4.2.1 指数函数的概念 （教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.2.1 指数函数的概念 教学设计 1、 教学目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.通过原始数据，培养处理数据的能力;通过具体例子引出指数函数的概念，培养学生概括的能力. 2、 评价目标 通过指数函数的学习，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的习惯和严谨的科学态度. 1.单元目标 (1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. (2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： (1)经历通过代数运算发现指数增长(衰减)变化规律进而抽象出指数函数概念的过程，知道指数函 数是刻画现实世界中增长率(衰减率)不变的规律的数学模型. (2)能利用指数的定义和运算性质，借助计算工具画出具体指数函数的图象，通过指数函数图象和指 数运算的方法得出指数函数的性质. 3、 重点难点 1. 教学重点： 理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域. 2. 教学难点： 理解指数函数增长变化迅速的特点.、；指数增长（衰减）规律的发现，用函数图象和指数运算的方法研究指数函数. 4、 学情分析&教材分析 对于指数函数概念的介绍，教科书强调从实际问题中抽象出数量关系；并用一定的数学式子表达这种数量关系；在分析数学式子特征的基础上，归纳概括得到指数函数的定义.这个过程强调了指数函数概念的抽象概括.在研究指数函数性质的过程中，教科书强调数形结合思想方法的运用，利用指数函数的图象探究指数函数的性质，并用所得到的性质进一步理解指数函数的图象 本节教科书还充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值.例如，教科书从旅游人次的增长问题和碳14的衰减问题这两个实例引入指数函数的概念.这两个问题，一个是增长问题，一个是衰减问题.通过实例，有利于学生更好地感受指数函数模型，促进学生了解中国文化、关心社会.建议教学时结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值. 根据本节内容具有数形结合的特点和计算的需要，在教学过程中要充分发挥信息技术的作用，尽量利用信息技术创设教学情境，为学生的数学探究和数学思维提供支持，更好地克服可能遇到的困难，理解指数函数的概念、图象和性质. 5、 学习目标 1. 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 2. 了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用． 3. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 6、 导入新知 学习新知 对于幂，我们已经把指数的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数． 问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 表4.2-1 时间／年 Ａ地景区 Ｂ地景区 人次／万次 年增加量／万次 人次／万次 年增加量／万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 60 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出A，B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象（图4.2-1和图4.2-2）． 为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来。 观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 探究 我们知道，年增长量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 ， ，……，做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的长率．增加量、增长率是年增刻画事物变化规律的两个很重要的量． ． 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为 ，是一个常数． 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长． 显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的倍；2年后，游客人次是2001年的倍；3年后，游客人次是2001年的倍；……；年后，游客人次是2001年的倍． 如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么 ． ① 这是一个函数，其中指数是自变量． 问题2　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为， 死亡2年后，生物体内碳14含量为， 死亡3年后，生物体内碳14含量为， …… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为． 根据已知条件，，从而，所以． 设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即 ② 这也是一个函数，指数是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 如果用字母代替上述①②两式中的底数和，那么函数和就可以表示为 的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量． 一般地，函数，且叫做指数函数（exponential function），其中指数是自变量，定义域是． 7、 应用新知 例1 已知指数函数，且，，求，，的值． 分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求的值． 解：因为 ，且，则，解得 ，于是 ． 所以，，，． 【变式】已知函数，且），其图象像经过点（-1，5），（0，4），则的值为 . 【答案】7 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可． 【详解】解：由已知得，解得， 所以，所以． 故答案为 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及求函数值，属于基础题． 【感悟提升】　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)写出指数函数的解析式． 例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况． （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解：（１）设经过年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则 ， ． 利用计算工具可得， 当时，． 当 时，． 结合图4.2-3可知： 当时，， 当 时，． 当时，． 这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了． （2）设生物死亡年后，它体内碳14含量为．如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 ． 当时，利用计算工具求得 ． 所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约． 在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则．形如（， 且，，且）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 【变式2】按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 【答案】（1）.（2）（元）. 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【解析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式； （2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和． 【详解】解：（1）根据题意可得； （2）由（1）可知，当时， ， ∴5期后的本利和约为元． 【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题． 【感悟提升】　常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y， 则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y， 则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 8、 能力提升 题型一　指数函数的概念 【练习1】函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数定义得到，排除的情况得到答案. 【详解】由指数函数的概念得，解得或． 当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意. 故选：C． 【感悟提升】判断指数函数的关键： (1)指数函数的定义域是实数集R； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上，且指数位置只能有x这一项； (3)底数a只能有一项，且其系数必须为1； (4)底数是大于0且不等于1的常数，底数.a的范围是a>0且a≠1 题型二　指数函数的解析式及应用 【练习2】若指数函数的图象经过点，求． 【答案】 【知识点】求指数函数解析式 【分析】设出函数解析式，代入点求解即可. 【详解】设且，因为函数的图象经过点，代入可得， 解得或(舍去)．故． 【感悟提升】求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)写出指数函数的解析式． 题型三　指数型函数的实际应用 【练习3】我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数列-产值增长、指数函数模型的应用（1） 【分析】设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可. 【详解】本题为增长率模型函数，为指数函数形式. 设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则. 故选D. 【点睛】本题考查平均增长律的定义，根据题意列式是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 【感悟提升】常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y， 则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y， 则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 9、 课堂总结 1.指数函数的概念： 一般地，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量， 定义域是R. 2.指数函数需要注意的几个点： ①指数函数的定义域是实数集R； ②自变量是指数x，且指数位置只能有x这一项； ③底数a只能有一项，且其系数必须为1； ④底数a的范围是a>0且a≠1. (3)幂函数与指数函数的区别. 10、 作业设计 1.课本P115的练习1,2,3.题； 2.完成教材第119页习题4. 2第2题，第4题. 练习（第115页） 1．下列函数中，有可能表示指数函数的是（ ） 1．【答案】C 【解析】A为一次函数图象，B为二次函数图象，D可以为的图象． 2．已知函数，且，求函数的一个解析式． 2．【解析】， ；； ；……； ． 所以函数的一个解析式． 3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 3．【解析】令，则； 所以该湖泊的蓝藻变为原来的6.16倍． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$