精品解析： 2024-2025学年沪科版九年级数学上学期期中复习试卷

九（上）数学期中复习试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形成解出即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查比例的性质，灵活转化比例是解题的关键． 2. 若反比例函数的图象经过（2，-2），（m，1）,则m=（ ） A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】先设出反比例函数解析式y=，代入（2，-2）确定k值，再代入（m，1）可求出m的值． 【详解】设反比例函数图象的解析式为y=， ∵反比例函数的图象经过点（2，-2）， ∴k=2×(-2)=-4， 而m×1=-4，,m=-4 ∴故选D． 3. 如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断、相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 4. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比列得到，代入数值即可求解． 【详解】 直线 ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查平行线线段成正比例，解题的关键是明确题意，找出问题所求的关键． 5. 已知抛物线与轴的一个交点是，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，代数式求值，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．将代入抛物线可得，进而可以求出代数式的值． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ∴， ， ∴， 故选：C． 6. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段成比例．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， ∴之间的距离为， 故选：B． 7. 如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，设，根据题意，由于点C、D在的图象上，即可得到，解得． 【详解】解：设，根据题意， ∵点D是的中点， ∴， ∵点C、D在的图象上， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤方程的两实数根为，，则．其中结论正确的个数为（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧， 能得到：，，，， ∴，本选项错误； ②当时，，故本选项正确； ③当时，，对称轴为，即，， 把代入得，，故本选项错误； ④在中，时，y取得最小值，可得， 可得，故本选项正确； ⑤方程的两实数根为，，即对称轴可表示为， 可得，故本选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 9. 定义符号含义为：当时；当时．如：，．则的最大值是（　　） A B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示，设它们交于点A、B， 令，即，解得：或， ∴A（，），B（，）， 观察图象可知： ①当时，，函数值随x的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于； ③当时，，函数值随x的增大而减小，最大值为． 综上所述，的最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义和掌握函数的性质是解题的关键． 10. 如图，四边形是菱形，，点P从点出发，沿运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x,的面积为，则下列图象能正确反映与x之间的函数关系的是( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点P的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出DQ和PQ，即可求出y与x的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴AD=AB=DC=BC=2，∠D=∠ABC=60° ∴当点P到点A时，x=2；当P到点B时，x=4；当P到点C时，x=6 ①当点P在AD上，即0＜x≤2时，如下图所示 此时PD=x ∴PQ=PD·sin∠D=，DQ= PD·cos∠D= ∴y=DQ·PQ=（0＜x≤2），此时图象为开口上的抛物线的一部分； ②当点PAB上，即2＜x≤4时，如下图所示，过点A作AE⊥DC于E 此时PA=x－AD=x－2 在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠D=，DE= AD·cos∠D=1 易证四边形AEQP为矩形 ∴AP=EQ=x－2，PQ=AE= ∴DQ=DE＋EQ=1＋ x－2=x－1 ∴y=DQ·PQ=×（x－1）=（2＜x≤4），此时图象为逐渐上升的一条线段； ③当点P在BC上，即4＜x≤6时，如下图所示， 此时CP= AD＋AB＋BC－x=6－x ∵AD∥BC ∴∠BCQ=∠ADC=60° ∴PQ=CP·sin∠BCQ =，CQ=CP·cos∠BCQ = ∴DQ=DC＋CQ=2＋ ∴y=DQ·PQ=（4＜x≤6），此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为D 故选D． 【点睛】此题考查的是函数的图象，掌握锐角三角函数、函数图象的判断和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，D为的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中____是AD和AB的比例中项． 【答案】AC 【解析】 【详解】试题分析：根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得，可知AC是AD和AB的比例中项． 考点：比例线段 12. 若α为锐角，且，则m的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围. 【详解】α是锐角，且且， 则有0＜＜1， 解得， ＜m＜ . 故答案为 ＜m＜ . 【点睛】本题考查了利用锐角三角函数的值求参数的取值范围，熟知“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”是解决本题的关键. 13. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点，B点坐标为（﹣3，﹣2），则A点的坐标为 ___ 【答案】3，2． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，知 点A与B关于原点对称，∵点B的坐标是（﹣3，﹣2），∴A点的坐标为（3，2）．故答案为3，2． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 14. 如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可． 【详解】解：连接PB， 对于抛物线y=-x2+k， 对称轴是y轴， ∴PC=PB， ∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长， ∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3）， ∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4， 把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2， 所以点B坐标为（-2，0）， 所以BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键． 三、解答题 15. 已知a，b，c分别为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】12，16，20 【解析】 【分析】根据设未知数列方程求解即可． 【详解】∵， ∴设，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，， 即三边的长分别为12，16，20． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用．比较简单，关键是根据题意建立方程组，然后细心求解． 16. 已知二次函数（）中的和满足下表： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … （1）的值为 ； （2）求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性质解答； （2）利用待定系数法确定函数关系式即可． 【小问1详解】 解：由图中表格可知，当和时y的值相等， ∴对称轴是直线， ∵与关于直线对称， ∴． 故答案为：0． 【小问2详解】 解：由表可知，二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为． 将代入上式得， 解得， 故二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和待定系数法，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到（，，的对应点分别为，，），画出； （2）若，且相似比为2：1，画出一个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别画出，，的对应点，，，再依次连接即可； （2）把各边扩大两倍即可． 【小问1详解】 如图，即为所求 【小问2详解】 如图，即为所求（画法不唯一）. 【点睛】本题考查了相似作图及平移变换，掌握画平移图形的一般步骤是解决问题的关键． 18. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求电流与电阻之间的函数表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）用电器的可变电阻应大于或等于 【解析】 【分析】设电流与电阻之间的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）根据题意得出，结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 由图象知，函数图象过点， ，解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； 【小问2详解】 限制电流不能超过， ，解得， 观察图象可知，， 用电器的可变电阻应大于或等于． 【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． 19. 如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，其中眼睛，标杆顶，树顶在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上）．已知米，米，米，求树高． 【答案】树高为米 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，由题意可得，四边形为矩形，再根据求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． 由已知得，，． ，， 四边形、、为矩形， （米），（米），（米）， （米）． ，， ， ， ， ，解得（米）， （米）． 答：树高为米． 【点睛】本题考查了、矩形的判定与性质、相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形． 20. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及顶点的坐标； （2）在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由于二次函数经过原点和A点，将两点坐标代入求解即可； （2）设点的坐标为，由，求得n的值，再将n的值代入解析式求解m，得出P点坐标． 【小问1详解】 二次函数的图象经过点，点， ∴ 解得， ∴二次函数表达式为. ， ∴顶点的坐标为. 【小问2详解】 设点的坐标为. 点，点，， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 解得，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数（）图象相交于点，点在轴上，且，． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）求直线的表达式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线，求得，然后将点代入，求得，即可求解； （2）过点作轴，根据得到，求得，设直线的表达式为，即可求解． 【小问1详解】 解：点在直线上， ，，， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 如图，过点作轴，则 ． 直线与轴交于点， 点的坐标为，即 ， ， ， ， ， ，解得或 ， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 根据题意，得，解得 直线的表达式为． 【点睛】此题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数以及相似三角形的有关性质． 22. 如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，且平分，． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点． ①求证：； ②，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由平分可得；由得，从而可得，得； （2）①通过证明，即可求解；②根据得到，求得，则，由勾股定理求得，再通过得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ． 又， ． 【小问2详解】 ①证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ②，， ，． 由（1）知，， ， （负数舍去）， ，． ， ，， ， ， ， ，． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 23. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（图中粗线表示墙面，其中，米，米）和总长为42米的篱笆围成一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，设的长为米． （1）当段在线段上时， ① 米；（用含的代数式表示） ②若要求所围成的饲养场的面积为78平方米，求饲养场的宽． （2）当饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】（1）①；②饲养场的长为13米 （2）当饲养场的宽为9米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质求出和的长度，进而求出的长度，再根据篱笆总长度为42米，做减法即可求出的长度．②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可． （2）根据题意，对点F是在线段上还是在线段的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场的面积与的长度的关系式，再根据二次函数的性质求出当为何值时，取到最大值． 【小问1详解】 解：①∵饲养场是一个“日”形， ∴四边形是由矩形和矩形组成的矩形． ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为： ②要求所围成的饲养场的面积为78平方米， ，即，解得，. ，即， ∴. 答：饲养场的长为13米. 【小问2详解】 设饲养场的面积为， 当点在线段上时， ，， 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为108平方米. 此时，符合条件. 当点在线段的延长线上时，设为米， 由（1）可得，，. ，. ，解得， ， 当时，有最大值，最大值为平方米， 此时，符合条件. 当饲养场的宽为9米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米. ，当饲养场的宽为9米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九（上）数学期中复习试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过（2，-2），（m，1）,则m=（ ） A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 3. 如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断、相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线与轴一个交点是，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　） A B. C. D. 7. 如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤方程的两实数根为，，则．其中结论正确的个数为（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 定义符号含义为：当时；当时．如：，．则的最大值是（　　） A. B. C. 1 D. 0 10. 如图，四边形是菱形，，点P从点出发，沿运动，过点P作直线CD垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x,的面积为，则下列图象能正确反映与x之间的函数关系的是( )． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，D为的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中____是AD和AB的比例中项． 12. 若α为锐角，且，则m的取值范围是______________． 13. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点，B点坐标为（﹣3，﹣2），则A点的坐标为 ___ 14. 如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 三、解答题 15. 已知a，b，c分别为的三边长，且，，求三边的长． 16. 已知二次函数（）中的和满足下表： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … （1）的值为 ； （2）求这个二次函数的表达式． 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到（，，的对应点分别为，，），画出； （2）若，且相似比为2：1，画出一个． 18. 已知蓄电池电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求电流与电阻之间的函数表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 19. 如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，其中眼睛，标杆顶，树顶在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上）．已知米，米，米，求树高． 20. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及顶点的坐标； （2）在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数（）的图象相交于点，点在轴上，且，． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）求直线的表达式． 22. 如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，且平分，． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点． ①求证：； ②，，，求的长． 23. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（图中粗线表示墙面，其中，米，米）和总长为42米的篱笆围成一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，设的长为米． （1）当段在线段上时， ① 米；（用含的代数式表示） ②若要求所围成的饲养场的面积为78平方米，求饲养场的宽． （2）当饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$