专题02 椭圆的简单几何性质（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

02 椭圆的简单几何性质 一、知识归纳： 1．椭圆的几何性质 标准方程 图像 性质 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 ，，， ，，， 轴 长轴的长为 ，短轴的长为 . 范围 ， ， a、b、c的关系 . 离心率 2．弦长公式： 当直线与椭圆的两交点为，时， 或 ． 自检自纠： 1．2a，2b，， 2． ， 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　） A． B． C．6 D．12 3．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 4．已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 5．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点.若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 10．已知椭圆两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 11．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 13．已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 ． 14．已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为 ． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列四个椭圆中，形状最扁的是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，长轴长是短轴长的倍，则该椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C：的左右焦点分别为，则在椭圆C上满足的点P的个数有（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 6．点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 7．已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．设点、分别是椭圆的左、右焦点，点、在上（位于第一象限）且点、关于原点对称，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．点为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C的方程可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若直线的方程为，则右焦点到的距离为 D．若直线过点，且与轴平行，则 11．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是短轴长的倍 B．线段的长度为 C．椭圆的离心率为 D．的周长为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知为椭圆内一定点，经过引一弦，使此弦在点被平分，则此弦所在的直线方程是 . 13．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且，则该椭圆的离心率是 ． 14．已知椭圆的右焦点为是上一点，，当的周长最小时，其面积为 . 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则，解得，故椭圆的离心率为.故选：A 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，因为是钝角三角形，所以，所以，即，则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误.故选：D. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为10，顶点为，焦距为8，离心率.故选：ACD 10．已知椭圆两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】椭圆，则. 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 11．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 【答案】ACD 【详解】如图，直线l与交于G， 对于A，若，则，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，且即，所以，所以，故B错误； 对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确； 对于D，设点，则直线，因为直线平行于x轴，所以点的中点，所以由点G在直线l上且得，解得，即， 因此，故D正确.故选：ACD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 【答案】 【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则，，不妨设，，则.故答案为：． 13．已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】直线恒过定点，要使直线与椭圆恒有公共点，则在椭圆内部或在椭圆上，若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．实数的取值范围是：．故答案为：． 14．已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，设，,则由在椭圆上可得， 直线与的斜率之积为，椭圆离心率为，可得，即，故．即．故答案为：． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列四个椭圆中，形状最扁的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．故选：A. 2．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，长轴长是短轴长的倍，则该椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为，由题意可得：，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：A. 3．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】椭圆上的点P满足，当点P为的延长线与C的交点时，达到最大值，最大值为．故选：B 4．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且，又，， 则,由于，所以，于是可得，，所以椭圆C的离心率.故选：B. 5．已知椭圆C：的左右焦点分别为，则在椭圆C上满足的点P的个数有（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】椭圆C：的长半轴长，短半轴长，半焦距，由知，，则点在以线段为直径的圆上，而以线段为直径的圆的半径，即该圆在椭圆C内部，与椭圆C无公共点，所以满足条件的点P的个数为0.故选：A 6．点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【详解】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D. 7．已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设，，则，两式相减得， 由条件可知，，，即，并且由对称性可知，，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以原点到直线的距离.故选：B 8．设点、分别是椭圆的左、右焦点，点、在上（位于第一象限）且点、关于原点对称，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示,由题意可知，为、的中点，则四边形为平行四边形，则，又因为，则四边形为矩形，设，则，所以，，由 勾股定理可得，所以，该椭圆的离心率为.故选：B. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．点为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，  则需，由余弦定理可得，，即，，，则，检验可得选项A，C，D满足.故选：ACD. 10．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若直线的方程为，则右焦点到的距离为 D．若直线过点，且与轴平行，则 【答案】AC 【详解】由题意知，对于A选项：,则A正确； 对于B选项：长轴为：,故B错误； 对于选项：的方程为，所以右焦点到的距离为，故C正确； 对于选项：方法过且与轴平行，为通径，. 方法过且与轴平行，的方程为，由，故D错误， 故选：AC. 11．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是短轴长的倍 B．线段的长度为 C．椭圆的离心率为 D．的周长为 【答案】BC 【详解】由，可设，又，可得，解得，即，将的坐标代入椭圆方程，可得，化为，即，故A错误；，故B正确;椭圆的离心率，故C正确;的周长为，故D错误.故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知为椭圆内一定点，经过引一弦，使此弦在点被平分，则此弦所在的直线方程是 . 【答案】 【详解】由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为，且设弦的两端点坐标为，，则，两式相减得．∵，∴，∴，∴此弦所在的直线方程为，即． 故答案为：． 13．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且，则该椭圆的离心率是 ． 【答案】 【详解】设M的坐标为，由题知,,， ，即，,把点M的坐标代入椭圆的方程得,，，．故答案为：． 14．已知椭圆的右焦点为是上一点，，当的周长最小时，其面积为 . 【答案】6 【详解】设椭圆的左焦点为，则.因为，所以的周长为.因为，所以，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立.联立直线的方程与椭圆的方程，，消y得，解得或（舍去）.因为，所以的面积为.故答案为：6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$