第三章：函数的概念与性质知识归纳与题型突破（20类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第一册）

第三章：函数的概念与性质 知识点1 对函数概念的再认识 1、函数的概念：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4、抽象函数与复合函数 （1）抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． （2）复合函数的定义：如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 知识点2 表示函数的方法 1、函数的表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2、函数的图象变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点3 简单的分段函数 1、分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、分段函数的性质 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点4 函数的单调性与最值 1、函数的单调性 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的最大（小）值 （1）函数的最大值：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0). （2）函数的最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). 3、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点5 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 （1）奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 2、函数奇偶性的四个关注点 （1）与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． （2）若奇函数在原点处有定义，则必有．有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． （4）函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 题型一 函数关系的判断 【例1】（24-25高一上·安徽·月考）下列图象中，不能表示函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·湖北荆门·月考）设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．② 【变式1-2】（24-25高一上·湖北武汉·月考）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·安徽宿州·月考）（多选）下列对应关系是集合A到集合的函数的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二 求简单函数的函数值 【例2】（23-24高一上·贵州黔东南·月考）若函数，则的值是（    ） A．10 B．11 C．20 D．21 【变式2-1】（24-25高一上·湖北荆州·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 题型三 函数定义域的逆用 【例3】（24-25高一上·陕西渭南·月考）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·湖南永州·月考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·湖南衡阳·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【变式3-3】（24-25高一上·湖南长沙·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四 求函数的定义域 【例4】（22-23高一上·湖南株洲·月考）已知函数的定义域与值域均为， ． 【变式4-1】（22-23高一上·湖南张家界·月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【变式4-2】（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【变式4-3】（24-25高一上·江苏·月考）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 相等函数的判断 【例5】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·湖南郴州·月考）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·黑龙江绥化·月考）（多选）下列每组函数不是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六 求函数的解析式 【例6】（23-24高一上·重庆九龙坡·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·河南·月考）若满足，则 ． 【变式6-2】（23-24高一上·湖南永州·月考）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知，求的解析式； 【变式6-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）（1）已知，求． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足，求的解析式． 题型七 函数图象识别与判断 【例7】（23-24高一上·湖北十堰·月考）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江·期末）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   题型八 求分段函数的函数值 【例8】（23-24高一上·广东湛江·月考）已知函数则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式8-1】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【变式8-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【变式8-3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知函数则（    ） A．5 B． C． D．2 题型九 根据分段函数的函数值求参数 【例9】（23-24高一上·重庆云阳·月考）已知函数若，则（    ） A．2 B．4 C． D．4或 【变式9-1】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）设，若，则x的值为 ． 【变式9-2】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知函数，若.则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高一上·江西上饶·月考）已知函数，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十 分段函数解不等式问题 【例10】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一上·浙江嘉兴·月考）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一下·广东揭阳·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数，则满足的的取值范围是 ． 题型十一 函数单调性的判断与证明 【例11】（23-24高一上·广东潮州·期中）（多选）已知的定义域是区间， 则“是单调函数”的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（多选）下列关于单调性的表述中，错误的是（   ） A．，若，则函数在区间上单调递增 B．且，若，则函数在区间上单调递增 C．且，若，则函数在区间上单调递增 D．，若，则函数在区间上单调递增 【变式11-2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上单调递增. 【变式11-3】（23-24高一上·贵州·月考）已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 题型十二 根据函数的单调性求参数 【例12】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高一上·福建莆田·月考）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高一上·福建莆田·月考）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【变式12-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知函数的单调递减区间为，则实数的值为 . 【变式12-4】（23-24高一上·河南·月考）已知在区间上是增函数，则的取值范围是 ． 题型十三 利用函数的单调性比较大小 【例13】（23-24高一上·云南昆明·期中）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高一上·湖北·月考）定义在上的奇函数，其图像关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 题型十四 利用函数的单调性解不等式 【例14】（24-25高一上·山东淄博·月考）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【变式14-1】（24-25高一上·广东惠州·月考）定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 . 【变式14-2】（23-24高一上·四川德阳·月考）已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型十五 利用函数的单调性求值域 【例15】（23-24高一上·湖南邵阳·月考）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（23-24高一上·湖北宜昌·月考）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24高一上·四川眉山·期中）对任意，给定，，记函数，则的最小值是 . 【变式15-3】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 题型十六 函数奇偶性的判断 【例16】（23-24高一上·广东广州·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（23-24高一上·河北秦皇岛·期中）已知，，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 【变式16-3】（23-24高一上·云南·期末）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型十七 利用函数奇偶性求值求参 【例17】（23-24高一上·安徽池州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 . 【变式17-1】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数为奇函数，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【变式17-2】（24-25高一上·广东河源·月考）若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式17-3】（24-25高一上·湖北荆州·月考）已知函数f（x）=为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D． 题型十八 利用函数的奇偶性求解析式 【例18】（23-24高一上·湖南株洲·月考）若是上的奇函数，且当时，，则当， ． 【变式18-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）定义在上的奇函数，当时，，则解析式是 . 【变式18-2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时， . 【变式18-3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十九 奇函数+常数模型的应用函数 【例19】（23-24高一上·山东·期中）已知，且，则（    ） A． B．8 C． D．10 【变式19-1】（23-24高一上·广西·期中）已知函数，且，则的值为 . 【变式19-2】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式19-3】（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数在上的值域为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 题型二十 函数奇偶性与单调性综合应用 【例20】（23-24高一上·湖北咸宁·月考）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个对称中心 B． C． D． 【变式20-1】（23-24高一上·浙江杭州·月考）已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 【变式20-3】（23-24高一上·四川乐山·月考）已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：函数的概念与性质 知识点1 对函数概念的再认识 1、函数的概念：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4、抽象函数与复合函数 （1）抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． （2）复合函数的定义：如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 知识点2 表示函数的方法 1、函数的表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2、函数的图象变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点3 简单的分段函数 1、分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、分段函数的性质 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点4 函数的单调性与最值 1、函数的单调性 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的最大（小）值 （1）函数的最大值：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0). （2）函数的最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). 3、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点5 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 （1）奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 2、函数奇偶性的四个关注点 （1）与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． （2）若奇函数在原点处有定义，则必有．有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． （4）函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 题型一 函数关系的判断 【例1】（24-25高一上·安徽·月考）下列图象中，不能表示函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】C选项的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像.故选：C 【变式1-1】（24-25高一上·湖北荆门·月考）设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．② 【答案】B 【解析】对于①，从图中可看出，函数的定义域是，不符合集合到集合的函数关系； 对于②，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系； 对于③，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系； 对于④，任取，在图中可看到有两个的值与之对应，不符合函数定义的要求. 故② ，③ 可表示集合到集合的函数关系.故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·湖北武汉·月考）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数；故选：C 【变式1-3】（24-25高一上·安徽宿州·月考）（多选）下列对应关系是集合A到集合的函数的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【解析】根据函数定义，集合A中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于选项A：符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于选项B：A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于选项C：A中任意元素，在对应关系下， 都在集合B中，是从A到B的函数，故C正确； 对于选项D：符合函数的定义，是从A到B的函数，故D正确；故选：ACD． 题型二 求简单函数的函数值 【例2】（23-24高一上·贵州黔东南·月考）若函数，则的值是（    ） A．10 B．11 C．20 D．21 【答案】D 【解析】由函数， 令，可得，所以.故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·湖北荆州·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，可得，所以，故， 将，代入，得，即.故选：C. 【变式2-2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得.故选：D. 【变式2-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 【答案】(1)，；(2)，；(3)值域是，值域是． 【解析】（1）； （2），； （3）因为，所以，所以值域是， ，值域是， 题型三 函数定义域的逆用 【例3】（24-25高一上·陕西渭南·月考）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使式子有意义，则， 即，解得. 故使式子有意义的x的取值范围为.故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·湖南永州·月考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的定义域需满足，解得且， 故定义域为，故选：C 【变式3-2】（24-25高一上·湖南衡阳·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·湖南长沙·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为， ，解得：， 的定义域为.故选：B. 题型四 求函数的定义域 【例4】（22-23高一上·湖南株洲·月考）已知函数的定义域与值域均为， ． 【答案】-4 【解析】由题意得：的值域为， 且的解集为，故函数的开口向下，a<0 即的两根为0和4， 所以，，即， 则， 当时，取得最大值16， 即，解得：. 故答案为：-4 【变式4-1】（22-23高一上·湖南张家界·月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】若函数的定义域为，则的解集为 当时，不等式变为，得不符合题意； 当时，要使得解集为，则，解得 综上可得实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】的定义域为R， 的解集为R. 即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：. 实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一上·江苏·月考）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得．故选：D． 题型五 相等函数的判断 【例5】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的定义域为； 对于A中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数； 对于B中，函数， 与函数的对应关系不同，所以不是同一函数； 对于C中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数； 对于D中，函数与的定义域都是， 且对应关系都相同，所以是同一函数.故选：D. 【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，函数定义域为定义域为，故不是同一函数； 对于B，函数定义域为定义域为，故不是同一函数； 对于C，函数定义域为，而定义域为故不是同一函数； 对于D，两个函数定义域都为，对应法则相同，只是表示自变量的符号不同，故是同一函数. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·湖南郴州·月考）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于,与的定义域相同都为，解析式也相同，是同一函数； 对于，函数与的解析式不相同，不是同一函数； 对于,函数与的定义域相同都为，解析式也相同，是同一函数； 对于,函数的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数；故选： 【变式5-3】（23-24高一上·黑龙江绥化·月考）（多选）下列每组函数不是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【解析】对于选项A：的定义域是，的定义域为R， 定义域不同，故不是同一函数； 对于选项B：，对应法则不同，故不是同一函数； 对于选项C：由得或，所以的定义域是， 由得，所以的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数； 对于选项D： 与三要素相同， 仅表示自变量的字母不同，是同一函数.故选：ABC 题型六 求函数的解析式 【例6】（23-24高一上·重庆九龙坡·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，， 因为， 所以， 则.故选：C. 【变式6-1】（23-24高一上·河南·月考）若满足，则 ． 【答案】 【解析】取得到；取得到，解得. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高一上·湖南永州·月考）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知，求的解析式； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，设函数为， ， ， 即，由恒等式性质，得， ，， 所求函数解析式为 （2）令，则，， 因为，所以， 所以. 【变式6-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）（1）已知，求． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设，则，， 所以， 令，则． （2）设， 则， 所以，解得， 所以． （3）令，得， 所以，消去得，， 所以． 题型七 函数图象识别与判断 【例7】（23-24高一上·湖北十堰·月考）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，结合图形可知C适合题意.故选：C. 【变式7-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】由，当时，，只有选项符合.故选：. 【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江·期末）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快， 所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长.故选：A. 【变式7-3】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】因为是边长为2的等边三角形， 所以当时，设直线与交点为， 当点在中点左侧时，，， 此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC， 当点在中点右侧时，， 此时左侧部分面积为：， 此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，故选：D 题型八 求分段函数的函数值 【例8】（23-24高一上·广东湛江·月考）已知函数则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以,故选：C 【变式8-1】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【解析】由函数 ，可得，则.故选：A. 【变式8-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【解析】因为，所以， ， 所以.故选：A 【变式8-3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知函数则（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由可得：，故选：B. 题型九 根据分段函数的函数值求参数 【例9】（23-24高一上·重庆云阳·月考）已知函数若，则（    ） A．2 B．4 C． D．4或 【答案】B 【解析】若，则，解得，舍去； 若，则，解得，符合题意； 故.故选：B. 【变式9-1】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）设，若，则x的值为 ． 【答案】 【解析】若，则无解； 若，则，所以x＝. 若，则无解． 综上：. 【变式9-2】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知函数，若.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，且在上单调递减，作出函数图象如下： 所以， 所以.故选：B 【变式9-3】（23-24高一上·江西上饶·月考）已知函数，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则有，∴； 若，则， ∴，此时若，则有．故选：D． 题型十 分段函数解不等式问题 【例10】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以当时，原不等式可化为，解得或； 当时，原不等式可化为，解得. 综上，不等式的解集为.故选：A 【变式10-1】（24-25高一上·浙江嘉兴·月考）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，令，解得或， , 则作图如下： 由图可得不等式的解集是.故选：A. 【变式10-2】（23-24高一下·广东揭阳·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 【变式10-3】（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，，，原不等式显然不成立． 当时，，原不等式不成立． 当时，要使得，有两种情况： 第一种情况，当时，在上单调递增，可得，解得； 第二种情况，当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故答案为：. 题型十一 函数单调性的判断与证明 【例11】（23-24高一上·广东潮州·期中）（多选）已知的定义域是区间， 则“是单调函数”的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】当，则是单调递增函数； 也即， 是单调递增函数； 当，则是单调递减函数； 也即，是单调递减函数；故AB正确； 对C，令，，但不是单调函数，故C错误， 对D,令,定义域为,满足， 但在不单调，故D错误.故选：AB 【变式11-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（多选）下列关于单调性的表述中，错误的是（   ） A．，若，则函数在区间上单调递增 B．且，若，则函数在区间上单调递增 C．且，若，则函数在区间上单调递增 D．，若，则函数在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】对于A：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故错误； 对于：不满足两个自变量的任意性，故B错误； 对于C：与单调递增的定义吻合，故C正确； 对于：，得，或， 则函数在区间上单调递增，故D正确，故选:. 【变式11-2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上单调递增. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1），，解得； （2），设，则： ， ，则，，， 故，即， 故函数在上单调递增. 【变式11-3】（23-24高一上·贵州·月考）已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）因为，所以. 又因为， 当且仅当时，等号成立，而.所以. 因为在上单调递增，所以. 题型十二 根据函数的单调性求参数 【例12】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：在上单调递减，即； 在上也单调递减，即； 又是上的减函数，则， ∴，解得．故选：C． 【变式12-1】（23-24高一上·福建莆田·月考）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，对，且都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得.故选：B 【变式12-2】（23-24高一上·福建莆田·月考）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式12-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知函数的单调递减区间为，则实数的值为 . 【答案】 【解析】， 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 由于的单调递减区间为，则只需，得； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 这与的单调递减区间为矛盾，故不符合题意， 当时，此时在整个定义域上单调递增，故也不符合题意， 综上可得. 【变式12-4】（23-24高一上·河南·月考）已知在区间上是增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由， 因为在区间上是增函数，所以，解得． 故答案为： 题型十三 利用函数的单调性比较大小 【例13】（23-24高一上·云南昆明·期中）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为定义在上的偶函数， 所以， 又因为在上为增函数，， 所以，即.故选：B. 【变式13-1】（23-24高一上·湖北·月考）定义在上的奇函数，其图像关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，为奇函数且在上单调递增，则在上为增函数， 故在上为增函数， 又为奇函数，则， 而的图象关于点对称，则， 则有，即，即函数是周期为的周期函数， 故，，，则有．故选：A． 【变式13-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为定义域为的函数满足， 所以函数的图象关于对称，所以， 又因为当时，， 所以函数在单调递增，则在单调递减， 因为， 所以， 所以，即，故选:C. 【变式13-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对于A中，由，但无法判断的正负，所以A不正确； 对于B中，因为是定义在上的奇函数，可得， 又因为在上单调递减，可得， 因为在上单调递减，且为偶函数，所以在上为增函数， 所以，所以B不正确； 对于C中，由，在上单调递减，所以，所以C不正确； 对于D中，由，在上单调递减，，所以D正确.故选：D. 题型十四 利用函数的单调性解不等式 【例14】（24-25高一上·山东淄博·月考）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式14-1】（24-25高一上·广东惠州·月考）定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 . 【答案】 【解析】函数对任意的有， 则函数在上单调递减，而是R上的偶函数，则在上单调递增， 所以不等式，于是，解得， 所以所求的x取值范围是. 故答案为：. 【变式14-2】（23-24高一上·四川德阳·月考）已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数对任意的，有，， 则， 所以函数为偶函数， 又函数在区间上单调递增， 所以由，得， 即，则，解得， 即实数的取值范围为.故选：A. 【变式14-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以. 设函数，则函数在上单调递增，且. 当时，不等式等价于，即， 即，解得， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，当时，不等式无解. 因为是定义在上的奇函数，所以， 的定义域为， 又， 故为偶函数，且在单调递减， 当时，不等式等价于，即， 因为，故，解得， 综上，不等式的解集为.故选：A. 题型十五 利用函数的单调性求值域 【例15】（23-24高一上·湖南邵阳·月考）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数、在区间上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，.故选：B. 【变式15-1】（23-24高一上·湖北宜昌·月考）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为.故选：D. 【变式15-2】（23-24高一上·四川眉山·期中）对任意，给定，，记函数，则的最小值是 . 【答案】4 【解析】由定义可知当时， 解之得，此时， 当时，则，解之得或， 此时， 综上， 易知在上单调递减，最小值为4，在取得； 在上单调递增，在上单调递减，所以， 综上的最小值是4. 故答案为：4. 【变式15-3】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）时，，即，整理得， 当时，， 当时，由，得，解得，且， 综上，，则的值域是. （2）且， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，此时； 当时，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 综上所述： 题型十六 函数奇偶性的判断 【例16】（23-24高一上·广东广州·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，令，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故A正确； 对于B，令，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，令，定义域为，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故D错误，故选：A. 【变式16-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为的定义域为，所以此函数不是偶函数，故A错误； 对于B，因为，即的值域为，故B错误； 对于C，当时，，显然值域不为，故C错误； 对于D，因为的定义域为，且， 又，所以是值域为的偶函数，故D正确.故选：D. 【变式16-2】（23-24高一上·河北秦皇岛·期中）已知，，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 函数是偶函数.故选：B． 【变式16-3】（23-24高一上·云南·期末）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A：不知奇偶性，因此与的关系不确定， 与关系不确定，故A错误； 对B：由题意知函数的定义域为，且，得为偶函数，故B正确； 对B：也不知其奇偶性，因此与的关系不确定，故C错误； 对D：，所以不是偶函数，故D错误.故选：B． 题型十七 利用函数奇偶性求值求参 【例17】（23-24高一上·安徽池州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 . 【答案】 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为定义域为，所以，所以， 故答案为： 【变式17-1】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数为奇函数，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】B 【解析】因为函数为奇函数，定义域为， 所以，解得或， 当时，，则，不满足题意； 当时，，则，满足题意. 所以a的值是2.故选：B 【变式17-2】（24-25高一上·广东河源·月考）若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】函数为偶函数，所以即得 的定义域为， 在 或其子集上,即得， 所以恒成立， 所以,，可得.故选：A. 【变式17-3】（24-25高一上·湖北荆州·月考）已知函数f（x）=为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，所以， 又当时，， 所以，故故选：D 题型十八 利用函数的奇偶性求解析式 【例18】（23-24高一上·湖南株洲·月考）若是上的奇函数，且当时，，则当， ． 【答案】 【解析】设，则， 所以， 因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 故答案为： 【变式18-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）定义在上的奇函数，当时，，则解析式是 . 【答案】 【解析】当时，，所以， 由于为奇函数，所以， 故， 故答案为: 【变式18-2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【解析】因为当时，， 所以当时，，则， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 因此当时，. 故答案为：. 【变式18-3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，则， 又函数是偶函数，是奇函数，则， 所以， ，故选：B． 题型十九 奇函数+常数模型的应用函数 【例19】（23-24高一上·山东·期中）已知，且，则（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【解析】设，则是奇函数，. 因为，则， 所以.故选：C. 【变式19-1】（23-24高一上·广西·期中）已知函数，且，则的值为 . 【答案】1 【解析】，设，， 则，即为奇函数. 因为，所以， 所以. 故答案为：1 【变式19-2】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 设，， ，则是上的奇函数， 的最大值为，最小值为，则有， 所以.故选：B 【变式19-3】（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数在上的值域为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 因为函数在上的值域为， 所以在上的值域为， 又为奇函数，所以在上的值域为， 又，则在上的值域为.故选：D 题型二十 函数奇偶性与单调性综合应用 【例20】（23-24高一上·湖北咸宁·月考）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个对称中心 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】选项A，因为函数满足，函数关于直线对称，A错误； 选项B，因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 即，所以，故， 函数是周期为4的函数，B正确； 选项C，，C正确； 选项D，，D正确.故选：BCD 【变式20-1】（23-24高一上·浙江杭州·月考）已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则为偶函数， 在上单调递减，则在上单调递增， 函数满足且在上单调递减， 则图象关于对称，在上单调递增， 当时，， 当时，； ①当恒成立时，，图象关于对称， 此时，； ②当恒成立时，，图象关于y轴对称， 当时，；当时，； 即说明A，B错误； 当，即时，，则， 当，即时，， 故若，则，则说明D错误； ③若，均存在，则不妨作示意图如图： 关于直线对称，且，则， 综合上述，可知C正确，故选：C 【变式20-2】（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，证明见解析；(2)在上单调递减，证明见解析；(3)答案见解析 【解析】（1）因为，都有， 所以令，得，则， 因为时，， 所以当时，，则， 令，得， 所以，证毕. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令， 则，所以， 即，所以在上单调递减； （3）由，得， 又，所以， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 所以， 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【变式20-3】（23-24高一上·四川乐山·月考）已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由题意， 令得，可得； 再令得， 即对于任意都满足， 所以为奇函数 （2）令，则， 因此， 可得 所以为上的减函数； （3）不等式化为： 即可得， 又为上的减函数，所以， 整理的，又，即， 解得．则不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$