26.3 第3课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（6大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

26.3 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 知识点一 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式. 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当 时，随 x 的增大而增大；当时，随 x 的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 题型一、二次函数y=ax2+bx+c的图象 解题技巧提炼 二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴与y轴平行(或重合)的抛物线.对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同. 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键． 分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 2．（22-23九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解： 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴另一交点的横坐标为 ， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的最高点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，把代入即可求出的值，掌握函数图象上点的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入得，, ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）二次函数的图像有最 点；（填“高”或“低”） 【答案】低 【分析】根据二次函数的性质结合开口方向即可得出答案． 【详解】∵，， ∴二次函数有最低点． 故答案为：低． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，得出二次函数的开口方向是解题的关键． 5．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果二次函数的图像经过原点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可． 【详解】解：把原点代入解析式，得， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点的坐标满足二次函数解析式是解题的关键． 6．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次函数的定义可得，再将点代入二次函数的解析式即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵二次函数的图象经过原点， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的定义、二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题关键． 7．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据图象过原点，只需把x＝0，y＝0代入求得m的值，同时根据二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，则m＜0进行取舍，进而即可求得函数的解析式． 【详解】解：根据题意，把x＝0，y＝0代入，得 m2﹣9＝0， 解，得m＝±3， 又二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值， ∴m+1＜0， m＜﹣1， ∴m＝﹣3， ∴函数解析式为y＝﹣2x2， 故答案为：y＝﹣2x2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数的性质是解本题的关键． 8．如果二次函数的图象经过坐标原点，那么的值为 ． 【答案】12 【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可． 【详解】解：把原点代入解析式，得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 9．（22-23九年级上·上海·期中）抛物线（其中）的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式确定与x轴的两个交点，然后确定对称轴即可． 【详解】解： 当时，或， ∴抛物线与x轴的交点是， 所以对称轴是直线． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，根据解析式确定与x轴的交点坐标，然后确定对称轴是解题关键． 10．抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】根据点的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】解：∵点A（﹣6，3），B（2，3）纵坐标都是3， ∴此抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 【点睛】此题主要考查二次函数的对称轴，解题的关键是熟知对称轴公式的运用． 11．抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】根据顶点坐标公式计算即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线x=， 故答案为：直线． 【点睛】此题考查了求抛物线的顶点坐标，熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键． 12．（23-24九年级上·上海普陀·期中）抛物线的对称轴是直线，那么b的值为 ． 【答案】 【分析】根据对称轴公式列得，直接求值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，熟练掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据二次函数的对称轴为直线即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．如果二次函数的图象的顶点在x轴上，那么m的值为 ． 【答案】1 【分析】把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由二次函数可得：， ∵该二次函数的顶点在x轴上， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 15．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点，根据即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点． 【详解】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知函数是关于的二次函数，且顶点在轴上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数解析式的特征和二次函数的性质，列出关于的方程即可求得的值 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴ 解得：，或； ∵顶点在轴上， ∴， 解得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键 17．（2023·上海·一模）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性解答即可． 【详解】解：∵、时的函数值都是，相等， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵和关于直线对称， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期末）二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ． … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，根据表格中纵坐标相等的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图像的对称轴． 【详解】解：由表格中的数据可得，和关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴是直线，即， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·上海长宁·期末）二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么 ． 0 1 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线， 所以和时的函数值相等， 即当时，y的值为． 故答案为：． 题型二、二次函数y=ax2+bx+c的性质 解题技巧提炼 对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 20．（23-24九年级下·上海宝山·期中）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； B．，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意； C．，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； D．，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 21．（23-24九年级下·上海崇明·期中）下列函数中，如果，y的值随x的值增大而减小，那么这个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数、一次函数、正比例函数以及反比例函数的性质等知识，熟练应用函数的性质是解题关键．分别利用一次函数以及二次函数和反比例函数的性质分析得出即可． 【详解】解：A、，随的增大而增大，故A选项错误； B、，当，则随的增大而增大，故B选项错误； C、，值随值的增大而减小，此C选项正确； D、，当时，值随值的增大而增大，此D选项错误． 故选：C． 22．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如果拋物线 的顶点是坐标轴的原点，那么 的值是 【答案】-1 【分析】根据顶点为原点得出m+1=0，再解出m即可． 【详解】∵该函数顶点是坐标轴的原点 ∴m+1=0；解得m=-1 答案为：m=-1 【点睛】本题考查一元二次方程中参数的取值，掌握各种典型函数图像的知识是关键． 23．（2022·上海青浦·二模）抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 【答案】a<1 【分析】根据题意列出不等式并解答即可． 【详解】解：∵抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴a−1<0， 解得a<1， 故答案为：a<1． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性． 24．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）下列关于二次函数的图像说法中错误的是（   ） A．它的对称轴是直线 B．它的图像有最高点 C．它的顶点坐标是 D．在对称轴的左侧，随着的增大而减小 【答案】D 【分析】已知二次函数的解析式可以找到相应的系数，根据系数与图象的关系可以找到二次函数的图象的特征：开口向上，开口向下，根据对称轴公式可以找到对称轴，进而找到顶点，再根据图象了解该抛物线的其他特征． 【详解】二次函数的表达式为 ，开口向下，抛物线有最高点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 ，对称轴 将代入解析式得 顶点坐标为 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数系数与图象的关系，掌握通过二次函数的系数判断二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标是解决本题的关键． 25．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可得． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故选项B错误，选项C正确； 时，， 该函数图象经过点，故选项A错误； 该函数图象可由函数的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误； 故选：C． 26．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据题意画出函数的图象，然后根据函数的图象即可得到结论． 【详解】解：列表： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 7 18 6 描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图： 由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是， 故选：C． 27．抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由于二次函数的图象在对称轴右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数． 【详解】解：∵二次函数的图象在它的对称轴右侧部分是上升的， ∴这个二次函数图象开口向上， ∴m+3＞0， ∴m＞-3， 故答案为m＞-3． 28．（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵抛物线， ∴，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意； 故选：D． 29．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，．试比较和的大小： （填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较两个点离对称轴的远近即可得到、的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：>． 30．（22-23九年级上·上海普陀·期中）已知点，在抛物线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为y轴，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以时， 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：＜ 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知其性质是解题的关键． 31．若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是 （填、或）． 【答案】 【详解】将和分别代入函数解析式求得的值，然后比较大小． 【分析】解：当时，， 当时，，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查函数值的大小比较，解题的关键是把自变量的值代入函数解析式求值比较． 32．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜“）． 【答案】＞ 【分析】根据二次函数在对称轴左右两侧的增减性求解即可． 【详解】解：由题意可得，对称轴为， ∴时，随的增大而减小 又∵ ∴ 故答案为＞ 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质． 33．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知点，，，在抛物线上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次函数的函数值的大小，由抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再由离对称轴越近，函数值越大，进行比较即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线为， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，，，， ， 故答案为：． 34．（22-23九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点和，比较与的大小： （选择“”或“”或“”填入空格）． 【答案】 【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得与的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】∵抛物线经过点和， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接代入点的坐标求出与的值，是快速解答本题的关键． 35．已知抛物线y＝f（x）开口向下，对称轴是直线x＝－1，那么f（－2） f（1）（填“＞”或“＜ ”） 【答案】＞ 【分析】根据抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=-1，可知在对称轴的右侧y随x的增大而减小，然后根据x=-2比x=1距离对称轴x=-1近可判断出f（-2）>f（1）． 【详解】解：∵抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=-1， ∴x=-2比x=1距离对称轴x=-1近 ∴f（2）>f（1）． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，找到二次函数的对称轴并判断出点的位置是解题的关键． 36．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 37．（22-23九年级上·上海·期中）已知二次函数，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定抛物线的对称轴，结合开口方向，y随x的增大而增大，应在对称轴的右侧，用不等式表示范围即可． 【详解】因为的对称轴为直线，且抛物线开口向上， 所以对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的开口方向和增减性，熟练掌握增减性，灵活运用不等式表示取值范围是解题的关键． 38．已知抛物线y＝x2﹣3x+3，如果点P（0，2）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可． 【详解】的对称轴为， 点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质． 39．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果二次函数图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是 .（填“向上”或“向下”） 【答案】向上 【分析】本题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据对称轴的右侧部分上升即可得到答案． 【详解】解：对称轴的右侧部分上升， 故函数图像在对称轴的右侧单调递增， 它的开口方向是向上． 故答案为：向上． 40．（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 【答案】，答案不唯一 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数． 由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，由此可以确定函数解析式不唯一． 【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的， ∴这个二次函数的二次项系数为正数， ∴符合条件的函数有，答案不唯一． 答案为：，答案不唯一． 41．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴对称轴为， ∵开口向上， ∴对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：． 题型三、利用二次函数顶点式解决问题 解题技巧提炼 求抛物线的对称轴和顶点坐标的两种方法： (1)配方法:将二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k的形式，则其图象的顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线 X=h. (2)公式法:抛物线的顶点坐标为 42．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）二次函数图像的最高点的横坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 二次函数图像的最高点的横坐标是， 故答案为：． 43．抛物线的顶点坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解． 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 44．（2023·上海·一模）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解． 【详解】解：， 二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键． 45．二次函数的顶点坐标为 【答案】 【分析】将二次函数转化为顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 46．（2024·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，可得该抛物线的顶点坐标为，再由顶点在第四象限，可得，即可． 【详解】解：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在第四象限， ∴， 即， ∴平移后的抛物线的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 47．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 48．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 题型四、二次函数与一次函数图象共存问题 解题技巧提炼 排除法--解两种图象共存题的捷径 解答两个函数图象在同一平面直角坐标系中的问题时，可以分系数大于0与系数小于0两种情况讨论，并结合一些特殊点来排除选项;也可以直接分析每个选项,逐一排除有矛盾的选项. 49．在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 50．一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握相关函数的性质，是解题的关键．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； B、由直线可知，，由抛物线可知：，故，符合题意； C、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； D、由直线可知，，由抛物线可知：，故不符合题意； 故选：B． 51．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据二次函数的图象确定出的符号，进而判断一次函数的图象的分布位置，再结合选项即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项不符； 、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项不符； 、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项符合； 、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符； 故选：． 52．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据二次函数图象开口向下，可以判断，再根据对称轴判断出b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：根据二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 53．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、反比例函数的图象、一次函数的图象．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，∵对称轴在y轴右边 ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 题型五、二次函数图象与各项系数符号 解题技巧提炼 二次函数的图像与其系数的符号的关系： a、b、c的代数式 决定图象的特征 说明 a 决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 a<0 开口向下 c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点的坐标为(0,c) c>0 与y轴交点在x轴上方 c=0 抛物线过原点 c<0 与y轴交点在x轴下方 决定对称轴的位置，对称轴为x=- ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴是y轴 我们既可以根据的符号判定抛物线的位置，也可以根据抛物线的位置确定的符号或关系． 54．（21-22九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像与性质逐一进行判断即可求解． 【详解】解：A、由图像可知：，， ∴，选项错误； B、由对称轴可知：， ∴另一个交点为：， 从图像可得：时，，选项错误； C、由对称轴可知：， ∴，选项错误； D、由B选项证明可得： 当时， ，即，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质． 55．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为，进行求解后，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴． 故选：C． 56．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数，和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下， ∴该函数图象存在三种情况，如图所示， ∴它的图象一定不经过第二象限， 故选：B． 57．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 58．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（    ） A．a＞0，b＞0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0 C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＜0，b＜0，c＝0 【答案】A 【分析】由题意得，二次函数经过原点可知，又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可得，，，即可得出选项． 【详解】解：由题意得，二次函数经过原点可知，， 函数图象经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，如图所示： 对称轴在轴的负半轴，可得： 即：，， ∴， ∴，，， 故选：A． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括对称轴、开口方向及所经过象限，理解题意，结合图象，熟练运用二次函数基本性质是解题关键． 59．二次函数（）的图象如图所示，点在轴的正半轴上，且，则下列结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向即可判断；根据对称轴的位置即可判断；根据抛物线与轴的交点情况即可判断；结合函数图象，当时，函数值为负，即可判断． 【详解】解：抛物线开口向下，；故正确； 对称轴在轴的左侧，、同号，，故不正确； 抛物线与轴有两个交点，；故正确； 由图象观察知，当时，函数值为负，即，故正确； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数（）的图形和性质，熟练掌握二次函数一般式的基本性质是解本题的关键． 60．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像如图所示，下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据二次函数开口、与坐标轴的交点、对称轴和的函数值可以得出相应的结论． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的上半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴为， ∴得，且， 则①正确； ②错误； ③当二次函数取时函数值为零，错误； ④当二次函数取时函数值大于零正确； ⑤∵二次函数与x轴有两个交点，则有成立，正确； 正确答案有：①④⑤． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的认识和相关性质的应用，利用特殊值可以判断特别关系式值与零的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 61．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断①②；当时，，即可判断③；根据抛物线与轴有2个交点，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ∵， ∴， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ，故①符合题意； ，故②符合题意； 观察函数图象，可知： 当时，， ，故③符合题意； 抛物线与轴有2个交点， ，故④符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于． 62．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和， ∴，，故①③正确； ∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得， ∴，故②正确； 观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确， 故选：C． 题型六、二次函数平移与旋转 解题技巧提炼 （1） 遵循“上加下减，左加右减”，可以先上下平移再左右平移，也可以先左右平移，再上下平移. （2） 将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线的相反，顶点互为相反数. 63．（23-24九年级上·上海崇明·期末）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移；原抛物线的顶点为原点，向左平移3个单位后的顶点坐标为，由此即可得平移后新抛物线的表达式． 【详解】解：抛物线的顶点为原点，原点向左平移3个单位后的坐标为， 由于平移不改变图象的大小与形状，则平移后的新抛物线表达式为； 故选：C． 64．（23-24九年级上·上海松江·期末）在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是， 故答案为：． 65．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是， 故答案为：． 66．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标判断出平移方式即可． 【详解】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线， 故选A． 67．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设点坐标为，根据等边三角形的性质得到，解出的值即可得到答案． 【详解】解：点A在抛物线上， 设点坐标为， 是等边三角形， ，， 或（舍）， ． 故答案为：． 68．（22-23九年级上·上海·期中）抛物线绕顶点旋转后，所得的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由旋转的性质得出顶点坐标不变，对称轴不变，只有开口方向变成相反方向，即可得出结果． 【详解】解：绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，对称轴不变，只有开口方向变成相反方向， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及旋转的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 69．已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2． (1)求m的值； (2)如果将此抛物线向右平移n个单位后，新的抛物线经过点（6，8），求新抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)（0，8）或（0，80） 【分析】（1）根据对称轴进行求m的值即可； （2）利用（1）的结果求得该抛物线的解析式，然后根据“左加右减”的原则求得平移后的抛物线的解析式，然后代入坐标（6，8）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：由（1）知，m=4， ∴此抛物线的表达式为y=x2+4x+3=（x+2）2-1． ∵向右平移n个单位后，所得抛物线的表达式为y=（x+2-n）2-1， ∵新的抛物线经过点（6，8）， ∴， ∴， 解得或， ∴新的抛物线解析为或， ∴令，解得或， ∴新的抛物线与y轴的交点为（0，8）或（0，80）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数对称轴公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.3 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 知识点一 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做. 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当 时，随 x 的增大而增大；当时，随 x 的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 题型一、二次函数y=ax2+bx+c的图象 解题技巧提炼 二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴与y轴平行(或重合)的抛物线.对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同. 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的最高点为，则 ． 4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）二次函数的图像有最 点；（填“高”或“低”） 5．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果二次函数的图像经过原点，那么的值为 ． 6．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 7．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为 ． 8．如果二次函数的图象经过坐标原点，那么的值为 ． 9．（22-23九年级上·上海·期中）抛物线（其中）的对称轴是直线 ． 关10．抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线 ． 11．抛物线的对称轴是 ． 12．（23-24九年级上·上海普陀·期中）抛物线的对称轴是直线，那么b的值为 ． 13．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 14．如果二次函数的图象的顶点在x轴上，那么m的值为 ． 15．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 16．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知函数是关于的二次函数，且顶点在轴上，那么的值为 ． 17．（2023·上海·一模）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为 ． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期末）二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ． … 19．（23-24九年级上·上海长宁·期末）二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么 ． 0 1 题型二、二次函数y=ax2+bx+c的性质 解题技巧提炼 对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 20．（23-24九年级下·上海宝山·期中）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级下·上海崇明·期中）下列函数中，如果，y的值随x的值增大而减小，那么这个函数是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如果拋物线 的顶点是坐标轴的原点，那么 的值是 24．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）下列关于二次函数的图像说法中错误的是（   ） A．它的对称轴是直线 B．它的图像有最高点 C．它的顶点坐标是 D．在对称轴的左侧，随着的增大而减小 25．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 26．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 27．抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 28．（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 29．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，．试比较和的大小： （填“＞”，“＜”或“＝”） 30．（22-23九年级上·上海普陀·期中）已知点，在抛物线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 31．若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是 （填、或）． 32．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜“）． 33．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知点，，，在抛物线上，则的大小关系是 ． 34．（22-23九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点和，比较与的大小： （选择“”或“”或“”填入空格）． 35．已知抛物线y＝f（x）开口向下，对称轴是直线x＝－1，那么f（－2） f（1）（填“＞”或“＜ ”） 36．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 37．（22-23九年级上·上海·期中）已知二次函数，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是 ． 38．已知抛物线y＝x2﹣3x+3，如果点P（0，2）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是 ． 39．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果二次函数图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是 .（填“向上”或“向下”） 40．（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 41．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 题型三、利用二次函数顶点式解决问题 解题技巧提炼 求抛物线的对称轴和顶点坐标的两种方法： (1)配方法:将二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k的形式，则其图象的顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线 X=h. (2)公式法:抛物线的顶点坐标为 42．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）二次函数图像的最高点的横坐标是 . 44．（2023·上海·一模）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 45．二次函数的顶点坐标为 46．（2024·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式） 47．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 48．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 题型四、二次函数与一次函数图象共存问题 解题技巧提炼 排除法--解两种图象共存题的捷径 解答两个函数图象在同一平面直角坐标系中的问题时，可以分系数大于0与系数小于0两种情况讨论，并结合一些特殊点来排除选项;也可以直接分析每个选项,逐一排除有矛盾的选项. 49．在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 50．一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 51．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 52．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 53．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型五、二次函数图象与各项系数符号 解题技巧提炼 二次函数的图像与其系数的符号的关系： a、b、c的代数式 决定图象的特征 说明 a 决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 a<0 开口向下 c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点的坐标为(0,c) c>0 与y轴交点在x轴上方 c=0 抛物线过原点 c<0 与y轴交点在x轴下方 决定对称轴的位置，对称轴为x=- ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴是y轴 我们既可以根据的符号判定抛物线的位置，也可以根据抛物线的位置确定的符号或关系． 54．（21-22九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 55．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 56．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 57．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 58．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（    ） A．a＞0，b＞0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0 C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＜0，b＜0，c＝0 59．二次函数（）的图象如图所示，点在轴的正半轴上，且，则下列结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像如图所示，下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤． A．5 B．4 C．3 D．2 61．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 62．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六、二次函数平移与旋转 解题技巧提炼 （1） 遵循“上加下减，左加右减”，可以先上下平移再左右平移，也可以先左右平移，再上下平移. （2） 将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线的相反，顶点互为相反数. 63．（23-24九年级上·上海崇明·期末）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 64．（23-24九年级上·上海松江·期末）在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ． 65．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 66．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位 67．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 68．（22-23九年级上·上海·期中）抛物线绕顶点旋转后，所得的函数解析式为 ． 69．已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2． (1)求m的值； (2)如果将此抛物线向右平移n个单位后，新的抛物线经过点（6，8），求新抛物线与y轴的交点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$