等式求解. 【详解】要使函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为， 故答案为:. 2. 已知向量，，若，则实数________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积与向量垂直的关系，结合坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， ， 所以，解得. 故答案为：1. 3. 已知复数，其中是虚数单位，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后根据的实部求得. 【详解】依题意，， 而，所以. 故答案为： 4. 已知的展开式中各项系数的和为32，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接在原二项式中令，可得展开式中各项系数的和，再由展开式中各项系数的和为32求解即可. 【详解】令，得的展开式中各项系数的和为，解得. 故答案为：. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线可得，然后根据椭圆的焦点即可求出双曲线的顶点，即可求出结果． 【详解】设双曲线的方程是， 双曲线的渐近线方程是，①． 由椭圆的方程知右焦点,则双曲线的右顶点坐标为 双曲线方程中的②． 解①②得：，，所求双曲线的标准方程为． 故答案为：. 6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，推得，再结合对数公式，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故. 故答案为：. 7. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：方程的两根为，且，利用韦达定理可得，代入求解即可. 【详解】由题意可知：方程的两根为，且， 可得，整理得， 则不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 8. 若函数的值域为则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由分段函数值域的求法，求出各段上的值域，再由函数值域求参数的范围即可得解. 【详解】解：①当时，，即 ， ②当时，，即 ， 由函数的值域为，则， 故答案为. 【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了由函数值域求参数的范围，重点考查了集合思想，属中档题. 9. 某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为______. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由题意得的取值为，根据超几何分布计算概率，得到期望值. 【详解】由题意得，的取值为， ，， ，， . 故答案为：. 10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可. 【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，， 解得，， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度） 即，关于直线，对称，， 由于，故， 而，关于直线，对称， 故点横坐标为， 将点横坐标代入，得． 故答案为：. 11. 如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意设，则.，在，，中，分别用正弦定理，得，，再相乘化简即可求解. 【详解】由题可得， 设，则. 由题意，在中，， 在中，， 在中，， 将上述三式相乘，得， 从而有， 得， 所以. 故答案为： 12. 已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立以的正方向为轴正方向的平面直角坐标系，设，，结合投影向量定义计算可得，即可得在或上，再由计算可得点在以为圆心，1为半径的圆上，则可得，求出点关于直线的对称点为，再借助两点间距离公式计算即可得解. 【详解】如图，以的正方向为轴正方向建立平面直角坐标系，设，， 非零向量在方向上的投影向量为， 故有，又，故， 则的终点在或上， 又， 故与垂直，如图所示， 由向量减法的几何表示，可知的终点就落在图中以为圆心，1为半径的圆上， 设，则，， 即， 由对称性，不妨设点在上， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 则， 即的最小值是. 故答案为：. 二､单选题（本大题共4题，满分20分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，得到的解集，从而得到答案. 【详解】，解得或， 由于或，但或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14. 小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件与互斥事件的概率计算公式得出答案. 【详解】设小明遇到的三人分别为，，， 则小明遇到三人的概率都为， 若小明与比赛获胜的概率为，与比赛获胜的概率为，与比赛获胜的概率为， 则小明进入决赛的概率为， 故选：A. 15. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为， 则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确； 对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D错误． 故选：B. 16. 已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 【答案】A 【解析】 【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题. 【详解】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标. 又注意到时，， 时，， ，时，. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示. 甲命题，注意到时，， ，. 结合图象可知当，，. 当，，.故甲正确； 乙命题，表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立.故乙命题正确； 故选：A. 【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可. 三､解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 【答案】（1） 因为四棱柱为正四棱柱， 所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD， 因为平面ABCD，所以⊥BD， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直； （2）等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接， 因为正方形的边长为，， 所以，， 由三线合一可得：⊥BD，且， 由勾股定理得：， 所以， 故， 又，平面 故， 由， 故点A到平面的距离为. 18. 已知函数. （1）当时，是否存在实数，使得是奇函数； （2）对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）存在， （2）当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义和性质分析求解； （2）根据题意可知：，分和两种情况，运算求解. 【小问1详解】 当时，则，可知的定义域为， 若是奇函数，则，解得， 且当时，， 即，是奇函数， 综上所述：当时，是奇函数. 【小问2详解】 令，可得， 因为，则，且， 当时，则； 当时，则； 综上所述：当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为. 19. 如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切. （1）若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； （2）若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得的大小，再根据正弦定理可得，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积 （2）设，根据直角三角形中的关系可得关于的表达式，从而得到平行四边形的面积表达式，从而根据三角函数的最值求解即可 【小问1详解】 由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积 【小问2详解】 设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小 20. 如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点. （1）若，求的面积的大小； （2）的大小是否是定值？证明你的结论； （3）如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值. 【答案】（1）1 （2）是定值，证明如下： 由（1）中发现为等腰直角三角形，猜测. 证明：， 得，即，， 所以，所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）求得的坐标，进而求得的面积. （2）通过证明来得到的大小是定值. （3）利用导数求得切线方程，求得的坐标，进而求得面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值. 【小问1详解】 当时，直线的方程为， 由解得， 所以的面积为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，对函数求导得到， 所以方程为，整理得， 同理方程为， 分别令得到， ，解得， 由第（2）小题，，得到， 所以， 所以面积的最小值为. 【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认. 21. 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”. （1）给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）； （2）若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”； （3），写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论. 【答案】（1） 第（1）组是，第（2）组不是. ①和，， ， 所以这两组函数是 “相伴函数”. ②和，， 不一定为非正数， 所以这两组函数不是 “相伴函数”. （2） ， 所以 ，所以 因此成立， 即和为“相伴函数”. （3） “和为相伴函数”的充要条件是 充分性：已知 则， ， 此时，所以， 即成立，和为相伴函数 必要性：已知和为相伴函数 所以， ， ， ，即， 由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立， 所以， 所以“和为相伴函数”的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断. （2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立. （3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $