专题02 函数的性质9种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02函数的性质 目录 类型一、单调性+奇偶性解不等式 类型二、根据周期求函数值 类型三、由对称性求解析式 类型四、单调性+奇偶性+对称性+周期性综合 类型五、值域法解决型 类型六、函数不等式恒成立问题 类型七、函数不等式能成立问题 类型八、最值定位法解决双参不等式 类型九、抽象函数的单调性，奇偶性，不等式问题 压轴专练 类型一、单调性+奇偶性解不等式 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 例1．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 变式1-1．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据偶函数性质判断函数的区间单调性，再将问题化为对任意恒成立，法一：应用特殊值及排除法，即可得；法二：进一步化为恒成立，结合已知区间确定左右两侧的最值，即可得范围. 【详解】定义在R上的偶函数在上是增函数，则在上是减函数， 若不等式对任意恒成立， 必有对任意恒成立， 法一：当时，对任意恒成立，排除A； 当时，对任意不恒成立，排除C，D； 法二：， 又，所以，，即. 故选：B 变式1-2设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，发现为偶函数，且在上为单调递增函数，将所求不等式变形为，然后利用函数性质拿掉“”，求解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 又因为函数、在上均为增函数， 故函数在上是增函数， 由，得，则，即， 即，解得，即满足题设条件的的取值范围是. 故选：A. 变式1-3．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 类型二、根据周期求函数值 （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. （3）函数周期性的常用结论与技巧 设函数， ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 例2、已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1014 D．2028 【答案】B 【分析】根据对称轴定义得出对称轴，再由直线对称得出，进而得出函数周期，最后根据周期性得出函数值即可. 【详解】因为，即，故的图象关于直线对称. 由的图象关于直线对称得， 即对任意x恒成立，则， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数. 所以，.故选：B. 变式2-1．已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】利用奇函数以及对称性求出函数周期为，所以，即可求解. 【详解】因为函数图象关于对称，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 而， 又因为当时，，所以，即， 所以. 故选：B. 变式2-2．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 变式2-3．若定义在上的奇函数满足，，则（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【分析】由已知关系式构造，可证明是奇函数且周期为8，则由可求. 【详解】因为，所以． 令，因为为奇函数，所以为奇函数，且． 因为，所以． 因为，所以 令，则 所以，即的周期为8． 故，所以． 故选：C. 类型三、由对称性求解析式 （1）已知函数，并且与关于对称 ①设是上任意一点，其关于的对称点在上 ②获得关系式： ③将上述关系式代入得到的表达式 （2）已知函数，并且与关于对称 ①设是上任意一点，其关于的对称点在上 ②获得关系式： ③将上述关系式代入得到的表达式 例3．已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 变式3-1．已知曲线C：y＝，曲线C关于y轴的对称曲线C′的方程是（　　） A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝ 【答案】A 【分析】设所求曲线上任意一点，由关于直线的对称的点在已知曲线上，然后代入已知曲线，即可求解． 【详解】设所求曲线上任意一点， 则关于直线的对称的点在已知曲线， 所以，故选A． 【点睛】本题主要考查了已知曲线关于直线的对称的曲线方程的求解，其步骤是：在所求曲线上任取一点，求得其关于直线的对称点，代入已知曲线求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 变式3-2．已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 变式3-3．设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是 . 【答案】 【分析】设为上任意一点，然后求出点关于点的对称点，再将对称点的坐标代入化简可得答案. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为点在的图象上， 所以，解得， 所以， 故答案为： 类型四、单调性+奇偶性+对称性+周期性综合 （1）轴对称：若函数关于直线对称， 则①；②③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ （3）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 例4．（多选）定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，下列判断正确的是（    ） A．的周期是4 B．是函数的一个最大值 C．的图象关于点对称 D．在上单调递减 【答案】BD 【分析】根据函数的对称性、单调性、周期性分析判断即得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则 ①，且. 又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. 再由，得 ② 故函数图象关于直线对称，故函数在上单调递减，故D正确； 由①②可得，所以有， 故得8为函数的一个周期，又由，得不到，故A错误； 由上分析，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在一个周期内函数有最大值，即是函数的一个最大值，故B正确. 由对称性可知函数关于对称，不是关于对称，所以C错误. 故选： BD 变式4-1．（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】由奇函数性质知，根据递推式并代入判断A；且，应用周期性求函数值判断B；根据及对称中心判断C；奇偶性定义判断D. 【详解】A：是定义在上的奇函数，所以， 又满足，令，所以，错； B：由，可知， 所以， 所以，对； C：因为，所以是图象的对称轴， 又为图象的一个对称中心，所以是图象的一个对称中心，对； D：因为，所以，即为偶函数，对. 故选：BCD 变式4-2．（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B．关于直线，对称 C． D．是最小正周期为4的周期函数 【答案】BD 【分析】由为奇函数，为偶函数，可得关于点对称，关于直线对称，即可判断A，B；假设C成立，可得函数的对称轴为，从而与前面的结论矛盾，即可判断；由已知条件可得，可得函数的周期为4，即可判断D. 【详解】因为为奇函数，则， 所以关于点对称， 因为为偶函数，则， 所以关于直线对称， 且，所以， 即，， 所以是以4为最小正周期的周期函数，故D正确； 综合对称中心、对称轴、周期可知函数关于点中心对称， 即关于点，对称，故A错误； 且函数关于直线、、，对称， 关于直线，对称，故B正确； 若，即关于直线对称，矛盾，故C错误. 故选：BD. 变式4-3．（多选）已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项逐一进行分析，即可得出正确答案. 【详解】选项A，因为函数对任意的都有， 所以，所以是周期为4的周期函数． 因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以A正确． 选项B，由且是以4为周期的偶函数，以替换， 得，则，所以， 所以，所以B正确． 选项C，因为对任意的，都有， 所以在区间上单调递增，又因为， 且，所以，即，所以C错误． 选项D，由选项B知，所以的图象关于点对称，所以D正确． 故选：ABD． 类型五、值域法解决型 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围 例5．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. (1)求、的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上为减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出函数为奇函数即可； （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分,、、和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， 则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇函数. 对任意的，，故函数的定义域为， 则，故函数为奇函数，合乎题意， 因此，，. （2）解：函数在上单调递减，证明如下： 任取、且，即，则，， 则， 所以，，故函数在上单调递减. （3）解：若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减， 则当时，，， 所以，记在区间内的值域为. ①当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ②当时，，在上单调递减，且， 则，，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为 ，所以，该不等式组无解； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意. ⑤当时，在上的值域为，此时为值域的子集， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 变式5-1．已知函数，且不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式（其中为常数）； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意判断出是方程的两根，即可求解； （2）对a分类讨论，分别写出不等式的解集； （3）设的值域为的值域为，判断出，列不等式组，求出m的范围. 【详解】（1）因为，所以可化为，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入，得，故， 再由韦达定理得，故. （2）可化为，即， 当时，解得， 当时，不等式为，无解； 当时，解得； 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）因为存在，存在，使得成立， 设的值域为的值域为，则， 由（1）得，对称轴为， 故在上单调递增，所以， ①当时，，不满足题意； ②当时，在上单调递增，所以，所以，解得：； ③当时，在上单调递减，所以，所以，解得：； 综上所述，. 【点睛】方法点睛：常见解不等式的类型： (1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论． 变式5-2．形如的函数的图象很像两个“丿”，人们习惯称此类函数为“两撇函数”．它具有如下性质：① 该函数为奇函数；② 该函数在上单调递增． (1)当时，请举例说明在上不是增函数； (2)已知，设．若，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）根据单调递增的定义说明即可； （2）根据的值域是值域的子集求a的取值范围． 【详解】（1）令，得，令，得， ，但值相等， ∴ 在上不是增函数； （2）解：， 令，则， ∴ 由题意知在上递增， ，，即． 对，单调递减，． 由题意知， ，解得，故实数a的取值范围为． 【点睛】本题解题的关键是求出的值域，可以通过换元构造题干中的“两撇函数”求得． 变式5-3．已知函数. (1)直接写出在区间上的单调性（无需证明）； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数的定义域为，若存在区间，满足： ，使得，则称区间为的“区间”.已知，是函数的“区间”，求实数的最大值. 【答案】(1)在上单调递减，在[1，2]单调递增 (2)答案见解析 (3)1 【分析】(1)利用双勾函数的性质可得； (2)根据（1）的推导，画出函数图像，对a分类讨论； (3)理解“ 区间”的含义，考虑函数 在A= 与 上值域的包含关系即可. 【详解】（1）由双勾函数的性质知，在上单调递减，在[1，2]单调递增； （2）由题意知，，，    若，则在上单调递减，，    若，则在上单调递减，，在上单调递增， ，  ，    若，则在上单调递减，在单调递增， ，， 所以，当时，；当时，； （3）题目的意思是“ 区间”的值域包含于 区间的值域； 当时，在的值域为，在上的值域为 ，当且仅当=1时等号成立， ，满足使得 是的“区间”； 当时，在上的值域是，在上的值域是， ，所以当时，，此时不存在使得 此时不是的“区间”， 所以的最大值为1； 类型六、函数不等式恒成立问题 分离参数法： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数另一端是变量表达式的不等式 步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需 例6．已知，； (1)解关于x的不等式； (2)若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用一元二次不等式的解法，对分类讨论即可求解； （2）原不等式等价于对任意实数恒成立，当时，不等式恒成立；当时，分与两种情况讨论，当时，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1），则，即， 令，解得或， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为. （2）由题知对任意实数恒成立， 当时，由得，满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，可变形为， 即在上恒成立， 当时，， 当时，即在上恒成立， 所以，解得， 所以满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，令，， 当，即，，显然不满足题意； 当时，由，得， 即，显然在上不恒成立， 当时，由，得， 即，即在上恒成立， 所以，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：一元二次含参不等式的解法（二次项系数不含参数）： （1）利用十字相乘法等因式分解，不能因式分解则利用求根公式求根； （2）比较两根的大小，由于根含参数，则需分类讨论，先让两根相等，找分界点，分成：①小于分界点；②等于分界点；③大于分界点来讨论即可. 变式6-1．设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 变式6-2．已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，证明：函数在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）先求函数的定义域，确定关于原点对称，然后利用奇函数的定义判定为奇函数. （2）任取，将通分，提取公因式，转化为数个因式的乘积的形式，然后得到，从而证明函数在上单调递减. （3）化简整理，并利用换元法转化为恒成立.然后分与分别求解，综合得到的取值范围. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称. ， 所以是奇函数. （2）任取，则 . 因为，所以， 又，所以， 所以，所以函数在上单调递减. （3）. 令(且)，则有恒成立. 当时显然恒成立； 当时，因为对称轴为，故有，即. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判定与证明；用定义法证明函数的单调性，不等式恒成立，求参数的取值范围问题，属综合题，判定函数的奇偶性要首先关注定义域是否关于原点对称；利用定义法证明函数单调性时要注意将通分，提取公因式，转化为数个因式的乘积的形式，不等式恒成立问题，要注意平方项的系数是否为零的讨论，并结合换元思想转化，利用二次函数的图象和性质求解. 变式6-3．已知函数. (1)当时，求的解集； (2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）求解一元二次不等式即可； （2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）时，函数， 不等式即为， 即， 解得， ∴不等式的解集为. （2）设，， 根据题意知，在上恒成立， ①当时，解得， 若，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若，则在上单调递减， 则，不符合题意； ②当，即时，的图像为开口向下的抛物线， 要使在上恒成立，需， 即，解得或， 又∵，∴此时无解； ③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为， （i）当，即时，在上单调递增， ∴，解得或， ∵，，∴此时无解； （ii）当，即或时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，此时无解； （iii）当，即时，在上单调递减， ∴，解得或， ∵，，∴此时无解； 综上，不存在符合题意的实数. 类型七、函数不等式能成立问题 分离参数法： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数另一端是变量表达式的不等式 步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立 ，使得能成立 ③求最值 例7．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 变式7-1．给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数． (1)当，时，求的点； (2)设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围． 【答案】(1)的点为1和3； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据给定的定义，解一元二次方程作答. （2）根据给定的定义及已知，借助二次函数在有两个不同零点求解作答. （3）根据给定的定义，利用一元二次方程恒有两个不等实根列式，再结合恒成立的条件及一元二次不等式在区间上有解求解作答. 【详解】（1）当，时，，依题意，，即，解得或， 所以当，时，的点为1和3. （2）当，时，，依题意，在上有两个不同实数解， 即在上有两个不同实数解，令， 因此函数在上有两个零点，而，因此，解得， 所以实数t的取值范围是． （3）因函数总存在两个相异的点，则方程，即恒有两个不等实根， 依题意，对任意的，总存在使成立， 即对任意的，总存在使成立，而恒成立， 于是得存在，不等式成立，而， 从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上， 因此或，解得或， 解得，或，则有或， 所以实数t的取值范围是或． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 变式7-2．已知函数，. (1)当时，求的最小值; (2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得在区间上的最大值和最小值，由此求得的最小值. （2）结合（1）求得的最小值，由此对进行分类讨论，解一元二次不等式求得的取值范围. 【详解】（1）令，，不妨设， ， 若，，则，，， ，在是减函数. 若，，则，， ，在是增函数. ，， . （2）要使在上有解，则需恒成立. 对于，， 由（1）可知在递减，在递增， 同理可求得， 当时，，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上得或， 因此，当时，不等式在上有解. 【点睛】含有绝对值的函数的分析，关键是把握住绝对值内的函数的符号.利用函数单调性的定义证明函数的单调性，即是判断的符号.恒成立问题可转化为最值问题来进行求解. 变式7-3．已知函数. (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即可； （2）利用参变分离法将不等式化成，依题意求函数在上的最大值，即得参数的取值范围. 【详解】（1）任取且， 则， 因，可得，且，则， 于是，，即， 故函数在上单调递减. （2）由，不等式可化为， 因为存在，使得成立，即， 由（1）知，函数在单调递减，所以， 即得，故实数的取值范围. 类型八、最值定位法解决双参不等式 ① ,,使得成立 ②,,使得成立 ③,,使得成立 ④,,使得成立 例8．已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【详解】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 变式8-1．已知函数. (1)若，使得，求的取值范围； (2)若，都有恒成立，求的取值范围； (3)当时，，满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助根的判别式计算即可得； （2）由题意可得，解出后结合即可得； （3）由题意可得，只需计算出在上的最大值，则有，有，即有，解出即可得. 【详解】（1）若，使得成立，只需，解得； （2）若对，都有恒成立， 则，解得，又， 故的取值范围为. （3）当时，， 若对，满足， 只需，有， 当时，，故，有， 则有，解得或， 综上所述，的取值范围为. 变式8-2．已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】转化对，，，，恒有成立为，利用二次函数的性质和导数分别求解两个函数的最小值，代入解不等式即可 【详解】若对，，，，恒有成立， 只需在，上，即可. ， ，， 在，，，， 故与，是单调递增区间. 在，， 故，是单调递减区间. 因此的极小值为又， 所以 所以， 解得的范围为. 类型九、抽象函数的单调性，奇偶性，不等式问题 例9．已知的定义域为，对任意实数，有，且当时，． (1)求的函数值，并证明当时，； (2)求证：在上单调递减，并列举出一个满足（1）和（2）条件的函数； (3)设，若，求的取值范围． 【答案】(1)1，证明见解析 (2)证明见解析， (3)． 【分析】（1）令推出，由条件得，则得；再令 ，则，代入可得，则得； （2）利用函数的单调性定义，结合题设条件可证结论，并根据要求，举出指数函数即可； （3）利用函数定义式化简集合，得到，由，可知直线与圆的内部没有公共点，即得，求解即得. 【详解】（1）令，则，即， 因当时，，则，故； 令，则， 由， 可得． （2）设，则， ， 故在上单调递减．举例如． （3）由，可得， 由（2）已得在上单调递减，故， 而可得， 故有， 由，可得圆心 到直线的距离． 即，解得． 变式9-1．定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明； （2）由单调性的定义,做差证明； （3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证． 【详解】（1）令，代入得到. 令，得，即. 所以在上是奇函数. （2）设，则. 因为，所以，. 又因为，所以且， 所以：，所以. 所以，. 所以在上是单调递减函数. （3）， 所以. 因为，所以. 所以. 故. 变式9-2．已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 变式9-3已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证： (1)是偶函数； (2)是的周期； (3)当在上是减函数时，的最小正周期是． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由赋值法及偶函数的定义求解； （2）通过赋值，得到，即可判断； （3）设是的最小正周期，若，则，又在上单调递减，得，而得，则，又，则．但，矛盾，即可证明. 【详解】（1）令得， 由得，又， 得，所以是偶函数． （2）由，得，即， 故，， 所以是的周期． （3）设是的最小正周期，若，则， 又在上单调递减，，故． 在中取，得， 则，又，则． 但，矛盾，所以的最小正周期不小于， 又是的正周期，故是的最小正周期． 压轴专练 1．已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出在时恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为，所以由，可得，即． 令，可得，则可知在上单调递增． ． 由，可得，即， 则在时恒成立，只需，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 2．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 3．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得 ， 即对任意恒成立，则， 所以图象关于点对称， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数， 又当时，的图象关于直线对称， 所以当时，， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C 4．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 5．函数的定义域为，若，则（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】方法一，利用赋值法来证明函数的周期性和特殊函数值，即可判断， 方法二，是利用特例函数来满足条件，即可得结论. 【详解】方法一：利用赋值法， 令，则，所以． 令，，则，所以． 令，则． 令，则． 所以， 若恒成立，则与题设条件矛盾，所以不恒为0， 所以，所以， 所以，所以4为的一个周期， 所以．令，得， 又，所以，，所以， 故选：C． 方法二：举满足条件的特例函数，即令， 检验得，且，符合题意， 所以， 故选：C． 6．（多选）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．为R上的增函数 D．关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，赋值推理判断AB；利用函数单调性定义推理判断C；将不等式等价转化，再利用单调性求解. 【详解】对于A，令，则，而，解得，A正确； 对于B，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误； 对于C，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，C正确； 对于D，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 7．（多选）已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（   ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】赋值可确定A，令可得知函数关于对称，不是偶函数，通过变换，可证明函数单调性，再利用函数的单调性解不等式，由可求D. 【详解】对A，令，，故A正确； 对B，令，，故函数关于对称，不是偶函数，故B错误； 对C，，所以， 即，，， ，时，，故， 所以，即在上单调递增， ，所以，解得，故C正确； 对D，，，故D正确； 故选：ACD. 8．（多选）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先构造函数，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为，再利用函数的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到子集即可. 【详解】因为对任意的，，时，恒成立， 设， 则 ， 所以函数在上单调递减， 又 ， 所以不等式成立等价于， 又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称， 当时，，解得； 当时，因为关于直线对称，即， 所以，解得， 综上不等式成立的条件为， 所以“不等式成立”的一个充分不必要条件为其子集，即或. 故选：BC 9．（多选）设函数的定义域为，且，，，则（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令，，结合利用已知法则求出判断A；取得，取，得，令得，进而求得，求出判断B；对于C，求得，即可判断奇偶性；对于D，求出，即可判断单调性. 【详解】令，，则， 即，解得，A正确； 取得，，所以， 取，，则，所以， 令，则，所以，即， 故，则， B正确； 为奇函数，C错误； 为上增函数，D正确. 故选：ABD 10．已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有． (1)求的值，判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围． 【答案】(1)0；为偶函数，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）赋值后求出，令，再由偶函数的定义得证； （2）根据函数的单调性及偶函数的性质列出不等式组求解； （3）由题意转化为求，换元后分离参数，利用基本不等式求最值得解. 【详解】（1）为偶函数，证明如下: 因为的定义域是，关于原点对称， 令，则，所以， 令，则， 所以，所以为偶函数． （2）不妨设，由，得， 则在上单调递增，又是定义在上的偶函数． 所以在上单调递减． 则可变形为， 则，解得． 故所求不等式解集为． （3）由（1）（2）知， ，令， 当时，；当时，恒成立，故． 因为，当且仅当时等号成立，故． 综上，实数的取值范围是． 11．设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数． (1)若，试判断是否为平缓函数？并说明理由； (2)若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有． 【答案】(1)是平缓函数，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据平缓函数定义结合放缩法证得； （2）函数是周期函数，结合平缓函数定义证明即可； 【详解】（1）任取， ， 只需证， 当有一个为0时，不妨设，则； 当都不为0时，分母利用不等式， 得，结合 可得 当且仅当时取等号成立，但此时，故严格不等式成立， 因此函数是上的平缓函数． （2）由已知可得，由于函数是周期函数，故不妨设， 当时，由为上的平缓函数得。 当时，不妨设， 此时由为上的平缓函数得 . 综上所述，命题得证. 12．已知二次函数满足：①；②对任意，恒成立． (1)求的解析式； (2)若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）设（），再结合题意可求得到的解析式； （2）根据，即恒成立，再由二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】（1）设（）． 由条件②知，当时，有，所以． 由条件①知，，则，所以， 又，即对任意恒成立， 则有，解得． 所以． （2）显然．存在实数，使得当时， ，即恒成立， 等价于存在实数，使得， 解得， 又在单调递减，所以时，， 所以，即实数的最大值为8. 13．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 14．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式的解集可得1和2是方程的两个根，再利用韦达定理即可得解； （2）分，和三种情况讨论即可； （3）由题意，对成立，则对成立，即对成立，进而可得出答案. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根， 所以，所以，； （2）若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）因为，，成立， 即，对成立， 所以对成立， 即对成立， 所以即 所以，即， 所以的最大值为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 15．已知函数的图象经过两点． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)已知函数，函数且．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】(1)将两点的坐标代入解析式，可得关于的方程组，解出的值，即可求出的解析式； (2)利用函数的单调性定义进行证明即可； (3)先求出的值域，将对任意，总存在，使得成立转化为任意，在上的恒成立问题即可求解. 【详解】（1）函数的图象经过两点， ， ，解得，； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递增． （3）， 由（2）可得在上单调递增， 所以的值域为． 因为对使得成立， 所以只需在上恒成立． 当时，， 设，则在上是减函数， 所以，所以． 当时，， 设，则在上为减函数， 所以， 所以，此不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02函数的性质 目录 类型一、单调性+奇偶性解不等式 类型二、根据周期求函数值 类型三、由对称性求解析式 类型四、单调性+奇偶性+对称性+周期性综合 类型五、值域法解决型 类型六、函数不等式恒成立问题 类型七、函数不等式能成立问题 类型八、最值定位法解决双参不等式 类型九、抽象函数的单调性，奇偶性，不等式问题 压轴专练 类型一、单调性+奇偶性解不等式 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 例1．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 变式1-3．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 类型二、根据周期求函数值 （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. （3）函数周期性的常用结论与技巧 设函数， ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 例2、已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1014 D．2028 变式2-1．已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 变式2-2．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3．若定义在上的奇函数满足，，则（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 类型三、由对称性求解析式 （1）已知函数，并且与关于对称 ①设是上任意一点，其关于的对称点在上 ②获得关系式： ③将上述关系式代入得到的表达式 （2）已知函数，并且与关于对称 ①设是上任意一点，其关于的对称点在上 ②获得关系式： ③将上述关系式代入得到的表达式 例3．已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 变式3-1．已知曲线C：y＝，曲线C关于y轴的对称曲线C′的方程是（　　） A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝ 变式3-2．已知函数的图象关于点对称，则 ． 变式3-3．设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是 . 类型四、单调性+奇偶性+对称性+周期性综合 （1）轴对称：若函数关于直线对称， 则①；②③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ （3）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 例4．（多选）定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，下列判断正确的是（    ） A．的周期是4 B．是函数的一个最大值 C．的图象关于点对称 D．在上单调递减 变式4-1．（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 变式4-2．（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B．关于直线，对称 C． D．是最小正周期为4的周期函数 变式4-3．（多选）已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 类型五、值域法解决型 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围 例5．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. (1)求、的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 变式5-1．已知函数，且不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式（其中为常数）； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 变式5-2．形如的函数的图象很像两个“丿”，人们习惯称此类函数为“两撇函数”．它具有如下性质：① 该函数为奇函数；② 该函数在上单调递增． (1)当时，请举例说明在上不是增函数； (2)已知，设．若，，使得，求实数a的取值范围． 变式5-3．已知函数. (1)直接写出在区间上的单调性（无需证明）； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数的定义域为，若存在区间，满足： ，使得，则称区间为的“区间”.已知，是函数的“区间”，求实数的最大值. 类型六、函数不等式恒成立问题 分离参数法： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数另一端是变量表达式的不等式 步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需 例6．已知，； (1)解关于x的不等式； (2)若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 变式6-1．设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 变式6-2．已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，证明：函数在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 变式6-3．已知函数. (1)当时，求的解集； (2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 类型七、函数不等式能成立问题 分离参数法： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数另一端是变量表达式的不等式 步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立 ，使得能成立 ③求最值 例7．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 变式7-1．给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数． (1)当，时，求的点； (2)设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围． 变式7-2．已知函数，. (1)当时，求的最小值; (2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. 变式7-3．已知函数. (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 类型八、最值定位法解决双参不等式 ① ,,使得成立 ②,,使得成立 ③,,使得成立 ④,,使得成立 例8．已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 变式8-1．已知函数. (1)若，使得，求的取值范围； (2)若，都有恒成立，求的取值范围； (3)当时，，满足，求的取值范围. 变式8-2．已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围. 类型九、抽象函数的单调性，奇偶性，不等式问题 例9．已知的定义域为，对任意实数，有，且当时，． (1)求的函数值，并证明当时，； (2)求证：在上单调递减，并列举出一个满足（1）和（2）条件的函数； (3)设，若，求的取值范围． 变式9-1．定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 变式9-2．已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 变式9-3已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证： (1)是偶函数； (2)是的周期； (3)当在上是减函数时，的最小正周期是． 压轴专练 1．已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为，若，则（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 6．（多选）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．为R上的增函数 D．关于x的不等式的解集为 7．（多选）已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（   ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 8．（多选）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设函数的定义域为，且，，，则（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．函数在上单调递增 10．已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有． (1)求的值，判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围． 11．设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数． (1)若，试判断是否为平缓函数？并说明理由； (2)若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有． 12．已知二次函数满足：①；②对任意，恒成立． (1)求的解析式； (2)若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值． 13．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 14．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 15．已知函数的图象经过两点． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)已知函数，函数且．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$