2025年中考数学二轮复习专题：二次函数之线段最值问题训练

2025年中考数学二轮复习专题：二次函数之线段最值问题训练 一、线段和与差最值问题 1、如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在入点右侧），与y轴交于C点． （1）求抛物线的表达式和A，B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，求PD的最大值以及此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，在对称轴上找一点Q，使得QP+QB的值最小，求出点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交BC于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK+PD的最大值； 3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0），△ABC面积为6． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标； 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，则|DC﹣DB|的最大值是 　 　； （3）求PQ的最大值，并写出此时点P的坐标； 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求PE+PF的最大值； 6．如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标． 二．AP+kBP型 1．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点和点P都在抛物线上． （1）求出抛物线表达式； （2）如图1，若点P在直线AD的上方，过点P作 PH⊥AD，垂足为H， ①当点P是抛物线顶点时，求PH的长， ②求AH+PH的最大值； 2．抛物线y＝﹣x2+bx+3与直线y＝x+1相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A在x轴的负半轴上． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AB于点H，求垂线段PH的最大值； （3）如图2，当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，交抛物线的对称轴于点M，当AM+DM最小时，直接写出此时AP的长度． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）点D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BE的最大值； 4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P在第四象限，延长BP交y轴于点E，连接PA交y轴于点D，请说明OE+4OD的值为定值； （3）如图2，若点P是平面内一点，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠BPC+∠CFG＝90°时，则线段BP的最大值为 　 　． 三．课后练习 1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标； 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）． （1）如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积； （2）如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值； （3）在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y＝﹣2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物线y′，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y′上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1． （1）a＝　 　； （2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥AC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，求PE+PG的最大值； （3）在抛物线上是否存在Q，使得∠QOB+∠BCO＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标． 4．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，当△ADC面积有最大值时，求D点的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线对称轴上找一点M，使DM+AM的值最小，求出此时M的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m． ①求PE+EG的最大值； ②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$