专题01 椭圆及其标准方程（知识归纳+分层练习）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

01 椭圆及其标准方程 一、知识归纳： 1．椭圆的定义： 把平面内与两个定点的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距. 2．椭圆的标准方程： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 （a＞b＞0） 焦点 与 a，b，c的关系 . 3．点P（x0，y0）与椭圆（a>b>0）的位置关系： （1）点P在椭圆上⇔ ；（2）点P在椭圆内部⇔ ；（3）点P在椭圆外部⇔ . 自检自纠：1．常数（大于），两个定点，两焦点间的距离，一半 2．，与， 3．，， 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 4．已知焦点在x轴上的椭圆，焦距为，且长轴，则该椭圆的标准方程是(    ) A． B． C． D．或 5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 6．椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过点，那么（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．“”是“方程表示的图形为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（    ） A． B． C． D． 10．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．0.5 D．0.3 11．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，为椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，则 ． 13．已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为，且经过点，该椭圆的标准方程是 ． 14．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 . B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知P是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，若的内切圆的半径为，则（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）． A． B． C． D． 5．已知分别是椭圆的左､右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于C，D两点，的周长为8，且直线，的斜率之积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为8的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若点P是椭圆上的一动点，是椭圆的两个焦点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．当时，的边 C．当时，的面积为 D．椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形 10．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 11．伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率为，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（    ） A．椭圆C的标准方程可以为 B．的周长为10 C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 13．已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则等于 ． 14．已知圆和圆，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 椭圆及其标准方程 一、知识归纳： 1．椭圆的定义： 把平面内与两个定点的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距. 2．椭圆的标准方程： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 （a＞b＞0） 焦点 与 a，b，c的关系 . 3．点P（x0，y0）与椭圆（a>b>0）的位置关系： （1）点P在椭圆上⇔ ；（2）点P在椭圆内部⇔ ；（3）点P在椭圆外部⇔ . 自检自纠： 1．常数（大于），两个定点，两焦点间的距离，一半 2．，与， 3．，， 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，P到该椭圆的两个焦点的距离之和.故选：B 2．已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在椭圆中，，则.故选：B. 3．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 【答案】C 【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，则的周长为，故选：C.    4．已知焦点在x轴上的椭圆，焦距为，且长轴，则该椭圆的标准方程是(    ) A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】椭圆的焦距为，且，∴，，则，∴椭圆方程为：.故选：． 5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】由题意可得：，解得：，当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：， 当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，本题选C 6．椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的周长为，得，又椭圆的焦距，则，所以，所以椭圆标准方程为.故选：D.   7．已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过点，那么（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】∵点是椭圆 的一个焦点，即，且焦点落在轴上，则，，∴由得，，又∵椭圆经过点，∴，∴将代入，整理得，解得：或（舍去），∵，∴.故选A. 8．“”是“方程表示的图形为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】方程表示椭圆，等价于，即且.所以“”是“方程表示的图形为椭圆”的必要不充分条件.故选：B 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当焦点在x轴上时，，曲线方程为，则长半轴长为，半焦距为1，离心率为； 当焦点在y轴上时，时，方程为，则长半轴，半焦距1，离心率为.故选:BC. 10．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．0.5 D．0.3 【答案】CD 【详解】∵方程x2＋ky2＝2，即表示焦点在y轴上的椭圆，∴，故0<k<1.故选：CD. 11．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】ACD 【详解】当时，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故选项A正确.因为时，方程为圆，故选项B错误.若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项C正确.若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项D正确.故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，为椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，，为椭圆上一点，则．故答案为： 13．已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为，且经过点，该椭圆的标准方程是 ． 【答案】 【详解】根据题意，椭圆的焦距是，焦点在轴上，则其焦点坐标为与， 其中，又由椭圆经过点，则 ，即，则，则椭圆的标准方程. 14．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】圆，圆心为，半径为4，因为线段的垂直平分线交于点，所以，所以．所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．故答案为：． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B. 2．已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设可知椭圆的焦点在轴上，其坐标分别为，，，故，，，所以椭圆的标准方程为．故选：B 3．已知P是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，若的内切圆的半径为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设点P在第一象限，根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，，因为的内切圆的半径为，则，所以P点纵坐标，所以点，， 所以.故选：B. 4．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，又因为，在中由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以.故选：B. 5．已知分别是椭圆的左､右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于C，D两点，的周长为8，且直线，的斜率之积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】△的周长为8，，解得．设，，则，直线，的斜率之积为，，，化为，可得．椭圆的标准方程为：．故选：C 6．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为8的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，若椭圆方程为，则且，即，排除C、D；令直线与椭圆交点分别为，，∴，两式相减得：，易知：弦的中点，则，∴，排除A.故选：B 7．若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆参数方程为(是参数)，，故，，，故设，得，，故，而，，故，即，故B正确.故选：B 8．若点P是椭圆上的一动点，是椭圆的两个焦点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的，由椭圆定义，可得，，，，当且仅当，取得最小值.故选:B. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．当时，的边 C．当时，的面积为 D．椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形 【答案】ACD 【详解】由易得，∴ 的周长为，故A对；令得，，故B错；设，由余弦定理得，， ，∴ ，故C对；当，由选项B的分析知满足题意的点P有2个；同理当，满足的点P也有2个；当，有，解得， 所以满足题意的点P为椭圆的上下两顶点，综上满足的点P共6个，故D对．故选：ACD． 10．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】ACD 【详解】依题意，当小球从A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是，当小球从点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是.故选：ACD 11．伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率为，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（    ） A．椭圆C的标准方程可以为 B．的周长为10 C． D． 【答案】ACD 【详解】A：由题意得，，则，又，所以. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为，故A正确； B：由椭圆的定义知，的周长为，故B错误； C：由椭圆的定义知，，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D：在中，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 【答案】 【详解】设,则，在中，设，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，故答案为: . 13．已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则等于 ． 【答案】 【详解】由椭圆有，由，又，在中，，得，①又，② 设，①化简整理得：，③ ②化简整理得：，④ 由③④得：， ，又，故，所以.故答案为: . 14．已知圆和圆，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，设动圆M的半径为，因为动圆M与圆C1内切，则由题可知圆M在圆内部，所以，因为动圆M与圆C2外切，所以，则，所以圆心M点的轨迹是以为焦点的椭圆，即，则，所以圆心M点的轨迹方程是.故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$