2.2基本不等式 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）必修第一册《2.2基本不等式》2024年同步练习卷 一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且，则的最小值为(    ) A. 2 B. 3 C. D. 2.已知，，且，则的最小值为(    ) A. 24 B. 28 C. 25 D. 20 3.设正实数x，y满足，则下列说法错误的是(    ) A. 的最小值为4 B. xy的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 4.下列不等式正确的是(    ) A. B. C. D. 5.下列结论正确的是(    ) A. 且时， B. 当时， C. 当时，的最小值为2 D. 当时， 6.已知，那么下列不等式正确的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.若函数，则当______时， y取最小值. 8.已知正数a，b满足，则的最小值为__________. 9.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量单位时间内经过测试点的车辆数，单位：辆/小时与车流速度假设车辆以相同的速度v行驶，单位：米/秒、平均车长单位：米的值有关，其公式为 如果不限定车型，，则最大车流量为______辆/小时； 如果限定车型，则最大车流量比中的最大车流量增加______辆/小时. 10.把64写成两个正数的积，当这两个正数分别为______和______时，它们的和最小；把12写成两个正数的和，当这两个正数分别为______和______时，它们的积最大. 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题12分 若，，a，b是正常数且满足求证： 12.本小题12分 已知，且求的最小值及此时a，b的值. 13.本小题12分 已知，求证 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：， ， ，当且仅当，即时取等号； 故选： 对等式进行变形，再利用基本不等式，即可解出． 本题考查了基本不等式的应用，学生的数学运算能力，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立． 最小值为 故选： 由题意结合基本不等式求解代数式的最值即可． 本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：对于A，，当且仅当且，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，且，即时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当，且，即时，故C错误； 对于D，，当且仅当且，即时取等号，故D正确． 故选： 根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项． 本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题． 4.【答案】BD  【解析】解：当时，， 故选项A不符合题意； ， ， 故选项B符合题意； 当，时，，， 故选项C不符合题意； ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选项D符合题意． 故选： 根据基本不等式，通过举反例可判断选项A，C；由基本不等式可判断选项D，由作差法判断选项B即可． 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 5.【答案】ABD  【解析】解：由基本不等式知，当且时，，故选项A符合题意； 由基本不等式知，当时，， 当且仅当时，等号成立，故选项B符合题意； 当时，，故选项C不符合题意； 由基本不等式知，当时，， 当且仅当时，等号成立，故选项D符合题意； 故选： 利用基本不等式可对选项A，B，D判断，通过举反例判断选项C即可． 本题考查了不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础题． 6.【答案】AC  【解析】解：， ， 故选项A符合题意； ， ， 故选项B不符合题意； ， ， ， ， 故， 故选项C符合题意； ， ， 故选项D不符合题意； 故选： 利用基本不等式可判断，，利用不等式的性质可判断，，，从而对四个选项判断． 本题考查了基本不等式及不等式的性质的应用，属于基础题． 7.【答案】2  【解析】解：，当且仅当，也即时取“=”， 即当时，y取最小值． 故答案为： 利用基本不等式，即可求得结果． 本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 8.【答案】9  【解析】解：若正数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故答案为： 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出结果． 本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题． 9.【答案】1425 75  【解析】解：由题意可知， ，当且仅当即时，等号成立， ，即最大车流量为1425辆/小时． 当时，， ，当且仅当即时，等号成立， ，即最大车流量为1500辆/小时， 辆， 故答案为：， 把代入中，分子分母同时除以v，再利用基本不等式即可求出F的最大值． 把代入中，分子分母同时除以v，再利用基本不等式即可求出F的最大值，再与的最大车流量相减即可求出结果． 本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 10.【答案】8 8 6 6  【解析】解：设，，， 则， 当且仅当时，等号成立； 设，，， 则， 当且仅当时，等号成立； 故答案为：8；8；6； 设，，，设，，，分别利用基本不等式即可求解． 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 11.【答案】证明：若，，a，b是正常数且满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立．  【解析】利用“1”的代换结合基本不等式即可得证． 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 12.【答案】解：因为，且所以， ， 当且仅当且时等号成立， 解得：， 故的最小值为，此时，  【解析】因为，且所以，把变形，利用基本不等式可得，当且仅当且时等号成立，解出a，b的值即可． 本题考查的知识要点，不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查了运算能力和转化能力，属于基础题． 13.【答案】证明：，， ，， 当且仅当，即时等号成立．  【解析】根据题意得到，利用基本不等式即可得证． 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$