专题03 双曲线及其标准方程（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

03 双曲线及其标准方程 一、知识归纳： 1．双曲线的定义:一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且 ，则平面上满足 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点，称为双曲线的 ，两个焦点的距离称为双曲线的 . 2．集合，其中a为常数且}． （1）当时，M点的轨迹是 ；（2）当时，M点的轨迹是 ； （3）当时，M点的轨迹 ． 3．双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形       焦点 ， ， 焦距 a，b，c的关系 4．双曲线的中心:双曲线的 叫做双曲线的中心． 5．等轴双曲线: 的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率＝ . 自检自纠： 1.,,焦点,焦距 2．双曲线,两条射线,不存在 3．(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c), 4．对称中心,实轴和虚轴等长, 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知双曲线的方程为：，则双曲线的焦距长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【详解】由已知得，，，故，故，焦距长为.故选：D 2．双曲线的一个焦点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于双曲线的一个焦点为，则，，，由可得，因此，.故选：D. 3．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（    ） A．2或12 B．2或18 C．18 D．2 【答案】C 【详解】由双曲线定义可知，解得或（舍）∴点到的距离为18，故选C. 4．已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为．因为，两点在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为.故选：B． 5．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线方程为：，半焦距为.在直线中，令，得， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，故选：A． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，由双曲线的定义可知 ，即，所以，故双曲线的渐近线方程为，故选A． 7．若双曲线的一条渐近线为，则实数 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为y=±x,又∵一条渐近线方程为y=x ∴m=4.故选：B 8．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线，所以 ，解得 ， 即 ，故选：B. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（    ） A．2 B．－1 C．4 D．－3 【答案】AB 【详解】设双曲线的方程为，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴，且，∴AB满足条件．故选：AB 10．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BC 【详解】对方程： 若，表示焦点在轴上的椭圆，此时； 若，表示圆，此时； 若，表示焦点在轴上的椭圆，此时； 若，表示焦点在轴上的双曲线，此时； 若，表示焦点在轴上的双曲线，此时； 根据上述讨论，BC正确.故选：BC. 11．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为圆 B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点） C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线 D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点） 【答案】ABD 【详解】设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率为，，由已知得，，化简得点P的轨迹方程为，分析A，当时，方程为，故A正确； 分析B，当，方程为，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 分析C，当，方程为，不表示抛物线，故C错误； 分析D，，方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】由，结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以为焦点的双曲线右支，在双曲线中，.所以轨迹方程为：. 故答案为：. 13．双曲线16x2 - 9y2=144的左､右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=64，则∠F1PF2= . 【答案】60° 【详解】双曲线方程16x2 - 9y2=144，可化为，∴F1(-5,0)，F2(5,0).设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义，知|m-n|=2a=6，又m·n=64，在△PF1F2中，由余弦定理知：，∠F1PF2=60°.故答案为：60°. 14．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，且，，，则的面积为 . 【答案】 【详解】∵|AF2|=3，|BF2|=5，又|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，|AF2|+|BF2|－|AB|=4a=3+5－4=4，，|BF1|=3,又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，则∠F2AB=90°，,，=.故答案为：． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知双曲线，得，，所以，所以焦点为，故B正确.故选：B. 2．已知双曲线的上焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为知双曲线的上焦点为，所以可化为，故. 故选：D 3．椭圆的焦点是双曲线的焦点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】椭圆中，，所以，在双曲线中，，所以，所以，解得.故选：D 4．若双曲线的离心率为，且过点，则该双曲线的实轴长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【详解】双曲线的离心率为，且过点，可得，，，解得，所以．故选：． 5．设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由双曲线的定义可得故，又，故，故，所以的面积为.故选：D. 6．已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，，，，所以.根据双曲线定义， 所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），方程为.故选:C. 7．已知点是双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右焦点，若的周长为16，点为坐标原点，则（    ） A．20 B．-20 C．40 D．-40 【答案】B 【详解】因为，的周长为16，所以，因为，所以，，所以，故选B. 8．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，O为坐标原点，P是C右支上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，O为的中点，且，所以.由解得，则，.故选：B. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由双曲线定义可知，即，所以或.故选AD 10．若双曲线：与双曲线关于直线对称，则双曲线的焦点坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得的焦点分别为，．设关于直线对称的点为，则，得，设关于直线对称的点为，则，得，故的焦点坐标分别为，．故选：AC 11．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为 C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1 【答案】ACD 【详解】A.代入双曲线渐近线方程得,正确. B.由题意得，则以为直径的圆的方程不是，错误. C.，渐近线方程为，距离为1，正确. D. 由题意得,设，根据，解得，，则 的面积为1.正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 【答案】32 【详解】由，得，即，所以，即 ， 根据已知条件做出图形如图所示，设，则由双曲线的定义知，①，②，由余弦定理得③，联立①②③，得，，即，又，所以，，所以，即.所以为直角三角形，所以，解得.故答案为：. 13．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以， 所以，所以，，故双曲线的方程为．故答案为： 14．已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，圆半径为，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，，当且仅当三点共线时取等号，所以，又由双曲线的定义，所以，即的最小值为，故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 双曲线及其标准方程 一、知识归纳： 1．双曲线的定义:一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且 ，则平面上满足 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点，称为双曲线的 ，两个焦点的距离称为双曲线的 . 2．集合，其中a为常数且}． （1）当时，M点的轨迹是 ；（2）当时，M点的轨迹是 ； （3）当时，M点的轨迹 ． 3．双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形       焦点 ， ， 焦距 a，b，c的关系 4．双曲线的中心:双曲线的 叫做双曲线的中心． 5．等轴双曲线: 的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率＝ . 自检自纠： 1.,,焦点,焦距 2．双曲线,两条射线,不存在 3．(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c), 4．对称中心,实轴和虚轴等长, 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知双曲线的方程为：，则双曲线的焦距长为（    ） A． B． C．5 D．10 2．双曲线的一个焦点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（    ） A．2或12 B．2或18 C．18 D．2 4．已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 7．若双曲线的一条渐近线为，则实数 A．2 B．4 C．6 D．8 8．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（    ） A．2 B．－1 C．4 D．－3 10．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 11．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为圆 B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点） C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线 D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程为 . 13．双曲线16x2 - 9y2=144的左､右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=64，则∠F1PF2= . 14．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，且，，，则的面积为 . B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的上焦点为，则（    ） A． B． C． D． 3．椭圆的焦点是双曲线的焦点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．若双曲线的离心率为，且过点，则该双曲线的实轴长为（    ） A．4 B． C． D．6 5．设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 6．已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知点是双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右焦点，若的周长为16，点为坐标原点，则（    ） A．20 B．-20 C．40 D．-40 8．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，O为坐标原点，P是C右支上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（    ） A． B． C． D． 10．若双曲线：与双曲线关于直线对称，则双曲线的焦点坐标可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为 C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 13．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为 ． 14．已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$