4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 （导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.1　指数 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 导学案 1、 学习目标 1. 能结合教材探究了解无理数指数幂. 2. 结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质． 2、 重点难点 重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 难点：无理数指数幂的意义的理解． 3、 导入新知 公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉 斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边 长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度 既不能用整数，也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致 了数学史上第一个无理数内的诞生. 希帕索斯 思考 根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方 形的对角线长是如何计算出来的呢？ 那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质呢？ 在初中的学习中，我么通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂． 探究 根据的不足近似值和过剩近似值(表4.1-1)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察他们的变化趋势，你有什么发现？ 表 的不足近似值 的近似值 的过剩近似值y 的近似值 1.4 1.5 1.41 1.42 1.414 1.415 1.414 2 1.414 3 1.414 21 1.414 22 1.414 213 1.414 214 1.414 213 5 1.414 213 6 1.414 213 56 1.414 213 57 1.414 213 562 1.414 213 563 … … … … 可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂，， ，，和另一串逐渐减小的有理数指数幂，， ，，逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．这个过程可以用图4.1-1表示． 思考 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？ 一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数． 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质． （1）； （2）； （3）． 4、 应用新知 例1　计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式1】计算下列各式的值(式中字母均是正数)： (1)；(2). 二、实际问题中的指数运算 例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 跟踪训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成______个． 三、实数指数幂的综合运用 例3　已知x＋x－1＝7，求值： (1)x2＋x－2； (2)； (3)x2－x－2. 跟踪训练3　已知，则x2＋x－2＝________. 5、 能力提升 题型一　无理数指数幂的运算 【练习1】计算下列各式： (1) ； (2)a·a÷aπ； (3)已知a＝，b＝，c＝，求的值． 题型二　实际问题中的指数运算 【练习2】视力表(如图)中采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．已知表中各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10 cm，则视力4.9的视标边长约为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 题型三　指数幂运算中的条件求值 【练习3】已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值． 6、 课堂总结 1.知识清单： (1)无理数指数幂的运算． (2)实际问题中的指数运算． (3)实数指数幂的综合运用． 2．方法归纳：整体代换法． 3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 3.指数幂的运算性质 (1); (2); (3). 1.知识归纳 (1)分数指数幂的定义. (2)有理指数幂的运算性质. 2.方法归纳 利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式 化成分数指数幂或把分母的指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算. 7、 作业设计 1.完成教材第109页练习第1题，第2题. 2.完成教材第110页习题4. 1第7题，第8题. 练习（第109页） 1．计算下列各式： （1）； （2）． 2．利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律： （1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势； （2）取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势． 习题4.1（第109页） 1．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．选择题 （1）设，则下列运算中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）设，，是正整数，且，则下列各式，正确的个数是（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 3．填空题 （1）在，，，中，最大的数是 ； （2）按从小到大的顺序，可将，，，重新排列为 （可用计算工具）． 4．用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）； （2）； （4）． 5．计算下列各式（式中字母均为正数）： （1）； （2）； （3）； （4）． 综合运用 6．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成 个． 7．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 8．已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 9．从盛有1L纯酒精的容器中倒出L，然后用水填满；再倒出L，又用水填满…… （1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？ （2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？ 10．（1）当，2，3，10，100，1 000，10 000，100 000，…时，用计算工具计算的值； （2）当越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也会越来越大？有没有最大值？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.1　指数 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 导学案 1、 学习目标 1. 能结合教材探究了解无理数指数幂. 2. 结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质． 2、 重点难点 重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 难点：无理数指数幂的意义的理解． 3、 导入新知 公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉 斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边 长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度 既不能用整数，也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致 了数学史上第一个无理数内的诞生. 希帕索斯 思考 根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方 形的对角线长是如何计算出来的呢？ 提示 根据勾股定理可以计算出正方形的对角线长为上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质呢？ 在初中的学习中，我么通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂． 探究 根据的不足近似值和过剩近似值(表4.1-1)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察他们的变化趋势，你有什么发现？ 表 的不足近似值 的近似值 的过剩近似值y 的近似值 1.4 1.5 1.41 1.42 1.414 1.415 1.414 2 1.414 3 1.414 21 1.414 22 1.414 213 1.414 214 1.414 213 5 1.414 213 6 1.414 213 56 1.414 213 57 1.414 213 562 1.414 213 563 … … … … 可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂，， ，，和另一串逐渐减小的有理数指数幂，， ，，逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．这个过程可以用图4.1-1表示． 思考 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？ 一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数． 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质． （1）； （2）； （3）． 4、 应用新知 例1　计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 解　(1)原式＝=25＝32. (2)原式＝ ＝＝23×3＝24. (3)原式＝＝. 反思感悟　关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． 【变式1】计算下列各式的值(式中字母均是正数)： (1)；(2). 解　(1)原式＝＝26·m3＝64m3. (2)原式＝＝a0＝1. 二、实际问题中的指数运算 例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 答案　4 解析　由题意，得第n次操作后溶液的浓度为n，令n<，验证可得n≥4. 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 反思感悟　指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． 跟踪训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成______个． 答案　64 解析　经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个)． 三、实数指数幂的综合运用 例3　已知x＋x－1＝7，求值： (1)x2＋x－2； (2)； (3)x2－x－2. 解　(1)x＋x－1＝7，两边平方得x2＋2＋x－2＝49， ∴x2＋x－2＝47. (2)设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9， 因为m>0，所以m＝3，即＝3. (3)设n＝，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5， 因为n∈R，所以n＝±， 即＝±. 所以x－x－1＝＝±3， x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21. 跟踪训练3　已知，则x2＋x－2＝________. 答案　7 解析　将，两边平方得x＋x－1＋2＝5， 则x＋x－1＝3， 两边再平方得x2＋x－2＋2＝9， 所以x2＋x－2＝7. 反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 常见的变形公式： x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝，＝. 5、 能力提升 题型一　无理数指数幂的运算 【练习1】计算下列各式： (1) ； (2)a·a÷aπ； (3)已知a＝，b＝，c＝，求的值． 【解析】　(1)原式＝＝36×22＝2916. (2)原式＝a＋－π＝a－. (3)原式＝＝＝. 【感悟提升】　关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． 题型二　实际问题中的指数运算 【练习2】视力表(如图)中采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．已知表中各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10 cm，则视力4.9的视标边长约为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 【解析】　由题意可得，视力4.9的视标边长约为10×＝10×10－＝10＝ cm.故选A. 【感悟提升】　指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率(下降率)等问题中，常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． 题型三　指数幂运算中的条件求值 【练习3】已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值． 【解析】令2x＝t，则2－x＝t－1，所以t＋t－1＝a　①.将①两边平方， 整理得t2＋t－2＝a2－2， 则8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)＝a(a2－3)＝a3－3a. 【感悟提升】解决条件求值问题的思路及常见变形 (1)整体代换法的思路 （2）常见变形：①(a＋b)(a－b)＝a－b；②(a±b)2＝a±2ab＋b； ③(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b(a，b均使式子有意义)． 6、 课堂总结 1.知识清单： (1)无理数指数幂的运算． (2)实际问题中的指数运算． (3)实数指数幂的综合运用． 2．方法归纳：整体代换法． 3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 3.指数幂的运算性质 (1); (2); (3). 1.知识归纳 (1)分数指数幂的定义. (2)有理指数幂的运算性质. 2.方法归纳 利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式 化成分数指数幂或把分母的指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算. 7、 作业设计 1.完成教材第109页练习第1题，第2题. 2.完成教材第110页习题4. 1第7题，第8题. 练习（第109页） 1．计算下列各式： （1）； （2）． 【解析】（1）； （2）； 2．利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律： （1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势； （2）取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势． 【解析】（1）当趋向负无穷大时，的值不断变小，并且趋近于0． （2）当趋向正无穷大时，的值不断变小，并且趋近于0． 习题4.1（第109页） 1．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 2．选择题 （1）设，则下列运算中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）设，，是正整数，且，则下列各式，正确的个数是（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 【 解析】（1）对于A，；对于B，；对于C，； （2），故选A． 3．填空题 （1）在，，，中，最大的数是 ； （2）按从小到大的顺序，可将，，，重新排列为 （可用计算工具）． 4．用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）； （2）； （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）． 5．计算下列各式（式中字母均为正数）： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 综合运用 6．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成 个． 【解析】∵细菌每10 min分裂1次，1h共分裂6次，∴1个细菌分裂成个． 7．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 7．【解析】（1），，． （2）． 8．已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1）； （2）． 9．从盛有1L纯酒精的容器中倒出L，然后用水填满；再倒出L，又用水填满…… （1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？ （2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？ 【解析】（1）当进行1次之后，容器中酒精含量为L，第2次之后 L；……；第5次之后为 L． （2）由（1）得出次之后为 L． 10．（1）当，2，3，10，100，1 000，10 000，100 000，…时，用计算工具计算的值； （2）当越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也会越来越大？有没有最大值？ 【解析】（1）当，2，3，10，100，1 000，10 000，100 000，…时，，， ，，，，，，…． （2）由（1）可知，当越来越大时，也越来越大，并且趋向于．没有最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$